Chuyên đề LTĐH môn Toán – Thầy Trần Phương.
Chuyên đề 01 – Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 - * Hàm đa thức bậc 3:
Bài 1:
Tìm a để hàm số
32
4
( ) 2(1 sin ) (1 os2 ) 1
3
f x x a x c a x     
đạt cực trị tại x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện:
22
12
1xx

Giải:
Hàm số có CĐ, CT  f’(x) = 4x
2

4
ca


Giả thiết:
22
12
1xx
 (x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x
2
= 1

2
1 cos2
(1 sin ) 1
2
a
a

  

 2sin

,
13
arcsin 2
2
ak
kZ
ak








  





Bài 2:
Cho hàm số
32
1 1 3sin2
( ) (sin cos )
3 2 4
a
f x x a a x x   


4
a


1. Hàm số luôn đồng biến  f’(x) ≥ 0,

x
R

 ∆ = (sina + cosa)
2
– 3sin2a ≤ 0
 1- 2sin2a ≤ 0  sin2a
1
2



5
2 2 2 (1)
66
k a k   



2. Hàm số có CĐ, CT  f’(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt
 ∆ > 0  a không thỏa mãn (1)
Với đk trên thì f’(x) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x

+ x
2
)
2
– 2x
1
.

x
2
 sina + cosa = (sina + cosa)
2

3sin2
(2)
2
a


Đặt t = sina + cosa =
2 os( )
4
ca


sin2a = t
2
– 1, do đk nên
2
1

So sánh đk suy ra chỉ có t = 1 thỏa mãn, nên
1
os os
44
2
c a c

  



2
2
2
ak
ak











Bài 3:
Tìm m để hàm số
32

Hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng y = x hay x – y = 0 khi và chỉ khi: (0 – m)(m – m
3
2
m

) <
0
4
0
2
m
  
, luôn đúng với m ≠ 0.
Vậy ĐS: m ≠ 0
* Hàm đa thức bậc 4:
Bài 4:
Tìm m để hàm f(x) = x
4
– 4x
3
+ x
2
+ mx – 1 có cực đại, cực tiểu.
Giải:
Hàm f(x) có cực đại, cực tiểu  f’(x) = 4x
3
- 12x
2
+ 2x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt  g(x) = 4x
3

g m g
   

   
   
   
   6 30 6 30
66
g m g
   

    
   
   
   10 30 10 30
66
99
m    

Bài 5 :
Cho hàm số f(x) = x
4
+ 2x
3

TH1: Nếu Δ
g
≤ 0

m
9
8

thì g(x) ≥ 0,
x
. Suy ra f(x) triệt tiêu và đổi dấu từ - sang + tại x = 0 nên đạt
cực tiểu tại x = 0 và không có cực đại.
Chuyên đề LTĐH môn Toán – Thầy Trần Phương.
Chuyên đề 01 – Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 - TH2: Nếu Δ
g
> 0
9
8
m
thì g(x) có 2 nghiệm phân biệt. Đk để hàm chỉ có cực tiểu mà không có cực đại
là: g(0) = 0

m = 0 (thỏa mãn)

< 0 < x
2
< 1< x
3
< 2
Vậy f(x) có 3 cực trị, gọi 3 điểm cực trị là A(x
1
; y
1
); B(x
2
; y
2
) và C(x
3
; y
3
)
Ta thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) được:
f(x)
1
4

f’(x) – (3x
2
– 4x – 6)
Suy ra
2
3 4 6; 1;2;3
k k k

+ x
2
+ x
3
) + 18
= 6.(-3) + 18 = 0
Do đó 3 đỉnh A, B, C nhận gốc tọa độ O là trọng tâm.
Bài 7 :
CMR: f(x) = x
4
+ px + q ≥ 0,
x
R

256q
3
≥ 27p
4

Giải :
f’(x) = 4x
3
+ p = 0

x
3
4
p

, từ đó ta vẽ được bbt của hàm f(x)






256q
3
≥ 27p
4
(đpcm)
Bài 8 :
Tìm m để hàm số
42
13
()
42
f x x mx  
chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Giải:
Lời giải giống bài tập số 2 ở trên. ĐS là m ≤ 0
Bài 9:
Tìm m để hàm số f(x) = mx
4
+ (m-1)x
2
+ (1 – 2m) có đúng 1 cực trị
Giải:
f’(x) = 4mx
3
+ 2(m – 1)x = 0

– x
3
– 5x
2
+ 1 có 3 điểm cực trị nằm trên một parabol.
Giải:
Ta có f’(x) = 4x
3
– 3x
2
– 10x = 0.

x(4x
2
– 3x – 10) = 0
0
5
2
2
x
x
x









  
.
Chuyên đề LTĐH môn Toán – Thầy Trần Phương.
Chuyên đề 01 – Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6 - * Hàm phân thức bậc 2/ bậc 1:
Bài 1: Tìm m để hàm số
22
(2 3) 4x m x m m
y
xm
   


có 2 cực trị trái dấu.
Lời giải: Hàm số có 2 cực trị trái dấu

22
2
23
'0
()
x mx m m
y
xm

1
x x m
y
x



có 2 cực trị nằm về 2 phía của trục tung Oy
Lời giải: Hàm số có 2 cực trị


2
2
21
'0
( 1)
x x m
y
x
  


có 2 nghiệm phân biệt

g(x) = x
2
+ 2x + 1- m = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1
'0
0
( 1) 0

11
x x m x x m g x
yx
xx
    
   


22
2 2 2 2 2
22
22
()
21
11
x x m x x m g x
yx
xx
    
   


Hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía của trục tung Oy

y
1
.y
2
< 0


x mx m
ym
xm



có 2 cực trị trái dấu
HDG: Cách giải hoàn toàn giống như bài tập 1. ĐS: 0 < m < 1
Chuyên đề LTĐH môn Toán – Thầy Trần Phương.
Chuyên đề 01 – Hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 7 - Bài 4: Tìm m để hàm số
2
3( 2)
1
x mx m
y
x
  


có CĐ, CT nằm về hai phía của trục Ox
HDG: Cách giải hoàn toàn như bài tập 2. ĐS:
6 60 6 60m   


  


có CĐ, CT cùng dấu
HDG: Cách giải hoàn toàn như bài tập 2. ĐS:
1 21
2
1 21
5
2
m
m










Nguồn : Hocmai.vn