Bài 04: Các hình chóp tứ giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 1 of 4

BÀI 04: CÁC HÌNH CHÓP TỨ GIÁC KHÁC

Cũng như các khối chóp tam giác. Một số phương pháp xác định chiều cao chúng ta
cũng áp dụng được với các khối chóp tứ giác. Nhưng đối với các hình chóp khác này, thầy xin
nêu lại 3 phương pháp xác định chiều cao như sau:
I. Các phương pháp xác định chiều cao:
1. Tính chất 1: Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau
thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
2. Tính chất 2: Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy hoặc có các đường cao của
các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp
đáy
3. Tính chất 3: Nếu một đường thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với
một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đường cao của khối chóp là đường thẳng kẻ từ
đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên.
Sau đây sẽ là các ví dụ áp dụng các tính chất trên trong quá trình tính thể tích:
II. Các ví dụ minh họa:
1.Ví dụ 1: (ĐH Khối A – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM.Biết
SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =
3
a
. Tính thể tích khối chóp S.CDNM.
Giải:
Ta có:
( ) ( )
1
.

AM DN


= =

= =



= =

 

Vậy ∆DAM = ∆CDN =>
1 1
D C
=
 
mà
0
1 1
90
C D+ =
 

Nên
0
1 1
90
N D CN DM

.
3
5 5 3
. 3.
8 24
V
S CDMN
a a
a
=
=

Chú ý:

Đ
ây là bài toán yêu c
ầ
u các em bi
ế
t phát hi
ệ
n các y
ế
u t
ố
c
ủ
a hình h
ọ
c gi

⊥
. Phát hi
ệ
n y
ế
u t
ố
này
qu
ả
là r
ấ
t quan tr
ọ
ng trong nhi
ề
u bài toán. Mong các em l
ư
u ý!

2. Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thang v
ớ
i
đ
áy l
ớ
n AB = 2,

u nên:
SA = SB = SC = SD. Gi
ả
s
ử
H là chân
đườ
ng
vuông góc h
ạ
t
ừ
S xu
ố
ng
đ
áy ABCD ta xét 4 tam
giác SHA, SHB, SHC và SHD có:
-

SH chung
-


SHA =

SHB =

SHC =



2 2
3 1
1 2 1
4 2
AP AD h DC PQ AB AP
⇒ = − = − = ⇒ = = − =
Vậy
( )
1 3 3 3 3
.
2 2 2 4
ABCD
S DC AB h= + = =


Mà
2 2
3 1 2
SH SA AH= − = − =
.
1 1 3 3 6
. . 2.
3 3 4 4
S ABCD ABCD
V SH S⇒ = = =


Bài 04: Các hình chóp tứ giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang


a
(vì
∆
SAD
đề
u)
⇒
SH =
23
22
aaa =−

Vì
⋄ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a
⇒SABCD =
(
)
2
5 .2
5
2 2
AB CD AD
a a
a
+
= =

⇒VSABCD =
2
2

∩ =
∈


⇒
 



=> Trong (SBD)
dựng đường thẳng qua I và // BD cắt SB và SD lần
lượt tại B’ và D’.
Bài 04: Các hình chóp tứ giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 4 of 4
O
C
B
A
D
S
H
Đặt:
' '
' '
1 . ' ' 1 .
1 2
' '
2 . ' ' 2 . 1 2
. ' ' .

Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:

'
'
1
1 1
1
' ' 2 2 4 4 4 1 2
. . . .
3 3 9 9 9 2 9
V SA SB SD
V V V V
V SA SB SD
= = = ⇒ = = ='
'
2
2 2
2
' ' 1 2 2 2 2 2 1 1
. . . . .
2 3 3 9 9 9 2 9
V SM SB SD
V V V V
V SC SB SD
= = = ⇒ = = =

(vì I là trọng tâm ∆SAC)


Mặt khác ta có
2 2 2 2 2 2
AC BD AB BC CD AD
+ = + + +2
3 ( 0 3)
BD x do x⇒ = − < <2 2
1
1 3
4
ABCD
S x x
⇒ = + −

G
ọ
i H là hình chi
ế
u c
ủ
a S xu
ố
ng (CAB). Vì SB = SD nên HB = HD
⇒


Nguồn:

Hocmai.vn