ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 -2013
Môn thi : TOÁN (ĐỀ 30)
Câu 1.
(2,5 điểm).

1. Cho hàm số (C) :
2
2 5
1
x x
y
x
− + −
=
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm M ∈ (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất

2. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến
đồ thị (C’) :
196
23
−+−= xxxy
Câu 2.
(1,5 điểm)
1. Giải phương trình:
( )
3510325.3
22
−=−+
−−

3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số đứng trước
đều lớn hơn chữ số đứng liền sau nó.
Câu 4.
(2 điểm)
1. Trong hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(0; 0; -3); B(2, 0, - 1) và mp(P):3x – 8y + 7z – 1 =
0
Tìm toạ độ điểm C ∈ (P) sao cho ∆ABC là tam giác đều.
2. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. Hãy xác định các
góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó.
Câu 5.
(2,5 điểm).
1. Tính :
/ 4 1
2
3
0 0
sin
; 2 2
cos
x x
I dx J x x x dx
x
π
= = − +
∫ ∫
2. Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
.
2

= − + − ⇔ = +
−
Với



=
+−=
yY
xX 1
0.25
TCĐ d: X = 0, TCX d’: X - Y = 0 ⇒ T = d(M, d) + d(M, d’) =
4 7
| | 4 4
| | | | 2
2 | | 2
2
X Y
X X
X
−
+ = + ≥ =
Dấu "=" xảy ra ⇔
4
| |
| | 2
X
X
= ⇔
4 42 3 3

• Xét hàm số y = 2x
3
-12.x
2
+ 24x - 17 + m
⇒ y’ = 6(x-2)
2
≥ 0 ∀x ⇒ Hàm luôn đồng biến ⇒ Pt (1) luôn có
nghiệm duy nhất ⇒ từ một điểm trên đt x = 2 luôn kẻ được một tiếp
tuyến đến đồ thị (C’).
0,5
II
1,5
1 Giải phương trình:
0,75

( )
( ) ( ) ( )
015.3315.315.35
3510325.3
2222
22
=−−−+−⇔
−=−+
−−−−
−−
xxxx
xx
x
xx

log2
3
1
51
55
2
−=+=⇔=⇔
−
x
x
0.25

( )
352
2
+−=⇔
−
x
x
Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm
x = 2 nên là nghiệm duy nhất.
Vậy Pt có nghiệm là: x =
3log2
5
−
và x = 2
0.25
2 Giải hệ phương trình:
0,75
( ) ( )



=






−
=






−
⇔=






−+





0.25
Thử lại thấy đúng nên:








+=
+=
π
π
π
π
2
4
2
4
ly
kx
là nghiệm của hệ phương trình.
0.25
III
1,5
1 Giải phương trình: . 0,5
( ) ( )
02coscoslogsincoslog
1

π
xxxx
0.25







+−=
+=
⇔







+−−=
++=
⇔
3
2
6
2
2
2
2

02301311
232323
>++++⇔>+++++ xxxxxxxx
023
2
>++⇔ tt
Đặt
3
2
1 −≥+= xxt
0.25
2
3
2 2
1 1
1
3 3
2
t
t x x x
t
t

≥ −


⇔ ⇔ ≥ − ⇔ + ≥ − ⇔ ≥ −

> −


62/3 =

Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M(1; 0; - 2).
Gọi (Q) là mf đi qua M và vuông góc với AB
⇒ (Q): x + z + 1 = 0
0,25
Gọi d = (P) n (Q) ⇒





+=
=
−−=
⇔



=++
=−+−
tz
ty
tx
zx
zyx
d
21
22
01

1.0
Lấy E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC ta có:
GE = GF = c/2. ∆ACD = ∆BCD (c.c.c) ⇒ FA = FB
⇒
4
22
4
22
222222
22
acbCDADAC
FBFA
−+
=
−+
==
0.25
FE là trung tuyến của ∆FAB nên:
=
−+
=
4
22
222
2
ABFBFA
FE
2
222
acb −+

. Vậy
2
22
||
cos
c
ba −
=
α
0.25
Tương tự nếu gọi lần lượt là góc tạo bởi CD, AB và 
DB, AC ta có:
2
22
||
cos
a
cb −
=
β
,
2
22
||
cos
b
ac −
=
γ
0.25

3 2
cos 1
cos 2.cos
u x du dx
d x
dv v
x x
= =
 
 
⇒
 
= − =
 
 
0,25
/ 4
/ 4
4
0 0
2 2
0
1 1 1
2cos 2 cos 4 2 4 2
x dx
I tgx
x x
π
π
π

− − −
+
⇒ = = +
∫ ∫ ∫
0,25

F
E
G
B
D
A
C
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
1 1
3
4
2
0 0
sin
1
2 2 2 2
1 1
2 2
1 1
1 2 2

4 1 1
1 1
du du du
u u
u u
− − −
 
 ÷
+ +
 ÷
− +
− +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
0,25
( )
( )
0 0
2
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
2ln 2ln
4 1 1 1 4 1 1
1 2 1 1
2 2ln 2 4ln 2 1 .
4 4
2 1
u u u

Ta có:
abc
abc
abcabc
cab
cab
cabcab
bca
bca
bcabca
2
11
2
2
11
2
2
11
2
2
2
2
2
2
2
≤
+
⇒≥+
≤
+