Ôn thi đại học
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
§1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số
A. Tóm tắt lý thuyết
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau
đây:
1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa)
Giả sử
f
xác định trên
D ⊂ ¡
. Ta có
( )
max
x D
M f x
∈
=

⇔

( )
( )
0 0
:
f x M x D
x D f x M
≤ ∀ ∈



[ ]
;a b
, ta làm như sau:
• B1 Tìm các điểm
1
x
,
2
x
, …,
m
x
thuộc khoảng
( )
;a b
mà tại đó hàm số
f
có đạo
hàm bằng
0
hoặc không có đạo hàm.
• B2 Tính
( )
1
f x
,
( )
2
f x
, …,

f x f x f x f x f a f b
∈
= K
.
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1 2
;
min min , , , , ,
m
x a b
f x f x f x f x f a f b
∈
= K
.
1
Ôn thi đại học
Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số
f
mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào
thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của
f
.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
2 3 3
1
x x

∀ ∈
. Lại có
( )
0 3y =
,
( )
17
2
3
y =
. Suy ra
[ ]
0;2
min 3
x
y
∈
=
,
[ ]
0;2
17
max
3
x
y
∈
=
.
Nhận xét.

•
f
nghịch biến trên
[ ]
;a b

⇒

[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
;
;
min
max
x a b
x a b
f x f b
f x f a
∈
∈
=


=


.
Ví dụ 2. [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số

Ôn thi đại học
' 0y =
⇔

2
4 0x x
− − =

⇔

2
4 x x
− =

⇔

2 2
0
4
x
x x
≥


− =


⇔

2x

x
+
=
+
trên đoạn
[ ]
1;2
−
.
Giải. Ta có
( )
( )
2
2
2
2 2
1 1
1
1
'
1
1 1
x
x x
x
x
y
x
x x
+ − +

 
, đạt được
⇔

1x
= −
;
( ) ( ) ( )
{ }
3 5
max max 1 ; 2 ; 1 max 0; ; 2 2
5
y y y y
 
 
= − = =
 
 
 
, đạt được
⇔

1x
=
.
Ví dụ 4. [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
ln x
y
x

Với mọi
( )
3
1;x e
∈

ta có
' 0y =

⇔

2
2ln ln 0x x− =

⇔

ln 0x
=
hoặc
ln 2x
=

⇔

1x
=
hoặc
2
x e=


( )
{ }
3
3 2 2
9 4 4
max max 1 ; ; max 0; ;y y y e y e
e e e
 
= = =
 
 
, đạt được
⇔

2
x e=
.
Ví dụ 5. [ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số
2 2
4 21 3 10y x x x x= − + + − − + +
.
Giải.
TXÑx ∈

⇔

2
2
4 21 0
3 10 0

. Ta
có
2 2
2 2 3
'
4 21 2 3 10
x x
y
x x x x
− −
= − +
− + + − + +
.
' 0y =
⇔

2 2
2 2 3
4 21 2 3 10
x x
x x x x
− −
=
− + + − + +
⇒

( )
2 2
2
2

4
Ôn thi đại học
Thử lại, ta thấy chỉ có
1
3
x =
là nghiệm của
'y
.
( )
2 3y
− =
,
( )
5 4y
=
,
1
2
3
y
 
=
 ÷
 

⇒

min 2y =
, đạt được

3
3;
2
 
−
 
 
.
5)
3 2
1
2 3 4
3
y x x x= + + −
trên đoạn
[ ]
4;0−
.
6)
3 2
3 9 1y x x x= + − +
trên đoạn
[ ]
4;4−
.
7)
3
5 4y x x= + −
trên đoạn
[ ]

.
11)
1
y x
x
= −
trên nửa khoảng
(
]
0;2
.
12)
2
x
y
x
=
+
trên nửa khoảng
(
]
2;4−
.
5
Ôn thi đại học
13)
2
2 5 4
2
x x


3
sin 3 3siny x x= − −
6
Ôn thi đại học
2
2cos cos 1
cos 1
x
y
+ +
=
+
§2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một
biểu thức
A. Nguyên tắc chung
Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:
• Xác định ẩn phụ
t
.
• Từ giả thiết, tìm miền giá trị của
t
.
• Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một
hàm biến
t
trên miền giá trị của
t
.
B. Một số ví dụ

3 1xy x y x y xy
 
− + + − +
 

=
3 2
4 4 3 1t t
 
− − +
 

=
3
12 63t t+ −
.
Xét hàm
( )
3
12 63f t t t
= + −
, với
[ ]
0;4t ∈
. Ta có
( )
2
' 3 12 0f t t
= + >


=


⇔

( ) ( )
; 4;0x y
=
hoặc
( ) ( )
; 0;4x y
=
.
•
[ ]
( ) ( )
0;4
max max 4 49
t
S f t f
∈
= = =
, đạt được khi và chỉ khi
4
4
x y
xy
+ =



( )
2
2 2 2
2 4t x y x y= + ≤ + =

⇒

2t
≤
,
( )
2
2 2 2 2 2
2 2t x y x y xy x y= + = + + ≥ + =

⇒

2t
≥
.
Suy ra
2;2t
 
∈
 
. Lại có
( )
( )
2
2 2

,
( )
3
1
2
f =
. Do đó
•
( )
min 2 1S f
= =
, đạt được
⇔

2 2
2
2
x y
x y
+ =


+ =


⇔

1
1
x

2
1 3
2
x
y

−
=



+

=


hoặc
1 3
2
1 3
2
x
y

+
=



−

⇒

4t
≤
,
( )
2
2 2 2 2
2 8x y x y xy x y
+ = + + ≥ + =

⇒

2 2t
≥
.
Suy ra
2 2 4t
≤ ≤
. Lại có
( )
( )
2
2 2
2
8
2 2
x y x y
t
x y

8
8
1
2
t t t
t
t
+ − −
=
−
+ +

2
8
2
2 6
t
t t
+
= ×
+ −
.
Xét hàm
( )
2
8
2 6
t
f t
t t

.
Suy ra
f
nghịch biến trên
2 2;4
 
 
. Do đó
( ) ( )
2 2;4
2
min 4
3
t
f t f
 
∈
 
= =
.
( )
( )
max 2 2 2f t f= =
.
+)
( )
2 2;4
4
2 min
3

⇔

2x y= =
.
+)
( )
2 2;4
2 max 4 2
t
S f t
 
∈
 
≤ × =
, dấu bằng xảy ra
⇔

2 2
8
2 2
x y
x y

+ =


+ =




S =
, đạt được
⇔

0
2 2
x
y
=



=


hoặc
2 2
0
x
y

=


=


.
Ví dụ 4. Cho
x


≤ +



⇒

3
2 3
xy t
t
= −


≤ ≤

.
Ta có
9
Ôn thi đại học
S

=

( ) ( )
3 3 2 2
1
1 1 3
x y x y
x y x y

=

3
2
7 1 3
4 4 3 2
t t
t
t
+ − − −
+
.
Xét hàm
( )
3
2
7 1 3
4 4 3 2
t t
f t t
t
= + − − −
+
,
[ ]
2;3t
∈
.
Ta có
( )

5
S f t f= ≥ =
. Dấu “
=
” xảy ra
⇔

3
2
x y xy
x y
+ + =


+ =


⇔

1x y= =
⇒

4
min
5
S =
, Đạt được
⇔

1x y= =


=

hoặc
3
0
x
y
=


=

.
⇒

35
max
6
S =
, Đạt được
⇔
0
3
x
y
=


=

1
4 4
x y x y
x y xy x y
+ +
= + − ≥ + − =
. Do đó, nếu đặt
( )
t x y
= +
thì
2
3
1
4
t ≤
, hay
2 3 2 3
;
3 3
t
 
∈ −
 
 
.
10
Ôn thi đại học
Ta có
( )

( )
'f t
có nghiệm duy nhất
2 3 2 3
0 ;
3 3
t
 
= ∈ −
 ÷
 ÷
 
.
Ta có
( )
0 3f
=
,
2 3 2 3 1
3 3 3
f f
   
= − =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
.
Do đó
•
1



+ − =


⇔

2 3
3
1
3
x y
xy

+ =




=



⇔

( )
1 1
; ;
3 3
x y



+ − =



⇔

0
1
x y
xy
+ =


= −


⇔

( ) ( )
; 1; 1x y
= −
hoặc
( ) ( )
; 1;1x y
= −
.
Cách 2. Ta có
2 2

2 2
1 2
1
1 1
t t t
S
t t t t
− +
= = −
+ + + +
.
Xét hàm
( )
2
2
1
1
t
f t
t t
= −
+ +
, ta có
( )
( )
( )
2
2
2
2 1

+ +
 
.
Suy ra:
+)
1
min
3
S =
, đạt được khi và chỉ khi
2 2
1
1
x
y
x xy y

=



+ + =


⇔

( )
1 1
; ;
3 3


+ + =


⇔
( ) ( )
; 1; 1x y
= −

hoặc
( ) ( )
; 1;1x y
= −
.
Ví dụ 6. [ĐHB09] Cho
x
,
y
thỏa mãn
( )
3
4 2x y xy+ + ≥
. Tìm GTNN của
( ) ( )
4 4 2 2 2 2
3 2 1A x y x y x y
= + + − + +
.
12
Ôn thi đại học

4
A x y x y≥ + − + +
.
Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức
( )
2
4xy x y
≤ +
, ta có
( ) ( )
3 2
2x y x y+ + + ≥

⇔

( ) ( ) ( )
2
1 2 2 0x y x y x y
 
+ − + + + + ≥
 

⇔

1x y+ ≥

(do
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 1 1 0x y x y x y+ + + + = + + + >

≥ = − +


.
Xét hàm
( )
2
9
2 1
4
f t t t= − +
,
1
2
t ≥
. Ta có
( )
9
' 2 0
2
f t t= − >

1
2
t∀ ≥

⇒

( )
f t

=
” xảy ra khi và chỉ khi
2 2
1
2
x y
x y
=



+ =



⇔

( )
1 1
; ;
2 2
x y
 
=
 ÷
 
hoặc
( )
1 1
; ;

 
= − −
 ÷
 
.
Ví dụ 7. [ĐHB12] Cho các số thực
x
,
y
,
z
thỏa mãn các điều kiện
0x y z+ + =
và
2 2 2
1x y z+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
5 5 5
P x y z= + +
.
Giải. Từ
0x y z+ + =
suy ra
( )
z x y
= − +
, thay
( )
z x y
= − +

,
2
2 1
2
t
xy
−
=
.
Biến đổi

P
( )
5
5 5
x y x y= + − +
( ) ( )
( ) ( )
5
3 3 2 2 2 2
x y x y x y x y x y
= + + − + − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 5
2 2
3 2x y xy x y x y xy x y x y x y
   
= + − + + − − + − +
   
2

;
3 3
t
 
∈ −
 
 
. Ta có
( )
( )
2
5
' 6 1
4
f t t= − −
có hai nghiệm là
6 6 6
;
6 3 3
t
 
= ± ∈ −
 
 
.
Ta có
6 5 6
3 36
f
 

 
.
Vậy
5 6
min
36
P = −
, đạt được chẳng hạn khi
6
6
x y= =
,
6
3
z = −
.
Ví dụ 8. Cho
x
,
y
,
0z
>
thỏa mãn
3
2
x y z+ + ≤
. Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
2 2 2

2
t
 
∈


 
.
Lại có
2 2 2 2 2 2 2
3
3 3x y z x y z t+ + ≥ =
,
3
2 2 2 2 2 2 3
1 1 1 1 1 1 3 3
3
x y y z z x x y y z z x xyz t
+ + ≥ × × = =
⇒

2
3
1
3S t
t
 
≥ +
 ÷
 


1
0;
2
t
 
∀ ∈


 
, suy ra
f
nghịch biến trên
1
0;
2
 


 
. Vậy
1 99
min 3
2 4
S f
 
= =
 ÷
 
, đạt được khi và chỉ khi

2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
+ + + + + ≥
.
( )
1
Giải. Xét
1
;a x
x
 
 ÷
 
r
,
1
;b y
y
 
 ÷
 
r
,
1
;c z
z
 
 ÷

Đến đây ta có hai cách đi tiếp:
Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
3
3x y z xyz
+ + ≥
,
3
1 1 1 1
3
x y z xyz
+ + ≥
.
Do đó
( )
9
1 9VT t
t
≥ +
, với
( )
2
3
t xyz=
.
Ta có
2
1
0
3 9
x y z


1
0;
9
t
 
∀ ∈


 

⇒

( )
f t
nghịch biến trên
1
0;
9
 


 
.
⇒

( )
1
82
9

81 80x y z x y z
x y z
 
+ + + + + − + +
 ÷
 
≥

( ) ( )
2
2 2
1 1 1
2 81 80x y z x y z
x y z
 
+ + + + − + +
 ÷
 
16
Ôn thi đại học
( ) ( )
2
1 1 1
18 80x y z x y z
x y z
 
≥ + + + + − + +
 ÷
 


+ +
.
Bài 3. Cho
x
,
0y ≥
thỏa mãn
1x y+ =
. Tìm GTLN, GTNN của
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1S x y x y= − − − + +
.
Bài 4. Cho
x
,
0y ≥
thỏa mãn
3x y xy+ + =
. Tìm GTLN, GTNN của
6
2 2 1
x y
S
x y x y
= + +
+ + + +
.
Bài 5. Cho
x

( ) ( )
3 3
3 1 2A x y xy x y
= + + − + −
.
Bài 8. [ĐHA06] Cho
0x
≠
,
0y ≠
thỏa mãn
( )
2 2
x y xy x y xy
+ = + −
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
3 3
1 1
A
x y
= +
.
17
Ôn thi đại học
Bài 9. [ĐHB08] Cho
x
,
y
thỏa mãn

thỏa mãn
2 2
2 1x y xy+ + ≥
. Tìm GTNN của biểu thức
2 2
S x y= +
.
Bài 12. Cho
x
,
y
,
0z
>
thỏa mãn
3
2
x y z+ + ≤
. Tìm GTNN của biểu thức
1 1 1
S x y z
x y z
= + + + + +
.
Bài 13. [ĐHB10] Cho
a
,
b
,
0c