Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 8 Đại học Đà Nẵng năm 2012
1

ĐỊNH LÝ SCHUR VÀ CÁC PHẦN ĐẢO
SCHUR’S THEOREM AND CONVERSES
SVTH: Lương Thị Hường
Lớp 09ST, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu
Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT
Cho G là một nhóm, Z(G) và [ G, G ] lần lượt là nhóm con tâm và nhóm con giao hoán tử
của G. Năm 1904, I. Schur đã chứng minh được rằng: Nếu nhóm thương G/Z(G) hữu hạn, thì
nhóm [ G, G ] hữu hạn. Kết quả này có nhiều ứng dụng trong lý thuyết nhóm và được gọi là Định lý
Schur. Phần đảo của định lý Schur nói chung là không đúng, chẳng hạn các p – nhóm quá đặc biệt
vô hạn, với p là một số nguyên tố lẻ. Mục đích chính của bài báo này là tìm hiểu định lý Schur và
các phần đảo của nó, được phát biểu và chứng minh bởi 4 tác giả khác nhau. Đây là một mảng
kiến thức về lý thuyết nhóm, rất bổ ích cho sinh viên ngành Toán, mà vốn chưa được học trong
chương trình đào tạo.
Từ khóa: nhóm, nhóm con tâm, nhóm con giao hoán tử, định lý Schur, các p-nhóm quá
đặc biệt vô hạn.
ABSTRACT
Let G be a group, Z(G) and [ G, G ] denote the center and the commutator subgroup of G.
In 1904, I. Schur proved that if G/Z(G) is finite, then [ G, G ] is finite. This result has many
applications in group theory and is called Schur’s theorem. The conver of Schur’s theorem is
generally not true, such the p-group too special the infinite, with p is a prime retail. The main
purpose of this paper is to explore the Schur’s theorem and converses of it; be stated and proven
by four different authors. This is an array of knowledge about group theory, very usefull for the
students mathematics, that which has not been studied in the training program.
Key words: group, the center subgroup, the commutator subgroup, Schur’s theorem, the
p-group too special the infinite.

↦ ( [ y, x
1
],…, [ y, x
t
] )
Do
z
với y
Vì vậy f được xác định đúng đắn.
Ta chứng minh f là 1 đơn ánh.
Cho f( ) = f( ) .
Ta có

và theo ( Chương I, Bổ đề 2.1.6 ) Do G sinh bởi x
i
(1 ) mod Z(G) và nằm trong tâm của yx
-1
, ta có
yx
-1
. Vậy , do đó f là một đơn ánh.
Suy ra:
d(G/Z(G))
.
Áp dụng định lý 2.2 ta sẽ chứng minh được định lý 2.1
2.2.3. Hệ quả Cho G là một nhóm lũy linh sao cho d(G/Z(G)) và [G, G] là hữu hạn, khi đó
chia hết .

và . Khi đó Z(G) = [G, G] = < z > là hữu hạn nhưng G/Z(G)
không hữu hạn.
Ví dụ 2: Cho G là một nhóm quaternion hoặc nhóm dihedral cấp 8, khi đó
d(G/Z(G)) = 2.
Ví dụ 3: Cho G là một nhóm dihedral cấp 10, khi đó , 5 và
d(G/Z(G)) = 2.
2.2.5. Định lý [6] Cho G là một nhóm mà trong đó tập S các giao hoán tử của nó là hữu
hạn. Khi đó [G, G] là hữu hạn. Hơn nữa, nếu G/Z(G) được sinh bởi r phần tử thì
r
.
Chứng minh
Cho S = { [ x
i
, y
i
] }
Xét nhóm con hữu hạn sinh H = { x
1
, y
1
,…, x
d
, y
d
} của G
Ta có S = { [ x
i
, y
i
] } và x

1
, g
2
,…, g
r
ta phải chứng minh g Z(H), tức là phải chứng minh gg’ =
g’g với mọi g’ Z(H).
Xét ánh xạ:

Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 8 Đại học Đà Nẵng năm 2012
4
g ↦
Ta đã có H/Z(H) được sinh bởi ảnh của g
1
, g
2
,…, g
rNên với mọi g’ H,
i
g
i
Z(H).
Ta có: (gg
’
) = (g
’
) =

’
H. Do đó g Z(H).
Tóm lại g Z (H) nếu và chỉ nếu g giao hoán với g
1
, g
2,…,
g
r
. Nghĩa là Z(H)
=
H
(g
i
).
Xét lớp liên hợp cl(g
i
) trong H với mỗi g
i
( i r ).
Với mỗi g H ,tồn tại s S sao cho gg
i
g
-1
= sg
i
.
Xét tương ứng : cl(g
i
) Sg
i

) ] H: C
H
(g
i
)]
r

Ta có H là một nhóm mà H/Z(H) là hữu hạn. Do đó theo như Định lý Schur thì [ H, H ] là
hữu hạn. Mặt khác [ G, G ] = < S > [ H, H ] điều này chỉ ra rằng [ G, G ] là hữu
hạn.Lập luận trên chỉ ra rằng
r
,sử dụng điều S là tập các hoán tử của H
là hữu hạn , và H/Z(H) được sinh ra bởi r phần tử. Do đó, áp dụng điều này cho G, ta đạt
được
r
trong đó G/Z(G) được sinh ra bởi r phần tử.
2.2.6. Định lý [9] Cho G là một nhóm bất kỳ sao cho Z
2
(G)/Z(G) hữu hạn sinh và nhóm
[ G, G ] hữu hạn. Khi đó G/Z(G) là hữu hạn.
Chứng minh Vì [ G, G ] hữu hạn, nên theo ( Chương I, Định lý 3.3.5 ), G/Z
2
(G) hữu hạn.
Do Z
2
(G)/Z(G) hữu hạn sinh, nên G/Z(G) hữu hạn sinh, và Định lý được chứng minh bởi
Định lý 2.5.
3. Kết luận
Đề tài: “ Định lý Schur và các phần đảo ” đã tìm hiểu tường tận Định lý Schur và 4
phần đảo của nó, được phát biểu và chứng minh bởi 4 tác giả khác nhau. Đây là một mảng