14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 1
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Chương 3:
CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
I. Bài toán về đòn và vật lật
2. Bài toán cân bằng hệ vật rắn
3. Bài toán tĩnh định và siêu tĩnh
4. Bài toán Ma sát
5. Bài toán Trọng tâm.
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 2
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
I.Bài toán về đòn và vật lật
Vật lật là vật rắn có khả năng bị lật đổ quanh 1 trục 0
dưới tác dụng của các lực hoạt động.
Dựa vào xu hướng lật của vật ta chia lực hoạt động ra:
- Lực lật (Lực làm vật lật hay xu hướng đổ quanh 0).
- Lực giữ (Lực giữ vật tồn tại ở trạng thái cân bằng).
Điều kiện cân bằng của vật lật là:
Tổng mô men các lực giữ lớn hơn
hay bằng tổng mô men các lực lật đối
với cùng điểm lật (hay trục lật) M
g

≥
M
l
P
ur
Q
ur
N

uur
C
P
uur
H
P
uuur
Q
ur
1m 1,5m
0,5m
0,1m
C
1,5m
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 4
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Vị trí cần trục sắp sửa lật quanh
ray D dưới tác dụng của lực Q
đạt giá trị tới hạn Q
max
, lúc này
bánh xe K không còn tiếp xúc
với đường ray nữa và phản lực
ở K = 0. Do đó theo điều kiện
cân bằng vật lật M
giữ

≥
M
lật

A
P
uur
C
P
uur
H
P
uuur
Q
ur
1m 1,5m
0,5m
0,1m
C
1,5m
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 5
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
II. Bài toán cân bằng hệ vật:
Trong thực tế phần lớn các bài toán là nghiên cứu sự cân
bằng của nhiệu vật liên kết cơ học với nhau
Nếu hệ vật cân bằng thì từng vật riêng lẻ cũng cân bằng, do
đó 1 bài toán hệ vật là tập hợp 1 số bài toán 1 vật riêng lẻ.
Có 2 phương pháp giải:
a. Phương pháp hóa rắn:
-
Coi toàn bộ hệ như 1 vật rắn.
-
Thành lập hệ phương trình hình chiếu và mô men.
(trong các phương trình không có nội lực)

giữ cân bằng nhờ các bản lề A, C
và sợi dây EF. Hình vẽ,
cho DE = 1m, Q = 3 kN,
α
= 30
0
.
Hãy xác định các phản lực tại A,C và D
Bài giải:
Ta dùng phương pháp hóa rắn, coi 2 dầm như 1 vật rắn cân
bằng dưới tác dụng của các lực sau:
A
D
B
C
2
P
uur
1
P
uur
Q
ur
F
E
30
0
30
0
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 8

1
– P
2
+ Y
C
- Q.sin30
0
= 0;
∑
m
A
(F
k
) = 0
⇒
– P
1
. – Q.AB.sin30
0
- T.DE.cos30
0
–
- P
2
sin30
0
+ X
C
.CD.cos30
0

D
R
uuur
/
D
R
uuur
/
D D
R = - R
uuur
uuur
C
X
uuur
C
Y
uur
A
Y
uur
A
X
uuur
D
R
uuur
/
D
R

X
A
+ Q.cos30
0
= 0;
∑
Y
k
= 0
⇒
Y
A
– P
1
+ R
D
- Q.sin30
0
= 0;
∑
m
A
(F
k
) = 0
⇒
– P
1

.

30
0
C
X
uuur
C
Y
uur
A
Y
uur
A
X
uuur
D
R
uuur
/
D
R
uuur
T
ur
A
1
, , ,
A A D
X Y P Qvà R
uuur uur uur ur uuur
D

2
+ Q.sin 30
0
– Y
A
= 11,8 kN
T = X
C
= 11,69 kN.
Chú ý:
Nếu ngoài 6 phương trình cân bằng đã có, ta lại xét dầm
CD và viết 3 phương trình cân bằng nữa, thì hệ 3 phương
trình này chỉ là hệ quả của các phương trình đã cho.
Nếu ta giải bài toán trên bằng phương pháp tách vật
nghĩa là giải 2 vật riêng lẻ thì ta cũng có 6 hệ phương trinh
cân bằng lực ta tìm được 6 ẩn số.
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 11
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
4. Bài toán Ma sát:
Định nghĩa ma sát trượt:
Lực ma sát là lực cản trở chuyển
động xuất hiện giữa 2 bề mặt
tiếp xúc của 2 vật, khi 2 vật có xu
hướng chuyển động tương đối.
Hình nón ma sát và hiện tượng tự hãm:
Hình nón ma sát:
+ phản lực liên kết
+ Phản lực toàn phần
+ Góc ma sát
n

vận tốc dịch chuyển tương đối, áp lực trên bề mặt
tiếp xúc.
-
Hệ số ma sát tĩnh lớn hơn hệ số ma sát động.
.
ms
F f N=
uuur uur
n
P
ur
N
uur
ms
F
uuur
R
ur
ϕ
v
r
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 13
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Hiện tượng tự hãm:
Tác dụng lực lên vật, phương
của hợp với n góc
α
xét các
trường hợp sau:
+ Phương của cắt hình nón ma sát

n
P
ur
N
uur
ms
F
uuur
R
ur
ϕ
v
r
Q
ur
Q
ur
Q
ur
α
Q
ur
α
Q.cos
α
Q.sin
α
Q
ur
Q

Q.sinα ≥ Q.cosα.f
Trượt xuống dưới, phân tích ra 2
thành phần
+ Q.cos
α
gây nén vật, (lực nén x hệ số ma sát = lực ma sát).
+ Q.sin α tác dụng kéo vật.

⇒
lực kéo
≥
lực ma sát
⇒
vật bắt đầu di chuyển được và di
chuyển có gia tốc.
n
P
ur
N
uur
ms
F
uuur
R
ur
ϕ
v
r
Q
ur

Ngẫu lực này hướng ngược chiều vật muốn lăn.
Trị số M
l
= k.N k: hệ số ma sát lăn.
Điều kiện cân bằng: - F
ms
≤
f.N - M
l

≤
k.N
N
uur
l
M
uuur
ms
F
uuur
N
uur
ms
F
uuur
0
k
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 16
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Các bài toán:

ur
A
N
uuur
B
N
uuur
ms
F
uuur
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 17
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Thành lập phương trình cân bằng:
∑
X
k
= 0
⇒
N
A
– F
ms
= 0
∑
Y
k
= 0
⇒
- P + N
B


2
AB
1
2 f
A
0
B
α
P
ur
A
N
uuur
B
N
uuur
ms
F
uuur
y
x
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 18
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Bài 2. Hãy xác định lực để con lăn
hình trụ đường kính 60 cm nặng 3000N
Lăn đều theo mặt phẳng nằm ngang,
Biết hệ số ma sát lăn k = 0,5 cm và lực
làm với phương ngang 1 góc
α

N
uur
l
M
uuur
ms
F
uuur
P
ur
Q
ur
α
Q
ur
P
ur
ms
F
uuur
N
uur
l
M
uuur
.
57, 2
cos sin
Q k
P N

k
- tọa độ điểm đặt của lực P
k
. . .
; ;
k k k k k k
C C C
x P y P z P
x y z
P P P
= = =
∑ ∑ ∑
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 20
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
2. Trọng tâm của vật rắn:
a. Định nghĩa:
Trọng tâm của vật rắn là điểm đặt hợp lực P (trọng lượng
) tác dụng lên vật.
b. Phương pháp tìm trọng tâm của vật rắn:
+ Dựa vào tính đối xứng:
Nếu vật có 1 điểm, 1 trục hay 1 mặt đối xứng thì trọng
tâm của vật nằm tại điểm, trên trục hay mặt ấy.
+ Phương pháp phân tích vật (phân chia):
Nếu vật có thể phân chia thành 1 số hữu hạn phần nhỏ
mà trọng tâm các phần nhỏ xác định được thì trọng tâm của
vật được xác định theo công thức sau:
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 21
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Trong đó:
P =

, y
k
, z
k
- tọa độ trọng tâm của phần nhỏ.
. . .
; ;
k k k k k k
C C C
x P y P z P
x y z
P P P
= = =
∑ ∑ ∑
. . .
; ;
k k k k k k
C C C
x S y S z S
x y z
S S S
∆ ∆ ∆
= = =
∑ ∑ ∑
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 22
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Nếu vật là đường đồng chất:
Trong đó:
L =
∑

; ;
k k k k k k
C C C
x l y l z l
x y z
L L L
∆ ∆ ∆
= = =
∑ ∑ ∑
C
1
C
2
x
14/03/14 GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO 23
Chương 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC
Ta coi đĩa gồm 2 phần:
- phần đĩa đầy chưa bị khoét với
diện tích (+) và phần diện tích bị khoét
với diện tích (-)
Từ biểu thức tính trọng tâm ta có:
Bài 2:
Tìm tọa độ trọng tâm của 1 bán cầu
đồng chất bán kính R. Hình vẽ
Bài giải:
Trọng tâm nằm trên trục đối xứng oz
2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2

(R
2
– z
2
)dz
Do đó:
Và
Vậy
( )
.
V
C
z dV
z
V
=
∫
4
2 2
( ) 0
.
. ( )
4
R
V
R
z dV z R r dz
π
π
= − =

tính bằng cm.
Bài giải:
Chọn hệ trục như hình vẽ
Chia hình thành 3 hình nhỏ
có trọng tâm đã biết:
y
x
2
2
2
2
6
8
y
H.3
H.2
H.1