Chương 6. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TOÀN PHƯƠNG
6.1. Dạng song tuyến tính
6.2. Dạng toàn phương
6.3. Dạng chính tắc của dạng toàn phương
6.4. Luật quán tính và dạng toàn phương xác định dấu

6.1. Dạng song tuyến tính
6.1.1. Định nghĩa và các ví dụ.
Định nghĩa 1: Giả sử X là một không gian vectơ (KGVT) trên R. Ánh xạ
f :X X X
 
được gọi là một dạng song tuyến tính (DSTT), nếu
x,x ,y,y X,
λ R
 
   
ta có:
1)
f(x + x ,y) = f(x,y) + f(x ,y),
 

2)
f(
λx,y) = λf(x,y),

3)
f(x,y + y ) = f(x,y) + f(x,y ),
 

4)
f(x,

a
f(u,v) u(t)v(t)dt, u,v C[a,b]
 

- là một DSTT trên C[a,b].
Ví dụ 2: Cho
2 2
f :R R R
 

2
1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2
f(x,y) 2x y 3x y 2x y x y ; x (x ,x ),y (y ,y ) R
       - là
một DSTT trên R
2
.
Ví dụ 3: Cho
f :R R R
 
.
f(x,y) c

- là một DSTT?
Giải: * Nếu c = 0, dễ dàng kiểm tra được f thỏa mãn 4 điều kiện của DSTT . Vậy f(x,y)
= 0 là DSTT.
* Nếu
c 0

, ta thấy với

2
,…, x
n
} , y ={y
1
, y
2
,…, y
n
} là các tọa độ của x, y trong cơ sở (e), còn
a
i j
= f(e
i
, e
j
).
Định nghĩa 2: Ma trận
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a
A =
a a a
 
 
 
 
 

f(x,y) a x y



.
Chú ý 3: Nếu các tọa độ của các vectơ viết dưới dạng ma trận cột
1 1
2 2
n n
x y
x y
x , y ,
x y
   
   
   
 
   
   
   
 
và
T
1 2 n
x (x ,x , ,x )

thì công thức (1) trở thành:
T
f(x,y) x .A.y


là ma trận chuyển từ cơ sở (e) sang cơ
sở
(e)
,
e
A
và
e
A
là hai ma trận tương ứng của cùng một DSTT f(x,y) trong (e) và
(e)
.
Khi đó ta có:
T
e ee e ee
A T .A .T (2),

trong đó
T
ee
T
là ma trận chuyển vị của
ee
T
.
Ghi chú 1: Ta có
ee e e
detT 0, r(A ) r(A ).
 



1 2 3
(e) e , e ,e
 , cho
1 2 3
x (x ,x ,x )

,
1 2 3
y (x ,x ,x )

và DSTT
1 1 2 2 3 3
f(x,y) x y 3x y 2x y
  
.
Cho hệ cơ sở mới


1 2 3
(e) e , e ,e
 với
1
e (1,1,0)

,
2
e (1,0,1)

,



11 1 1
b f e ,e 1.1 3.1.1 2.0.0 4
    
.


21 12 1 2
b b f e ,e 1
  



31 13 1 3
b b f e ,e 4
  



22 2 2
b f e ,e 3
 



32 23 2 3
b b f e ,e 3
  


Ma trận chuyển từ cơ sở (e) sang cơ sở
(e)
:
ee
1 1 1
T 1 0 1
0 1 1
 
 

 
 
 
.
Vậy
T
e ee e ee
A T .A .T
1 1 0 1 0 0 1 1 1 4 1 4
1 0 1 0 3 0 1 0 1 1 3 3 .
1 1 1 0 0 2 0 1 1 4 3 6
 
       
       
 
       
       
       

6.2. Dạng toàn phương.

x ,
x
 
 
 

 
 
 


T
1 2 n
x (x ,x , ,x )
 .
Chú ý 5: Khai triển (3) ta được:
2 2 2
11 1 22 2 nn n 12 1 2 13 1 3 1n 1 n (n 1)n n 1 n
f(x,x) a x a x a x 2a x x 2a x x 2a x x 2a x x (3 )
.
 

         
Chú ý 6: DTP được xác định qua DSTT, nên những tính chất đã đúng cho DSTT cũng
đúng cho DTP. Đặc biệt ta cũng có công thức đổi cơ sở (2):
T
e ee e ee
A T .A .T
 .


x x
x x
Q
x x

   
   

   

   
   

   
 
, hay
1 1
2 2
T
n n
x x
x x
Q (5),
x x

   
   

   


 
 

 
 
 

Thực hiện chéo hóa trực giao ma trân A (Xem ví dụ 10 chương 5)
Kết quả thu được:

1 1 1
3 2 6
1 2
Q 0
3 6
1 1 1
3 2 6
 

 
 
 

 
 
 
 
 
 
,



  




 




   


(từ công thức (5))
6.3.2. Đưa DTP về DCT bằng phương pháp Lagrange.
Nội dung của phương pháp này là dùng các phép biến đổi sơ cấp không suy biến đưa
DTP về DCT. Phương pháp này không đòi hỏi phải giải pt đặc trưng để tìm các GTR –
là một công việc không đơn giản đối với các pt bậc cao.
Xét 2 trường hợp:
I) Trước hết ta xét trường hợp
ii
a 0
 
. Ta có thể giả thiết
11
a 0

, vì nếu


).
*Phương pháp Lagrange tiến hành theo các bước sau:
B1: Nhóm tất cả các số hạng có chứa thừa số x
1
và thêm hoặc bớt vào tổng các số hạng
dạng
k
2
k k i j
b x ,c x x
để được một bình phương đủ và được:
2
11 1 1n n
11
1
f(x,x) (a x a x ) g(x,x),
a
   
trong đó g(x,x) chỉ chứa các bình phương và các số hạng là các tích chéo của
1 2 n
x ,x , ,x
.
B2: Đặt
1 11 1 1n n
2 2
2 n
x a x a x
x x


ij i j
i,j 2
a x x

  

.
Thực hiện sau một số hữu hạn lần như trên, ta đưa được DTP về DCT:
2 2 2
1 1 2 2 r r
f
λ x λ x λ x (r n) (6).
    
Chú ý 7: 1) DCT (6) có ma trận dạng đường chéo (cũng chính là ma trận của f trong cơ
sở mới
(e)
)
1
2
e
r
λ 0 0 0
0
λ 0 0
A
0 0
λ 0
0 0 0 0
0 0 0 0
 

n n
x x
x x
T
x x

   
   
   

   
   
   
 
, hay
1 1
2 2
ee
n n
x x
x x
T (7),
x x
   
   
   

   
   
   

f(x,x) (9x 6x x 6x x ) 6x 6x 12x x
[(3x ) 2.3x .x 2.3x .x x x 2x x ] x x 2x x 6x 6x 12x x
(3x x x ) (5x 5x 10x x )
(3x x x ) 5(x x ) .
      
            
      
    
Đặt
1 1 2 3
2 2 3
3 3
x 3x x x
x x x (*)
x x

  



 





, ta đưa được DTP f về DCT:
2 2
1 2
f x 5x (**)

 
 
.
Hoặc tìm
ee
T
bằng cách giải hệ (*) để tìm biểu diễn tọa độ cũ qua tọa độ mới:
1 1 2
2 2 3 ee
3 3
1 1 1 1
x x x 0
3 3 3 3
x x x T 0 1 1 .
x x 0 0 1
  
 
 
 

 

 
    

 

 



1 2 3 1 2 1 3 2 3
f(x,x) 2x 3x 4x 2x x 4x x 3x x .
     
Hãy đưa DTP f về DCT bằng phương pháp Lagrange. Xác định cơ sở mới mà trong đó f
có DCT trên.
Giải: (Giải sử


1 2 3
(e) e (1,0,0),e (0,1,0),e (0,0,1)
    là cơ sở mà
1 2 3
x (x ,x ,x )

)
2 2 2
1 1 2 1 3 2 3 2 3
2 2 2 2 2
1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
2 2 2
1 2 3 2 2 3 3
2 2 2
3
1 2 3 2 3
f (x,x) 2(x x x 2x x ) 3x 4x 3x x
1 1
2(x x x ) x 2x 2x x 3x 4x 3x x
2 2
1 5
2(x x x ) x x x 2x

  




 
  
    
 
 
 
 
 
 



DTP f được đưa về DCT:
2
2 2
2
1 3
5x
9
f 2x x .
5 10

 
  
Ma trận

 
 
 

Vậy cơ sở mới
(e)
là
 
1 2 3
1 9 1
e 1,0,0 , e ,1,0 , e , ,1 .
2 10 5
   
   
   
   

Chú ý 8: Một DTP có thể được biểu diễn dưới dạng nhiều DCT khác nhau, do đó có
nhiều cơ sở để DTP có DCT trong cơ sở đó.
Ví dụ 8: Từ ví dụ 6 ta đã đưa DTP:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
f(x,x) 9x 6x 6x 6x x 6x x 12x x ,
     
về DCT
2 2
1 2
f x 5x .
 
 

xx x
x x x x
3 3 3
x x x x x x ,
x x x x



 
    


 
  
    
 
 
 
 
 


ta đưa f về DCT:
2 2
1 2
f 9x 5x (3*).
 
 
Nhận xét: (**) và (3*) là hai DCT khác nhau của một DTP. Tuy nhiên số các hệ số
chính tắc khác 0 của chúng là như nhau.

      
      
.
Vậy:
2 2
12 1 2 13 1 3 12 1 2 13 1 2 3
2 2
12 1 12 2
f 2a x x 2a x x 2a (x x ) 2a (x x )x
2a x 2a x
   
        
 
  

Ví dụ 9: Bằng phương pháp Lagrange hãy đưa DTP sau về DCT:
1 2 2 3 3 4
f(x,x) x x x x x x
  

Tìm cơ sở để f có DCT tắc.
Giải: Đặt
1 1 2
2 1 2
3 3
4 4
x x x
x x x
x x
x x

2 4 4
x x x
(x ) (x 2x ) x x
2 2 4
x x
(x ) (x ) x x .
2 2
       
     
  
      
       
  
    
      
 
   
    

Đặt
2
1 1
3
2 2
3 3 4
4 3 4
x
x x
2
x

 :
2 2 2 2
1 2 3 4
f(x,x) x x x x
   
.
Để tìm ma trận chuyển cơ sở
ee
T
từ hệ (4*), ta có:
3 4
1 1
1 1 2
3 2 1 2 3 4
4
2 2
3 3 4
3 3 4
4 3 4
4 3 4
x x
x x
x x x
2 2
x x x x x x
x
x x
2 2
x x x
x x x

ee
1 1 0 0
1 1 1 1
T
0 0 1 1
0 0 1 1

 
 

 
 
 

 
 
.
Vậy
1 2 3 4
e (1,1,0,0); e ( 1,1,0,0); e (0, 1,1,1); e (0,1, 1
,1).
      

6.3.3. Đưa DTP về DCT bằng phương pháp Jacobian.
a.Tiêu chuẩn Sylvester: Cho
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a

  
khác 0
thì có thể đưa DTP f về DCT:
2 2 2
1 1 2 2 n n
f
λ x λ x λ x ,
  
   
trong đó
i 1
1 i
1 i
1
λ , λ (i 2,3, ,n)


  
 
.
c.Tiêu chuẩn Jacobian để đưa DTP về DCT và tìm cơ sở để DTP có DCT trong cơ sở
đó.
B1: Lập ma trận
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a
A =
a a a

 
còn lại bằng cách ứng với mỗi j = 2,…,n ta giải hệ:
1j 11 2j 12 jj 1j
1j 21 2j 22 jj 2 j
1j ( j 1)1 2 j (j 1)2 jj ( j 1) j
1j j1 2 j j2 jj jj
α a α a α a 0
α a α a α a 0

α a α a α a 0
α a α a α a 1
  
   


   




   

   



Cơ sở
(e)
để f có DCT:
2 2 2

DTP có DCT đó:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
f(x,x) 5x x 3x 4x x 2x x 2x x
     
Giải: Ma trận A của DTP f trong cơ sở


1 2 3
(e) e (1,0,0),e (0,1,0),e (0,0,1)
    là
1 2 3
5 2 1
A 2 1 1 5, 1, 1.
1 1 3

 
 
        
 
 
 
 


1 2
1 11 2 22 3 33
1 2 3
1 1
λ α , λ α 5, λ α 1

      
 
 
        
 
 
       
 
13 23
13
13 23
23
13 23
α .5 α .2 1
α 1
α .2 α 1
α 3
α α 2
 

 


   
 



5
  
  
6.4. Luật quán tính và dạng toàn phương xác định dấu.
6.4.1. Luật quán tính của dạng toàn phương.
Định nghĩa 8: Cho DCT của DTP f(x,x) có dạng:
2 2 2
1 1 2 2 n n
f(x,x)
λ x λ x λ x .
   
Nếu
i
λ 1, 1
 
hoặc 0 (i = 1, 2, , n) thì DCT trên gọi là dạng chuẩn tắc của DTP f. Tức
là dạng chuẩn tắc của DTP f có dạng:
2 2 2
1 2 r
f(x,x) ( 1)x ( 1)x ( 1)x (r n) (8).
       
Chú ý 9: Mọi DCT của DTP f luôn đưa được về dạng chuẩn tắc. (!!?)
Định lý 2 (Luật quán tính): Số các số hạng có hệ số dương và số các số hạng có hệ số
âm trong dạng chuẩn tắc của DTP không phụ thuộc vào cách đưa DTP về dạng chuẩn
tắc.
Định nghĩa 9: Giải sử DTP f được đưa về dạng chuẩn tắc.
 Số các hệ số khác 0 của (8) gọi là chỉ số quán tính (CSQT) của DTP f.
 Số các hệ số bằng (-1) của (8) gọi là CSQT âm của DTP f.
 Số các hệ số bằng 1 của (8) gọi là CSQT dương của DTP f.
6.4.2. Phân loại dạng toàn phương.





1 2 1 1 2 2
x ,x :f x ,x 0, f x ,x 0.
  

Định lý 3 (Tiêu chuẩn Sylvester): Cho DTP f.
 f(x,x) xác định dương khi và chỉ khi
1 2 n
0, 0, , 0.
     

 f(x,x) xác định âm khi và chỉ khi
n
1 2 n
0, 0, ,( 1) 0.
      

Định lý 4 (Phân loại DTP theo CSQT): Cho f(x,x) là DTP trong KGTT n chiều X. Ta
có thể phân loại DTP như sau:
a) f(x,x) xác định dương (tương ứng, âm) khi và chỉ khi CSQT dương (tương ứng,
âm) bằng n.(f có dấu không đổi)
b) f(x,x) không xác định dấu (có dấu thay đổi) khi và chỉ khi CSQT dương và CSQT
âm đều khác 0.
c) f(x,x) bán xác định dương (tương ứng, bán xác định âm) khi và chỉ khi CSQT
dương (tương ứng, âm) nhỏ hơn n và CSQT âm (tương ứng, dương) bằng 0.
Sinh viên tự xem ví dụ phần này.