Chu
.
o
.
ng 4
Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
4.1
´
Anh xa
.
song tuyˆe
´
n t´ınh, da
.
ng song tuyˆe
´
n t´ınh.
4.1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa.
D
-
i

i la` a´nh xa
.
song tuyˆe
´
n tı´nh nˆe
´
u no´ tuyˆe
´
n tı´nh d¯ˆo
´
i v´o
.
i mˆo
˜
i biˆe
´
n,
nghı
˜
a la`:
(i) ∀x
1
, x
2
∈ L, ∀y ∈ M : f(x
1
+ x
2
, y) = f(x
1

a sau
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 4.2. Gia
’
su
.
’
L, M la` ca´c khˆong gian vecto
.
trˆen tru
.
`o
.
ng sˆo
´
K.
´
Anh xa
.
song tuyˆe
´
n tı´nh:
f : L × M → K
(x, y) → f(x, y)
d¯u

.
o
.
.
c xa´c d¯i
.
nh nhu
.
sau:
∀x = (x
1
, x
2
), y = (y
1
, y
2
) ∈ R
2
f(x, y) = x
1
y
1
+ 2x
1
y
2
+ 3x
2
y

n chiˆe
`
u trˆen tru
.
`o
.
ng K v´o
.
i hˆe
.
{e
1
, e
2
, ..., e
m
} la` co
.
so
.
’
cu
’
a E va` hˆe
.
{f
1
, f
2
, ..., f

m
∈ E
va` y = y
1
f
1
+ y
2
f
2
+ ··· + y
n
f
n
∈ F , ta co´:
f(x, y) = f(
m

i=1
x
i
e
i
,
n

j=1
y
j
f


i=1
n

j=1
a
ij
x
i
y
j
.
Ma trˆa
.
n c˜o
.
m × n:
A =




a
11
a
12
. . . a
1n
a
21

n tı´nh f theo hai co
.
so
.
’
{e
1
, e
2
, ..., e
m
}
cu
’
a E va` {f
1
, f
2
, ..., f
n
} cu
’
a F .
´
U
.
ng v´o
.
i mˆo
˜

´o
.
c cu
’
a E va` F , ngu
.
o
.
.
c la
.
i mˆo
.
t ma trˆa
.
n cho tru
.
´o
.
c
chı
’
xa´c d¯i
.
nh mˆo
.
t da
.
ng song tuyˆe
´

.
c to
.
a d¯ˆo
.
la`
f(x, y) = x
1
y
1
+ 2x
1
y
2
+ 3x
2
y
1
− x
2
y
2
− 6x
2
y
3
,
Ba`i gia
’
ng D

Vˆa
.
y ma trˆa
.
n cu
’
a f trong c˘a
.
p co
.
so
.
’
chı´nh t˘a
´
c cu
’
a R
2
va` R
3
la`

1 2 0
3 −1 −6

D
-
i
.

u: f(x, y) = f(y, x),
∀x, y ∈ E.
Khi d¯o´ ro
˜
ra`ng ma trˆa
.
n cu
’
a da
.
ng song tuyˆe
´
n tı´nh d¯ˆo
´
i x´u
.
ng la` ma trˆa
.
n d¯ˆo
´
i
x´u
.
ng.
4.2 Da
.
ng to`an phu
.
o
.

.
.
c go
.
i la` mˆo
.
t da
.
ng toa`n phu
.
o
.
ng trˆen E.
Nˆe
´
u E la` mˆo
.
t khˆong gian n− chiˆe
`
u va` {e
1
, e
2
, ..., e
n
} la` mˆo
.
t co
.
so

e
j
) =
n

i=1
n

j=1
x
i
x
j
f(e
i
, e
j
) =
n

i=1
n

j=1
a
ij
x
i
x
j

) = f(e
j
, e
i
) = a
ji
, ∀i, j = 1, n.
Vˆa
.
y ω(x) = X.A.X
t
, v´o
.
i X = [x
1
, x
2
, ..., x
n
] la` ma trˆa
.
n ha`ng biˆe
’
u diˆe
˜
n toa
.
Ba`i gia
’
ng D

.
n cu
’
a da
.
ng toa`n
phu
.
o
.
ng ω theo co
.
so
.
’
{e
1
, e
2
, ..., e
n
} cu
’
a E. Ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n A d¯u

ng ha
.
ng cu
’
a
da
.
ng toa`n phu
.
o
.
ng khˆong phu
.
thuˆo
.
c va`o co
.
so
.
’
d¯a
˜
cho
.
n.
Da
.
ng song tuyˆe
´
n tı´nh d¯ˆo

c sau:
f(x, y) =
1
2
[ω(x + y) − ω(x) − ω(y)]
va` no´ d¯u
.
o
.
.
c go
.
i la` da
.
ng d¯ˆo
´
i cu
.
.
c cu
’
a da
.
ng toa`n phu
.
o
.
ng ω.
Vı´ du
.

2
y
3
+ 4x
3
y
2
+ x
3
y
3
la` mˆo
.
t da
.
ng song tuyˆe
´
n tı´nh d¯ˆo
´
i x´u
.
ng va` ma trˆa
.
n cu
’
a no´ la`


1 −1 2
−1 −5 4

+ 8x
2
x
3
+ x
2
3
.
4.2.2 D
-
u
.
a da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng vˆe
`
da
.
ng ch´ınh tˇa
´
c.
Trˆen K− khˆong gian vector n chiˆe
`
u E ´u
.
ng v´o

.
la`
ω(x) =
n

i=1
n

j=1
a
ij
x
i
x
j
v´o
.
i ∀x ∈ V va` to
.
a d¯ˆo
.
cu
’
a x trong co
.
so
.
’
(e) la` x = (x
1

ω(x) = λ
1
y
2
1
+ λ
2
y
2
2
+ ··· + λ
n
y
2
n
(∗)
trong d¯o´ λ
i
∈ K, i = 1, n.
Da
.
ng (*) d¯u
.
o
.
.
c go
.
i la` da
.

.
so
.
’
cu
’
a E la` cho biˆe
’
u th´u
.
c to
.
a
d¯ˆo
.
cu
’
a ω co´ da
.
ng chı´nh t˘a
´
c d¯u
.
o
.
.
c go
.
i la` co
.

70 4. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
Sau d¯ˆay la` mˆo
.
t sˆo
´
phu
.
o
.
ng pha´p d¯u
.
a mˆo
.
t da
.
ng toa`n phu
.
o
.
ng vˆe
`
da
.
ng chı´nh

.
so
.
’
(e) = {e
1
, e
2
, ..., e
n
} d¯a
˜
cho la`
ω(x) =
n

i=1
n

j=1
a
ij
x
i
x
j
v´o
.
i ∀x ∈ V va` to
.

t toa´n Lagrange d¯ˆe
’
d¯u
.
a da
.
ng toa`n phu
.
o
.
ng ω vˆe
`
da
.
ng chı´nh t˘a
´
c la` la`m xuˆa
´
t hiˆe
.
n bı`nh phu
.
o
.
ng dˆa
`
n d¯ˆo
´
i v´o
.

’
d¯u
.
a ω(x) vˆe
`
da
.
ng
ω(x) = a
1
x

2
1
+ ω
1
,
v´o
.
i a
1
∈ K, a
1
= 0 nˆe
´
u x
1
khˆong v˘a
´
ng m˘a

´o
.
c 2. Biˆe
´
n d¯ˆo
’
i d¯ˆe
’
d¯u
.
a ω
1
(x) vˆe
`
da
.
ng
ω
1
(x) = a
2
x

2
2
+ ω
2
,
v´o
.

c chı
’
ch´u
.
a x
3
, x
4
, ..., x
n
.
C´u
.
tiˆe
´
p tu
.
c nhu
.
thˆe
´
, nhiˆe
`
u nhˆa
´
t sau n bu
.
´o
.
c, ω se

n trı`nh ba`y ro
˜
bu
.
´o
.
c 1. Co´ hai tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p (phu
’
d¯i
.
nh lˆa
˜
n nhau) sau d¯ˆay:
* Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p 1. a
11
, a

ng qua´t ta
co´ thˆe
’
gia
’
su
.
’
a
11
= 0. Khi d¯o´ ω(x) d¯u
.
o
.
.
c viˆe
´
t la
.
i nhu
.
sau:
ω(x) = a
11
x
2
1
+ 2
n


2
1
+ 2x
1

a
12
a
11
x
2
+ ··· +
a
1n
a
11
x
n

+

a
12
a
11
x
2
+ ··· +
a
1n

a
ii
x
2
i
+ 2
n

2≤i<j≤n
a
ij
x
i
x
j
Ba`i gia
’
ng D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n tı´nh