Copywrite: Quách Đăng Thăng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2009 ĐỢT 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: ĐẠI SỐ
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

Câu I (3 điểm):
Cho R là trường các số thực và R – không gian vectơ R
3
. Cho ma trận thực
2 0 1
0 2 1
1 1
A
a
−
 
 
= −
 
 
 
với a là tham số. Chứng minh rằng:
(i) Ánh xạ
3 3
:

(i) Q – không gian vectơ Q[X] có chiều vô hạn, hãy chỉ ra một không gian
vectơ con cụ thể của Q[X] có chiều 2009.
(ii) Tập
{ } ( ) ( ) ( )
{
}
2
1
1 1 2 2 2
n
n
X X X
≥
∪ + − + − + + −
lập thành một cơ sở của Q –
không gian vectơ Q[X].
Câu III (3 điểm): Cho một vành chính A và I, J là hai ideal khác ideal không và A.
Với mỗi phần tử
a A
∈
, ta ký hiệu (a) là ideal chính sinh bới a. Chưng minh rằng:
(i) I là một ideal nguyên tố khi và chỉ khi I là một ideal cực đại.
(ii)
{
}
0
I J
∩ ≠
, và nếu
I J

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

I. Lý thuyết:
Câu 1:
a) Định nghĩa không gian mêtric compact. Cho ví dụ về không gian mêtric
compact.
b) Phát biểu và chưng minh tiêu chuẩn Hausdorff về tập compact trong không
gian mêtric đầy.
Câu 2:
a) Định nghĩa toán tử compact giữa các không gian định chuẩn và chứng minh
các điểu kiện tương đương đối với toán tử compact.
b) Chứng minh rằng nếu
{
}
(
)
1
,
n
n
f L E F
∞
=
⊂
là dãy các toán tử compact từ không
gian Banach E vào không gian Banach F hội tụ tới f trong
(
)
,

→
là toán tử tuyến tính liên
tục. Chứng minh rằng:
a) Nếu
': ' '
A Y X
→
là toàn ánh thì A là đơn ánh.
b) Nếu A’ là đơn ánh thì A(X) là trù mật trong Y.
Câu 3: Giả sử X là không gian Banach,
(
)
A L X
∈
là một toán tử compact,
λ
là
một số khác không. Chứng minh rằng nếu
1
X
A A
λ
λ
= −
là đơn ánh thì nó là phép
đồng phôi.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
(i) Chứng minh rằng f là một đẳng cấu tuyến tính của R – không gian vectơ R
3
.
(ii) Tìm ma trận của f theo cơ sở
(
)
(
)
(
)
1 2 3
1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1
e e e= = =
của R
3
và các trị
riêng của f.
(iii) Tìm các trị riêng và các vectơ riêng tương ứng của f
2009
.
Câu II (2 điểm): Cho một không gian vectơ V có chiều hữu hạn trên trường K; M và
N là hai không gian vectơ con của V. Chứng minh rằng:
(i) dim(V/M) = dimV – dimM.
(ii)
(
)
(
)
/ /
M M N M N N

| &
I J x y x I y J
+ = + ∈ ∈
đều là các ideal của A.
(ii) Nếu
I J A
+ =
thì
I J I J
= ∩
.
Câu IV (3 điểm): Cho G là một nhóm với phép toán nhân có cấp hữu hạn
2
n
≥
và a
là một phần tử của G. Chứng minh rằng:
(i) Quy tắc
(
)
:
T a G G
→
cho bới
x ax

với mỗi
x G
∈
là một song ánh trên G
Copywrite: Quách Đăng Thăng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2009 ĐỢT 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

I. Lý thuyết:
Câu 1:
a) Định nghĩa không gian metric đầy. Cho một ví dụ về không gian metric không
đầy.
b) Phát biểu và chứng minh nguyên lý ánh xạ co cho lớp không gian metric đầy.
Câu 2:
a) Định nghĩa toán tử compact giữa các không gian định chuẩn.
b) Chứng minh rằng nếu
{
}
(
)
1
,
n
n
f L E F

a b
C
với khoảng
cách max.
Câu 2: Giả sử
:
E F
ϕ
→
là ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn E tới
không gian định chuẩn F. Chứng minh
ϕ
là liên tục khi và chỉ khi
'
o
f E
ϕ
∈
với
mọi
'
f F
∈
.
Câu 3: Giả sử L là không gian con đóng của không gian Hilbert E và
x E
∈
.
Chứng minh rằng
,

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: ĐẠI SỐ
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

Câu I (3 điểm): Cho một ma trận thực
2 0 1
0 2 1
1 1
A
a
−
 
 
= −
 
 
− −
 
với a là tham số.
(i) Hãy biện luận hạng của A theo tham số a.
(ii) Với a = 3, hãy tìm trị riêng và vectơ riêng của A.
(iii) Với a = 3, hãy tìm ma trận trực giao T sao cho T
-1
AT là ma trận đường chéo.
Câu II (2 điểm): Cho R là trường các số thực, còn Q là trường các số hữu tỉ. Chứng
minh rằng:
(i) R là một Q-Không gian vectơ vô hạn chiều.
(ii) Tồn tại tập S các số thực vô tỉ sao cho
{

t
q
là các số nguyên sao cho
( )
1 2
1 mod
n n
t t n
p q
+ ≡
.
(ii) Nếu n = 5
k
thì trong G không tồn tại các nhóm con không tầm thường H và
K để G đẳng cấu với nhóm HxK. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Copywrite: Quách Đăng Thăng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

=
⊂
là dãy các toán tử compact
hội tụ trong
(
)
,
L E F
tới ánh xạ f. Hãy chứng minh f là toán tử compact.
II. Bài tập:
Câu 1: Chứng minh hàm cho bởi
( ) ( ) ( )
[ ]
,
, : , ,
b
a b
a
d f g f x g x dx f g C= − ∀ ∈
∫
là một metric
trên tập
[ ]
.
a b
C
các hàm liên tục trên đoạn
[
]
, .

A x y x A y x y E
= ∀ ∈
Chứng minh rằng A liên tục.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Copywrite: Quách Đăng Thăng
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2008 ĐỢT 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: ĐẠI SỐ
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

Câu I (3 điểm):
Cho R – không gian vectơ P
n
[x] gồm tất cả các đa thức có bậc không vượt quá n
(n>0) và mộ t ánh xạ

ứ
ng minh r
ằ
ng:
(i)

D là m
ộ
t ánh x
ạ
tuy
ế
n tính. Hãy tìm giá tr
ị
riêng và vect
ơ
riêng c
ủ
a D.
(ii)

[
]
[
]
1n n
P x R P x
−
≅ ⊕


Cho W là m
ộ
t không gian vect
ơ
có chi
ề
u d
ươ
ng trên tr
ườ
ng các s
ố
th
ự
c R.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(i)

W có vô h
ạ
n c
ơ
s
ở
. Hãy cho bi
ế

(i)

Cho bi
ế
t khi nào thì
{
}
0
I J
∩ =
.
(ii)

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng vành các
đ
a th
ứ
c A[x] v
ớ
i bi
ế
n x c
ũ
ng là m
ộ
t mi

a m
ộ
t nhóm con
đẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i nhóm S
n-1
.
(ii)

S
n
ch
ứ
a m
ộ
t nhóm con cyclic c
ấ
p n. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
≥
và
( )
1 2
1
, , :
p
p j
j
l x x x x
∞
=
 
= = < +∞
 
 
∑
là không gian Banach với
chuẩn
1
1
p
p
j
j
x x
∞
=
 
=

( )
{
}
0 1 2
, , :limx 0
n
x
c x x x
→∞
= = =
là không gian Banach với chuẩn
1
sup
n
n
x x
≥
=
.
Siêu phẳng
( )
1 2 0
1
, , : 0
j j
j
H x x x c a x
∞
=
 

1 2
, ,
a a
để tồn tại
0 0
,
x H y H
∉ ∈
sao cho
(
)
0 0 0
,
d x H x y
= −
.
Câu 2: Cho
{
}
1
n
n
x
≥
là hệ trực giao trong không gian Hilbert E. Chứng minh rằng dãy
1
1
n
j
j

A X E
→
là toán tử compact nếu và chỉ nếu
tồn tại dãy toán tử liên tục hữu hạn chiều
:
n
A X E
→
thỏa mãn
lim 0
n
n
A A
→∞
− =
.
Câu 4: Cho E là không gian định chuẩn. Giải sử A là tập chặn yếu trong E nghĩa là
f(A) là tập bị chặn với mọi
'
f E
∈
. Chứng minh rằng A là tập bị chặn.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Copywrite: Quách Đăng Thăng

x y z t
+ + + =


− − − =

.
Câu II (2 điểm): Cho V là không gian vectơ n chiều
(
)
1
n
≥
trên trường K và f là một
tự đồng cấu của V. Giải sử
2
er er
K f K f
=
. Hãy chứng minh rằng:
1)
(
)
Im er .
V f K f
= +

2)
(
)

a b G
∈
.
Câu IV (3 điểm): Cho A là một vành chính, a và b là hai phần tử của A. Ký hiệu (x)
là một ideal sinh bởi phần tử x. Chứng minh rằng:
1)
(
)
(
)
(
)
a b ab
∩ =
khi và chỉ khi a và b nguyên tố cùng nhau.
2) Nếu a không khả nghịch thì
( )
1
n
n
a
∞
=
∩
là ideal không.
3) A/(a) là một trường khi và chỉ khi a bất khả quy trong A.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
biểu sau là tương đương:
a) f liên tục trên E.
b) Với mọi
(
)
(
)
(
)
1 1
, .
A F f IntA Int f A
− −
⊂ ⊂

Câu 2: Giả sử
:
f E F
→
là ánh xạ giữa hai không gian định chuẩn E, F. Chứng minh
f là liên tục khi và chỉ khi với mọi dãy
{
}
, 0
n n
x E x
⊂ →
thì dãy
(
)

n
T x x e e
λ
∞
=
= 〈 〉
∑
là toán
tử compact.
Câu 4: Giả sử
{
}
n
A
là dãy giảm các tập đo được với độ đo không âm
µ
và f là hàm
không âm, khả tích theo độ đo
µ
trên A
1
.
Đặt
1
n
n
A A
∞
=
=

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

I. Lý thuyết:
Câu 1:
a) Định nghĩa tập hoàn toàn bị chặn, tập compact và không gian metric compact.
Cho ví dụ.
b) Phát biểu và chứng minh các kết quả về ánh xạ liên tục và hàm liên tục trên tập
compact.
Câu 2: Định nghĩa giá trị chính quy và phổ của toán tử tuyến tính liên tục. Chứng
minh nếu E là không gian Banach trên trường K thì phổ
(
)
f
σ
của mọi f thuộc đại số
L(E) là tập compact và hàm
(
)
1
f
λ λ
−
→ −
là giải tích trên giá trị chính quy
(
)
S f
. Hơn
nữa nếu K = C thì

': ' '
A F E
→
là toàn ánh khi và chỉ khi A là đơn ánh và có ảnh đóng.
Câu 3: Chứng minh mọi dạng tuyến tính, khác không trên không gian định chuẩn là
ánh xạ mở.
Câu 4: Giả sử
(
)
1
n
n
e
≥
là hệ trực chuẩn trên không gian Hikbert E và
{
}
1
n
n
λ
≥
là dãy hội
tụ tới o. Chứng minh toán tử A từ E tới E cho bởi
( )
1
|
n n n
n
Ax x e e

Copywrite: Quách Đăng Thăng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2006 ĐỢT 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

I. Lý thuyết:
Câu 1:
a) Định nghĩa không gian metric đầy.
b) Chứng minh mọi tập đóng trong không gian metric đầy là không gian metric đầy
với metric cảm sinh.
Câu 2: Phát biểu và chứng minh định lý Hahn – Banach trong trường hợp không gian
định chuẩn.
Câu 3: Phát biểu và chứng minh định lý Riesz về dạng phiếm hàm tuyến tính trên
không gian Hilbert.
II. Bài tập:
Câu 1: Cho
[
]
[
]
: ; ;
f a b a b
→
là hàm liên tục. Chứng minh f có điểm bất động.

Câu 4: Giả sử
(
)
1
n
n
e
∞
=
là hệ trực chuẩn trong không gian Hikbert E và
{
}
1
n
n
λ
∞
=
là dãy số.
Chứng minh nếu với mọi
x E
∈
chuỗi
1
,
n n n
n
x e e
λ
∞


ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2006 ĐỢT 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: ĐẠI SỐ
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu

Câu 1: Cho nhóm cộng aben A. Nhóm con B của A được gọi là hạng tử trực tiếp
trong A nếu tồn tại nhóm con C sao cho A = B + C (theo nghĩa mỗi phần tử
a A
∈
viết
được dưới dạng a = b + c, với
,
b B c C
∈ ∈
) và
{
}
0
B C
∩ =
. Chứng minh rằng các điều
sau là tương đương:
(a) B là hạng tử trực tiếp trong A.
(b) Tồn tại một tự đồng cấu
:
A A
ϕ


Hãy tìm cơ sở và số chiều của các không gian con Im(L) và Ker(L).
Câu 3: Cho E và F là hai K - không gian vectơ hữu hạn chiều,
{
}
1 2
, , ,
n
U e e e
=
là một
cơ sở của E và
1 2
, , ,
n
u u u
là những phần tử của F. Chứng minh rằng:
1) Tồn tại duy nhất một đồng cấu
:
f E F
→
sao cho
(
)
, 1,2, ,
i i
f e u i n
= =
.
2) Nếu

]
{
}
/
Q f f x Q x
α α= ∈

là một không gian vectơ trên Q.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Copywrite: Quách Đăng Thăng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2006

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: ĐẠI SỐ

f g

là ánh xạ
đồng nhất của F.
b/ Cho ví dụ chứng tỏ rằng ánh xạ g nói trong câu a không duy nhất.
Câu 4: Ánh xạ tuyến tính
3 3
f :R R
→
có ma trận đối với cơ sở
(
)
(
)
(
)
(
)
i 1 2 3
u :u 1;1;0 ,u 0;1;1 ,u 1;0;1
= = =
là
1 2 0
A 0 1 2
1 2 1
 
 
= −
 
 