Các dạng bài tập chuỗi số và chuỗi lũy thừa – Toán cao cấp HP2

Mail: Page 1

DẠNG BÀI TẬP CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA
(tham khảo thêm SBT và HDG bài tập Toán cao cấp HP2)

Dạng 1: Xét sự hội tụ của chuỗi số:
Ví dụ 1: Sử dụng điều kiện cần để xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
( )
1
1
1. 1
2 1
n
n
n
n
+∞
=
+
−
−
∑

( )
1
3 5
2.
5 2 1
n n

100 1
n
n
n n
+∞
=
+
− −
∑

3
4
1
1 1
2.
n
n n
n
+∞
=
+ − −
∑

2
1 1
3. ln
1
n
n
n

5.
( 3)
n
n
n
n
n
+∞
+
=
+
∑

(
)
4
3
1
ln 1
6.
3 3
n
n n
n n
+∞
=
+ +
− +
∑


n
n
n n
+∞
=
+
 
−
 
 
∑

2
1
10.
n
n
n
n
+∞
=
−
∑

2
1
1 1
11. ln
1
n

n
+∞
=
+
+
∑

2
1
14.
ln
n
n
n n
+∞
=
+
∑

3
1
cos
15.
1
n
n n
n
+∞
=
+

n
n
e
+∞
−
=
∑

3
1
1
19.
1
n
n
n n
n
+∞
=
+
+
∑

1
20. tan
3
n
n
n
π

n
+∞
=
+
∑

(
)
( )
2
1
3 !
2.
2 !
n
n
n
n
+∞
=
∑

2 1
1
2 5
3. tan
2
n
n
n

=
−
∑

(
)
2
2
1
5 !
6.
n
n
n
n
n
+∞
=
∑

2
1
1 2 3
7.
2 2 1
n
n
n
n
n

1
1
9.
3 .
n n
n
n
n
+∞
+
=
+
∑

Các dạng bài tập chuỗi số và chuỗi lũy thừa – Toán cao cấp HP2

Mail: Page 2

Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của các chuỗi số đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ sau:
( )
1
ln
1. 1
1
n
n
n
n
+∞
=

n
+∞
+
=
−
−
+
∑

( )
( )
2
1
1
4. 1
3 1 .3
n
n
n
n
n
+∞
+
=
−
+
∑

( )
( )


1
sin
7.
2 1
n
n
n n
+∞
=
−
∑

( )
( )
1
2
1
8. 1
!
n
n
n
n
n
+∞
−
=
−
∑

∑

2
1
3
2.
5 2
n
n
n
n
x
n
+∞
=
−
∑

( )
3
1
2 1
3. 2
1
n
n
n
x
n
+∞

+∞
=
+
 
−
 
−
 
∑

2
1
1 2
6.
2 1
2 1
n
n
n x
x
n
+∞
=
− +
 
 
+
 
+
∑

n
+∞
+
=
+
∑

( )
2
1
9. 1
n
n
n
nx
+∞
=
−
∑

(
)
1
1
10.
3 5 .
n n n
n
x
+∞

x
n
+∞
=
−
−
∑

2
1
4 2
13.
3 1
3 1
n
n
n x
x
n
+∞
=
−
 
 
+
 
+
∑

(

=
∑

Ví dụ 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm tổng quát:
2
1
1.
2 1
n
n
x
n n
+∞
=
− +
∑

( )
2 1
1
1
2.
2 1 ! 2 1
n
n
n
n x
n x
+
+∞

3 2
n
n
n
n
x
+∞
+
=
−
−
+
∑

(
)
(
)
1
4
7 2
1
ln 2
5.
. 1
n
n
n
n x
+∞

7.
2 .ln
n
n
n
x
n
+∞
+
=
∑

( )( )
2 1
1
2 1
8.
5 ln
n
n
n
n x
+∞
+
=
−
+
∑

( )

=
+
∑

2
1
1
1
11.
2 1
n n
n
n
n x
−
+∞
=
   
   
+
   
∑

( )
2
1
2
12. 1
5 2
n

dấu và bán hội tụ.
2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
( )
1
2
n
n
n
a x
+∞
=
−
∑
biết rằng
0 1
n
a n
> ∀ ≥
và tại
0
x
=

chuỗi bán hội tụ.
3. Cho chuỗi lũy thừa
( )
1
1
n
n

b) Nếu
0
α
=
chuỗi
(
)
1
có bán kính hội tụ là
1
R
=

Dạng 3: Tính tổng (nếu có) của chuỗi số sau:

1
2
1.
.5
n
n
n
n
+∞
=
+
∑

(
)

1
1
4.
(2 1)2
n
n
n
+∞
=
+
∑

( )
1
1
1
5.
(2 1)2
n
n
n
n
+∞
−
=
−
−
∑

1

2
8.
1 3
n
n
n
n
−
+∞
=
−
∑

1
2 1
9.
.4
n
n
n
n
+∞
=
+
∑