Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng
Ngày 8 tháng 3 năm 2011
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Định nghĩa
Hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp 1 là hệ có dạng:









dy
1
dx
= f
1
(x, y
1
, , y

(x, y
1
, , y
n
) cùng với các đạo hàm riêng
∂f
i
(x, y
1
, , y
n
)
∂y
j
, i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , n, liên tục trong một miền D
trong R
n+1
.
Giả sử

x
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0

0
= y
0
n
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Các loại nghiệm của hệ chuẩn tắc
Nghiệm tổng quát của hệ (1) là bộ n hàm số
y
i
= ϕ
i
(x, C
1
, C
2
, , C
n
) , i = 1, 2, , n trong đó C
1
, C
2
, , C
n
là các
hằng số tùy ý thỏa mãn các điều kiện sau:
1, Nó thỏa mãn hệ (1) với mọi giá trị của C

0
2
, , C
n
= C
0
n
sao cho các hàm số
y
i
= ϕ
i
(x, C
1
, C
2
, , C
n
) thỏa mãn các điều kiện ban đầu
y
i
|
x=x
0
= y
0
i
, i = 1, 2, , n
Nghiệm riêng của hệ (1) là nghiệm có được bằng cách cho C
1

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

y

= 5y + 4z
z

= 4y + 5z
Lấy đạo hàm hai vế phương trình đầu ta được:y

= 5y

+ 4z

Thay z

bởi vế phải của phương trình sau, ta được y

= 5y

+ 16y + 20z
Từ phương trình đầu suy ra z =
1
4
(y

− 5y). Thế vào phương trình trên
ta được y

− 10y



dx
dt
= y
dy
dt
= x
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình





dx
dt
= 3x − 2y
dy
dt
= 2x − y
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình

y

= y + z
z

= y + z + x
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình



= y
Cộng hai vế phương trình: y

+ z

= y + z ⇒ y + z = C
1
e
x
Trừ hai vế phương trình: y

− z

= −(y − z) ⇒ y − z = C
2
e
−x
Từ đó suy ra y =
1
2
(C
1
e
x
+ C
2
e
−x
) ; z =










dy
1
dx
= a
11
y
1
+ a
12
y
2
+ + a
1n
y
n

dy
n
dx
= a
n1

1
,

Y
2
, ,

Y
m
là những nghiệm của hệ (2) thì mọi tổ hợp của chúng
dạng
C
1

Y
1
+ C
2

Y
2
+ + C
m

Y
m
cũng là nghiệm của hệ ấy.
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao

(2), ta được hệ phương trình sau đối với p
1
, p
2
, , p
n
:







(a
11
− λ) p
1
+ a
12
p
2
+ + a
1n
p
n
= 0
a
21
p

Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Phương pháp giải








a
11
− λ a
12
a
1n
a
21
a
22
− λ a
2n

a
n1
a
n2‘
a
nn

, k = 1, 2, , n Khi đó hệ phương trình vi phân có n
nghiệm:
y
11
= p
11
e
λ
1
x
, y
21
= p
21
e
λ
1
x
, , y
n1
= p
n1
e
λ
1
x
y
12
= p
12





a
11
− λ a
12
a
1n
a
21
a
22
− λ a
2n

a
n1
a
n2‘
a
nn
− λ







λ
1
x
, y
21
= p
21
e
λ
1
x
, , y
n1
= p
n1
e
λ
1
x
y
12
= p
12
e
λ
2
x
, y
22
= p

12
a
1n
a
21
a
22
− λ a
2n

a
n1
a
n2‘
a
nn
− λ








= 0 (5)
Phương trình (5) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ (2). Các
nghiệm của phương trình đặc trưng gọi là giá trị riêng của hệ.
Ta xét các khả năng sau:
TH1: Nếu phương trình đặc trưng (5) có n nghiệm thực phân biệt

e
λ
1
x
, , y
n1
= p
n1
e
λ
1
x
y
12
= p
12
e
λ
2
x
, y
22
= p
22
e
λ
2
x
, , y
n2

12
+ + C
n
y
1n
y
2
= C
1
y
21
+ C
2
y
22
+ + C
n
y
2n

y
n
= C
1
y
n1
+ C
2
y
n2


y
1
= p
11
(x)e
λ
1
x
+ p
12
(x)e
λ
2
x
+ + p
1s
(x)e
λ
s
x
y
2
= p
21
(x)e
λ
1
x
+ p

s
x
trong đó p
ik
(x) là các đa thức bậc l
k
− 1(k = 1, 2, , s; i = 1, 2, , n)
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Phương pháp giải
Các hệ số của đa thức phụ thuộc n hằng số tùy ý C
1
, C
2
, , C
n
. Dựa vào
hệ phương trình (2) có thể tìm được các hệ số đó bằng phương pháp hệ
số bất định.
TH3: Nếu phương trình đặc trưng có các nghiệm phức, xây dựng nghiệm
tổng quát dưới dạng thực tương tự như đối với phương trình vi phân
tuyến tính cấp hai hệ số hằng, nghĩa là lấy các nghiệm riêng là phần thực
và phần ảo của nghiệm riêng phức tương ứng.
Ví dụ 1
Giải hệ




6 − λ −12 −1
1 −3 − λ −1
−4 12 3 − λ






= 0 ⇔ λ
3
−6λ
2
+11λ = 0 ⇔ λ
1
= 1, λ
2
= 2, λ
3
= 3
Véc tơ riêng ứng với λ = 1 là (2, 1, −2);
Véc tơ riêng ứng với λ = 2 là (7, 3, −8);
Véc tơ riêng ứng với λ = 3 là (3, 1, −3)
Vậy nghiệm tổng quát của hệ phương trình:



x = 2C
1

− 3C
3
e
3t
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Ví dụ
Ví dụ 2
Giải hệ

y

= y − z
z

= y + 3z
Giải: Phương trình đặc trưng




1 − λ −1
1 3 − λ





2a = a − c
2b + a = b − d
2c = a + 3c
2d + c = b + 3d
Cho a = C
1
, b = C
2
ta được c = −C
1
, d = −(C
1
+ C
2
)
Vậy nghiệm tổng quát là

y = (C
1
x + C
2
) e
2x
z = − (C
1
x + C
1
+ C
2
) e

= 4 + 3i có giá trị riêng (1, i);
Với λ
2
= 4 − 3i có giá trị riêng (1, −i);
Vậy nghiệm tổng quát là:

y = e
4x
(C
1
cos 3x + C
2
sin 3x)
z = e
4x
(−C
1
sin 3x + C
2
cos 3x)
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Bài tập
Giải các hệ phương trình sau:
1.



3
e
−2t
y = C
1
e
−t
+ C
2
e
2t
− C
3
e
−2t
z = −C
1
e
−t
+ 2C
2
e
2t
2.







1
e
t
− 3C
3
e
−t
z = C
1
e
t
+ C
2
e
2t
− 5C
3
e
−t
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Bài tập
3.





5t
y = 2C
1
e
2t
+ 2C
2
e
−t
+ C
3
e
5t
z = C
1
e
2t
− 2C
2
e
−t
+ 2C
3
e
5t
4.





1
e
−3t
+ C
2
+ C
3
e
6t
z = C
2
+ C
3
e
6t
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Bài tập
5.









4t
z = −C
1
e
2t
+ 2C
2
e
t
− C
3
e
4t
6.











dx
dt
= 2x − 2y
dy
dt

−2t
z = −2C
1
e
t
+ C
2
e
4t
+ 2C
3
e
−2t
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Bài tập
7.











2
e
t
+ C
3
e
2t
z = 2C
1
e
−t
+ C
3
e
2t
8.











dx
dt
= 5x − 2y − 2z

3
e
8t
z = 2C
1
e
2t
− 2C
2
e
5t
− C
3
e
8t
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Bài tập
9.









3t
+ 2C
3
e
6t
z = −C
1
e
2t
+ C
2
e
3t
+ C
3
e
6t
10.











dx

2t
− 2C
3
e
−t
z = 1C
1
e
5t
+ 2C
2
e
2t
+ 2C
3
e
−t
Th.S Đàm Thanh Phương; Th.S Ngô Mạnh Tưởng HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Bài tập
Bài tập
11.







3
e
−7t
z = C
2
e
t
12.











dx
dt
= 3x − 2y
dy
dt
= −2x + 3z
dz
dt
= 5z














dx
dt
= x + y + 4z
dy
dt
= 2x − 4z
dz
dt
= −x + y + 5z



x = C
2
e
2t
+ 2C
3
e






dx
dt
= 7x − 2y
dy
dt
= −2x + 6y − 2z
dz
dt
= −2y + 5z



x = C
1
e
3t
+ 2C
2
e
6t
− 2C
3
e
9t
y = 2C






dx
dt
= 3x − 4y + 2z
dy
dt
= x − 7y + 7z
dz
dt
= x − 4y + 4z



x = 2C
1
e
2t
+ C
2
e
−3t
+ C
3
e
t
y = C






dx
dt
= −3.5x + 7y − 2.5z
dy
dt
= −8x + 13y − 4z
dz
dt
= −10.5x + 15y − 3.5z



x = C
1
e
t
+ C
2
e
3t
+ 1C
3
e
2t
y = C