Thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán Bảng A
( Thời gian 180 phút , không kể giao đề)
Bài 1( 4,0 điểm)
Cho hàm số : y =
)(
1
8
2
m
C
x
mmxx

++
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C
m
) khi m = 1
2) Tìm m để cực đại , cực tiểu của (C
m
) nằm về hai phía của đờng thẳng
9x 7y 1 = 0
Bài 2( 4,0 điểm)
1)Tìm p và q để giá trị lớn nhất của hàm số y =
qpxx ++
2
trên
[ ]
1;1
là bé
nhất
3) Gọi ( x ; y ) là nghiệm của bất phơng trình

0
cos1
sin
dx
x
xx
I
2) Cho x
2
+y
2
=1 . Chứng minh :
2)(5)(20)(16
3355
++++ yxyxyx
Bài 5( 4,0 điểm)
1) Cho tứ diện ABCD . Các mặt của tứ diện có diện tích bằng nhau .
Chứng minh rằng tâm mặt cầu nội , ngoại tiếp tứ diện trùng nhau.
2) Cho tứ diện ABCD và một mặt phẳng (P) . Tìm trên mf (P) điểm M
sao cho
MDMCMBMA +++
nhỏ nhất
Hớng dẫn chấm và thang điểm thi học sinh giỏi 12
môn toán bảng a
Bài Hớng dẫn chấm Điểm
1
1) Khi m = 1
)(
1
7

+ 0 - - 0 +
CĐ + +
y
- - CT
*)Hàm số đạt cực đại tại x = -2 y
CĐ
= -3
đạt cực tiểu tại x = 4 y
CT
= 9
*)x = 1 là tiệm cận đứng vì Lim f(x) = - và lim f(x) = +
x1
-
x1
+

*) y = x + 2 là tiệm cận xiên vì lim(f(x) x 2 ) = lim
0
1
9
=
x
x x
Đồ thị : dạng đồ thị
2)Tập xác định x 1
2
2
'
)1(
82

= m + 8 tại x = 4 ; đặt B ( 4 ; m + 8 )
A ; B nằm hai phía của đờng thẳng 9x 7y 1 = 0
(9x
A
7y
A
1 )( 9x
B
7y
B
1 ) < 0
( 9 -7m )( -21 7m) < 0 -3 < m <
7
9

Vậy m







7
9
;3
thoả mãn bài toán
0,5
0,5
0,5

f
p
h(
2
1
) >

Nếu p < 0





>
>
>
2
1
)0(
2
1
)1(
11
f
f
p
h(
2
1
) >

1
)1(
2
1
1
2
1
>>>+>

hfqq
Nếu q < -
2
1
)(
2
1
)0(
2
1
2
1
>>>

hfq
Nếu q = -
2
1
2
1
)



++<
<+



++
>+
+
+
)(
220
12
)(
22
12
(*)1)2(log
22
22
22
22
2
22
II
yxyx
yx
I
yxyx
yx

2(
2
1
2)1()
4
9
2(
2
2
++






+=+ yxyxyxyx
đúng với mọi x ; y thoả mãn (*) . Dấu = xảy ra





=
=






1
thì 2x + y lớn nhất
Trờng hợp 2 : ( x ; y ) thoả mãn (II) 2x + y không đạt giá trị lớn nhất
Vì từ (II)
122
22
<++ yxyx
0,5
0,5
0,5
0,5
3
2) cos3x cos2x + mcosx 1 = 0 (1)
3)



=+
=
=+
)2(03cos2cos4
0cos
0)3cos2cos4(cos
2
2
mxx
x
mxxx
4) 1) Với m = 3 thì (1)


cos
0cos
2
2) Xét phơng trình (2)



=+
=

)3(0324
1;cos
2
mtt
txt
Vẽ đồ thị hàm số y = cosx trên









2;
2
0,5
0,5
0,25







2;
2
khi và chỉ khi phơng trình (3) có hai nghiệm t
1
< t
2
thoả mãn
0 < t
1
< t
2
<1







<<
<<
>
>
>

0;0 ==== txtxx

6) dx = - dt ; sinx = sint ; cos
2
x = cos
2
t
7)

+

+
=
+

+
=


0 0 0 0
2222
cos1
sin
cos1
sin
cos1
sin
cos1
sin
x

sin
2 dx
t
dt
x
xdx
I
9)
4
2

= I
10) 2) Đặt x = sint ; y = cost
1cossin
22
=+ tt
11) Ta có sin5t = 16sin
5
t 20sin
3
t + 5sint
12) Cos5t = 16cos
5
t 20cos
3
t + 5cost
13) sin5t = 16x
5
20x
3

A
D
I
Đ

I

C
C

K

P
5
Dựng mf(P) AB tại M . Gọi DK ; CH là các đờng cao của tam giác
DAB và tam giác CAB . Do dt DAB = dtCAB DK

= CH. Gọi C

;
D

lần lợt là hình chiếu của C ; D trên (P) MC

= MD

vì CH // (P) ;
DK// (P) MC

D

là đờng vuông góc chung
của AB và CD I

I ; K

K
Do đó tứ diện ABCD có các đờng trung bình đồng thời là đờng vuông
góc chung
Gọi O là trung điểm IK OA = OB = OC = OD vậy O là tâm mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABCD
*) V
KBCD
= V
KACD
KI mf phân giác của góc phẳng nhị diện cạnh CD và AB . Tơng tự
PQ mf phân giác của góc phẳng nhị diện cạnh AC và BD. Vì KI
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
A

B
C
D
O
P
Q
I

D
I
ị
N