 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố1
KHỞI ĐỘNG : ĐẠO HÀM

I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1.Địnhnghĩađạohàm
 
   
x
y
lim
x
xfxxf
limxfy
0x
00
0x
0x
0












; f)
y cos x.sin x
;
Bài 2.Chứngminhrằng:
a.Vớihàmsốy=x.sinx,tacĩxy–2(y’–sinx)+xy”=0;
b.Chohàmsốy=cos(2x–1).Chứngminhrằng:y”+4y=0
Bài 3.Chohàmsốy=2x
2
+16cosx–cos2x
 a.Tínhy’,y”,y’(0),y”()
 b.Giảiphươngtrìnhy”(x)=0trên[0;2]
Bài 4.Chohàmsốy=x
3
+3x(C).Viếtphươngtrìnhtiếptuyếncủa(C)trongcáctrường
hợp:
 a.Tạigiaođiểmcủa(C)vớitrụcOx; 
 b.Tiếptuyếnsongsongđườngthẳngy=9x+1.
Bài 5.Chohàmsốy=x
3
+3x2(C).Viếtphươngtrìnhtiếptuyếncủa(C):
 a.Tạigiaođiểmcủa(C)vàđườngthẳngy=2;
 b.Tạiđiểmcóhoànhđộx=2
<0thìhàmsốgiảm
+Kếtluậntươngứng:hàmsốđồngbiến,nghịchbiếntrênkhoảng 
2/ Tìm m để hàm số tăng (giảm) :
1. Hàm số bậc 3:( hàm số hữu tỷ2/1)
B1:TXĐ
B2:Tínhy’


B3:



CHÚ ý:Nếu hệ số a của y’ có chứa tham số th́ xét a = 0
2. Hàm số nhất biến:
ax b
y
cx d




B1:TXĐ
B2:Tínhy’


B3:



Bài 1.Xétchiềubiếnthiêncủacáchàmsốsau:

3 2
y x x 2x 3   
tăngtrênmiềnxácđịnhcủanó.
b)Hàmsố
2
x x 1
y
x 1
 


tăngtrêntừngkhoảngxácđịnhcủanó.
c)Hàmsố
3 x
y
2x 1



nghịchbiếntrêntừmgkhoảngxácđịnhcủanó.
d)Hàmsố
2
y 2x x 
nghịchbiếntrên[1;2]
e)Hàmsố
2
y x 9 
đồngbiếntrênnữakhoảng

3; )

y' 0 

Giảitìmm
Giảitìmm
 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố3
Bài 4.Vớigiátrịnàocủam,hàmsố
m
y x 2
x 1
  

đồngbiếntrêntừngkhoảngxácđịnh
củanó?
Bài 5.Vớigiátrịnàocủaa,hàmsố
3 2
1
y x 2x (2a 1)x 3a 2
3
      
nghịchbiếntrênR?
Bài 6.Chohàmsố
2
f (x) 2x x 2 

CMRhàmsốfđồngbiếntrênnữakhoảng[2;+

).
Bài 7. Chohàm số
3 2

x mx 1
y
x 1
 


luônluônđồngbiếntrêntừngkhoảngxácđịnhcủanó
 d)
mx 4
y
x m



luônluônđồngbiếntrêntừngkhoảngxácđịnhcủanó
 e)
   
3
2
x
y m 1 2x m 4 x m 2
3
      
luônnghịchbiếntrênR
Bài 10Chứngminhcácbấtđẳngthứcsau
 a)
1
2 x 3 khix 1
x
  

1. Dấu hiệu cần:Hàmf(x)đạtcựctrịtạix
0
vàcóđạohàmtạix
0
thìf
/
(x
0
)=0
2. Tìm cực trị = dấu hiệu I:
+MXĐD=?
+Tính:y
/
=,tìmnghiệmcủaPTy
/
=0.
+BBT:(sắpcácnghiệmcủaPTy
/
=0vàgiátrịkhôngxácđịnhcủahàmsốtừtráisang
phảităngdần)
+Kếtluậncựctrị?
Chú ý:
1) Nếuhàmsốluôntăng(giảm)trong(a;b)thìkhôngcócựctrịtrong(a;b).
2) Sốcựctrịcủahàmsốbằngsốnghiệmđơn(y’đổidấukhixquanghiệmđó)
củaphươngtrìnhy
/
=0.
 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố4
3) x

(x
1
);y
//
(x
2
)…….
Nếuy
//
(x
0
)>0thìhàmsốđạtCTtạix
0
;y
CT
=?
Nếuy
//
(x
0
)<0thìhàmsốđạtCĐtạix
0
;y
CĐ
=?
Chú ý :dấuhiệuIIdùngchonhữngh/smày
/
khóxétdấu
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu:
Chohàmsốy=f(x)

f "(x ) 0





thìx=x
0
làđiểmcựctrị
Ghi nhớ : +Hàmbậc3cócựctrị(cócựcđại,cựctiểu):y’=0cóhainghiệmphânbiệt


a 0
0



 


+Điềukiệnđểhàmbậc4có3cựctrị: y
/
=0có3nghiệmphânbiệt.
Một số ví dụ:
1/Chohàmsốy=mx
3
2mx
2
2.Tìmmđểhàmsốđạtcựctiểutạix=1
Giải:

3
4
m  
2




 






2/Chứngminhrằnghàmsốy=
 

2
2
x 2x m
x 2
luônluôncómộtcựcđạivàmộtcựctiểu.
Giải:
Tacó
 
 
2
2
2

–6mx+3(m
2
–m)
Đểhàmsốcócựcđại,cựctiểu

y
/
=0có2nghiệmphânbiệt


3x
2
–6mx+3(m
2
–m)=0có2nghiệmphânbiệt
đổidấuquax
0

 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố5



/
0 


9m
2
–9m

x 4 x 4
 
   
 

Bài 2Địnhmđểy=
   
3 2 2 2
x 3mx 3 m 1 x m 1    
đạtcựcđạitạix=1.
Bài 3Chohàmsốy=
4
2
x
ax b
2
 
.Địnha,bđểhàmsốđạtcựctrịbằng–2tạix=1
Bài 4)Xácđịnhmđểhàmsố
2
x mx 1
y
x m
 


đạtcựcđạitạix=2.
Bài 5Chohàmsốy=
   
3 2

x 2
 


luônluôncómộtcựcđạivàmộtcựctiểu.
Bài 11Xácđịnhmđểcáchàmsốsaucócựctrị:
2
3 2
x mx 2
a) y x 2x mx 1 b) y
x 1
 
    


Bài 12Vớigiátrịnàocủathamsốmthìhàmsố
 
3 2
y m 3 x 2mx 3   
khôngcócựctrị
Bài 13Địnhmđểhàmsốy=f(x)=x
3
–3x
2
+3mx+3m+4
a.Khôngcócựctrị.    
b.Cóđồthị(C
m
)nhậnA(0;4)làmmộtđiểmcựctrị(đạtcựctrị4khix=0).
Bài 14Dùngquitắc1đểtìmcựctrịcủahàmsốsau

  i)
y x 3 x 

 
Bài 15Dùngquitắc2đểtìmcựctrịcủahàmsốsau
 a)
3 2
y x 3x 9x 7   
 b)
3 2
y x 3x 2  
 c)
y sin2x x 
trên(0;2)
 
 d)
y 2sin x cos2x 
 e)
 
2
y sin x 3 cos x,(x 0; )   
 

 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố6
Bài 16Tìmmđểcáchàmsốsauđâycócựctrị
 a)
   
3 2
1 1

y x m 1 x 3m 1 x m 1
3
      
đạtcựcđạitạix=2
 c)
 
3 2
1
y x mx 2 5m 8 x 1
3
    
đạtcựctiểutạix=2
 d)
 
3 2 2 2
y x 3mx 3 m 1 x m 1     
đạtcựcđạitạix=1
 e)
2
x mx 1
y
x m
 


đạtcựcđạitạix=2f)
2 2
x m x 4m
y
x 1

3 2
y x 6x 3 m 2 x m 6     
cóhaicựctrịcùngdấu
Bài 19Tìmavàbđểhàmsố
4
2
x
y ax b
2
  
đạtcựcđạibằng2tạix=1
Bài 20Chohmsố
2
x x m 1
y
x 1
  


.Tìmmđểhàmsố:
 a)cóhaicựctrị b)cóhaicựctrịcùngdấu
 c)Viếtphươngtrìnhđườngthẳngđiquahaiđiểmcựcđạivàcựctiểu.
Bi 21Chohmsố
 
   
3 2 2 2
y x 2 m 1 x m 4m 1 x 2 m 1       

Tìmmđểhàmsốđạtcựctrịtạihaiđiểmx
1

Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố7
-Tính y’, tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định nhưng tại đó hàm
số
liên tục , tính giá trị của hàm số tại các điểm đó.
-Lập bảng biến thiên căn cứ bảng biến thiên

GTLN, GTNN.
2 /Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]:
-Tính y’, tìm các điểm thuộc [a;b] tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định
nhưng tại đó hàm số liên tục. Giả sử các điểm đó là x
1
, x
2
,…, x
n

-Tính các giá trị f(a), f(x
1
), f(x
2
),…., f(x
n
) , f(b) GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa
tìm được, GTNN là giá trị nhỏ nhất trong các số vừa tìm được.
Ví dụ
a)Tìmgiátrịlớnnhất&giátrịnhỏnhấtcủahàmsốy=

2
2x x
trên(0;2)

/
+0-
y 1
CĐ
Vậy

(0;2)
maxy 1
;
(0;2)
miny
:khôngcó
b)y
/
=

2
2
x 1
x
choy
/
=0

x
2
-1=0





Vậy

1
[ ;2]
2
7
miny
2


1
[ ;2]
2
maxy 3

BÀI TẬP
Bài 1.TìmGTLNcủacáchàmsốsau:
2 3 4
a) y 1 8x 2x b) y 4x 3x
    

Bài 2.TìmGTNNcủacáchàmsốsau:
2
2
(x 2) 2
a) y (x 0) b) y x (x 0)
x x

    

Bài 4.TìmGTLN-GTNNcủacáchàmsốsau:
 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố8
a)y=x–5+
2
4 x
. b)y=x
2
1 x
c)y=
2 x
1 x


trên[–3;–2]d)y=
2
x
1 x

f)y=x
2
–ln(1–2x)trên[–2;0]g)y=cos
3
x–6cos
2
x+9cosx+5;h)y=sin
3
x–cos2x+
sinx+2.
Bài 5Tìmgiátrịlớnnhất,giátrịnhỏnhấtcủacáchàmsố

 
trênđoạn[0;
2

](TN2008)
 d)
4 2
y x 2x 1  
trênđoạn[0;2](TN2008CB)
 e)
2 x
y x .e

trênđoạn[3;2]f)
y 2 cos2x 4sin x
 
trênđoạn[0;
2

]
 g)
3
4
y 2sin x sin x
3
 
trênđoạn[0;] h)
y x 2 4 x   

Bài 7Tìmgiátrịlớnnhất,giátrịnhỏnhấtcủacáchàmsố

trênđoạn[0;2]
 g)
2
y x 4x 3  
trênđoạn
 
1;2


*TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

+ Tiệm cận ngang.
y=y
0
làtiêmcậnngangcủađồthịhàmsốy=f(x)nếutồntạiítnhấtmộttrongcác
giớihạnsauđây:
0
x
lim f (x) y


;
0
x
lim f (x) y



+ Tiệm cận đứng.
x=x

y’ Xétdấuy
/
y Ghikhoảngtăng,giảm,cựctrịcủahàmsố

 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố9
B5:Tìmđiểmđặcbiệt
B6:Vẽđồthị
Cácdạngđồthịhàmbậc3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d













y' 0 coù 2 nghieäm phaân bieät
a 0

y' 0 x










y' 0 coù 3 nghieäm phaân bieät
a 0






y' 0 coù 1 nghieäm ñôn
a 0






y' 0 coù 3 nghieäm phaân bieät
a 0




x 2 y 0

°Giớihạn:

 
x
limy
,

 
x
limy

°Bảngbiếnthiên.
x

20+


y
/
+00+
y 0CT+




CĐ4
Hàmsốđồngbiếntrêncáckhoảng(;2);(0;+)vànghịchbiếntrênkhoảng(2;0)
HàmsốđạtCĐtạix=2;y

x = 0 y=0
x = 1 y=1



 


°Giớihạn:

 
x
limy

2
-2
-4
x
y
14 -2
 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố10
°Bảngbiếnthiên:
x

101+


y
/

Bài 1:Khảosátcáchàmsốsau:
a/y=x
3
–3x
2
b/y=x
3
+3x–2c/y=x
3
+3x
2
+4x-8
d/y=x
4
–6x
2
+5e/y=
1
4
x
4
+2x
2
+
9
4
f/y=x
4
+2x
2

B2:Tínhđạohàmy’=
 


2
a.d b.c
cx d

B3:Giớihạnvàtiệmcận
Tiệmcậnđứnglàx=
d
c
Tínhghạnbêntrái,phảicủaykhix


d
c

Tiệmcậnnganglà:

a
y
c



x
a
lim y
c

++
y +

2
2-



B6:Vẽđồthị
Dạng đồ thị hàm
y’<0
x D 
y’>0
x D  Chú ý:ĐồthịhàmnhấtbiếnluônnhậngiaođiểmIcủahaitiệmcậnlàmtâmđốixứng.
2/ Ví dụ:Khảosáthàmsố:y=


2x 2
x 1
.
°TXĐ:D=R\
 
1



°Bảngbiếnthiên.






Hàmsốđồngbiếntrêntừngkhỏang(-

;-1)và(-1;+

).Hàmsốkhôngcócựctrị
°Điểmđặcbiệt
x 01
y –20

°Đồthị:
Bài tập:
Bài 1: khảosátcáchàmsốsau:
a/y=
 

x 2
2x 1
b/y=


x 1
x 1

   
 
Bài 2Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịcủacáchàmsốsau:
a)
4 2
y x 2x
 
b)
4 2
y x 2x 2   
c)
4 2
1
y x x 1
2
  
 d)
4 2
1 3
y x 2x
4 4
  

Bài 3Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịcủacáchàmsốsau
 a)
2x 1
y
x 1



-4
-6
-8
x
y
 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố12
6
4
2
-2
5
x
y
 Chohàmsố:y=f(x)cóđồthị(C),y=g(x)cóđồthị(C’).Tìmgiaođiểmcủa(C)và(C’).
 Phương pháp giải:
B1:Lậpphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa(C)và(C’):f(x)=g(x)(1)
B2: Giải(1)giảsửnghiệmcủaphươngtrìnhlàx
0
,x
1
,x
2
...thìcácgiaođiểmcủa(C)và
(C’)là:M
0
(x
0
;f(x
0

x 1


cóhainghiệmphânbiệt
Phươngtrìnhmx
2
–(m–4)x–5=0cóhainghiệmphânbiệt,khác1

2
2
2
m 6 2 5
m 0
m 0
(m 4) 20m 0 6 2 5 m 0
m 12m 16 0
m 0
m.1 (m 4).1 5 0

  






          

 
  

2
+(m1)x–(1+m)=0(1)
Đặtg(x)=x
2
+(m1)x–(1+m),g(1)=10
=m
2
+2m+5=(m+1)
2
+4>0m
Dođópt(1)luôncó2nghiệmphânbiệtkhác1.Vậydvà(C)luôncắtnhautai2điểmphânbiệt.
II/ Bài toán2: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
 Dùngđồthịbiệnluậnsốnghiệmcủaphươngtrình(x,m)=0.
 Phương pháp giải
(đồthị(C)củahàmf(x)Thườngđãcótrongbàitoánkhảosáthàmsố)
B1:Đưaptvề:f(x)=g(m)(1)
B2:Sốnghiệmcủaphươngtrình(1)bằngsốgiaođiểmcủa2đườngy=f(x)vày=g(m).
Tùytheomdựavàosốgiaođiểmđểkếtluậnsốnghiệm.
Ví dụ:
Cho hàmsố y=x
3
 –6x
2
 + 9x(C). Dùngđồ thị(C)
biệnluậnsốnghiệmcủaphươngtrình
x
3
–6x
2
+9x–m=0

phươngtrình:x
4
–4x
2
+5=m.
Bài 2: Chohàmsốy=x
3
3x–2cóđồthị(C)
a/Khảosátvàvẽđồthịhàmsố.
b/Dùngđồthị(C),địnhmđểphươngtrình:x
3
3x–2=mcó3nghiệmphânbiệt.

III/ Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến.
Chohàmsốy=f(x)cóđồthị(C).Tacầnviếtphươngtrìnhtiếptuyếnvớiđồthị(C)trongcác
trườnghợpsau:
1/ Tại điểm có toạ độ (x
0
;f(x
0
)) :
B 1:Tìmf’(x)

f’(x
0
)
B 2:Phươngtrìnhtiếptuyếnvới(C)tạiđiểm(x
0
;f(x
0

là:y=
/
0
f (x )
(x–x
0
)+y
0

3/ Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độ y
0
:
B1:Tìmf’(x).
B2:Dotungđộlày
0

f(x
0
)=y
0
.giảiphươngtrìnhnàytìmđượcx
0

f
/
(x
0
)
B3:Phươngtrìnhtiếptuyếnvới(C)tạiđiểmcótungđộy
0

)

phươngtrìnhtiếptuyếny=k(xx
0
)+y
0

Chú ý:Tiếptuyếnsongsongvớiđườngthẳngy=ax+bthìcóf
/
(x
0
)=a.
 Tiếptuyếnvuônggócvớiđườngthẳngy=ax+bthìcóf
/
(x
0
).a=1

0
1
f '(x )
a



Ví dụ 1:
Chođườngcong(C)y=x
3
.Viếtphươngtrìnhtiếptuyếnvớiđườngcong:
a.TạiđiểmA(1;1)b.Tạiđiểmcóhoànhđộbằng–2

0
=2

  

 

f( 2) 8
f '( 2) 12
Ph.trìnhtiếptuyếnlày=12(x+2)–8=12x+16
c/Tacótungđộbằngy
0
=–8

f(x
0
)=8


3
0
x
=8

x
0
=2

f’(x
0

Phươngtrìnhtiếptuyếnlà:y=3(x1)+1=3x2.
vớix
0
=1

f(1)=1

Phươngtrìnhtiếptuyếnlà:y=3(x+1)1=3x+2.
Bài tập
Bài 1:Chohàmsốy=x
3
3x
2
cóđồthị(C).Viếtphươngtrìnhtiếptuyếnvới(C)
a/Tạicácgiaođiểmvớitrụchoành.b/Tạiđiểmcóhoànhđộ=4.
c/Biếttiếptuyếncóhệsốgóck=3.d/Biếttiếptuyếnsongsongvớiđườngthẳngy=9x
e/Biếttiếptuyếnvuônggócvớiđườngthẳngy=
1
3
x
Bài 2:Chohàmsốy=
 

2
x x
x 1
cóđồthị(C).Viếtphươngtrìnhtiếptuyếnvới(C)
a/Tạicácgiaođiểmvớitrụchoành.b/Tạiđiểmcóhoànhđộ=2.
c/Tạiđiểmcótungđộy=
3


nhữngđiểmcótoạđộnguyên
Bài 2Tìmtrênđồthị(C)củahàmsố
x 1
y
x 2



nhữngđiểmcótoạđộnguyên
Bài 3Tìmcácđiểmmàhọcácđườngcongluônđiquakhimthayđổi
 a)
 
 
 
3 2 2
y x m 1 x 2m 3m 2 x 2m 2m 1       

 b)
   
3 2
y 2x 3 2m 1 x 6m m 1 x 1     

Bài 4TìmđiểmMtrênđồthị(C)củahàmsố
3 2
y x 3x
 
màtạiđótiếptuyếncủa(C)
vuônggócvớiđườngthẳngd:
1

1
x 2x 3x m 0
3
   
có3nghiệmphânbiệt.
c)Tìmcáctiếptuyếncủa(C)songsongvớicácđườngthẳngy=
3
x
4

Bài 3)Chohàmsốy=f(x)=x
3
–3mx
2
+3(2m1)x+1(1)(mlàthamsố)
a)Xácđịnhmsaochohàmsố(1)tăngtrênmiềnxácđịnh.
b)Xácđịnhmsaochohàmsố(1)cómộtcựcđạivàmộtcựctiểu.
c)Khảosátvàvẽ(C)khim=1.
Bài 4)Chohàmsốy=
3 2
x 6x 9x 1  
cóđồthị(C)
a)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽ(C).
b)Tìmgiaođiểmcủa(C)vàđườngthẳngy=3.
c)ViếtPTTTcủa(C)biếthệsốgóccủatiếptuyếnbằng9
d)Tìmmđểphươngtrình
3 2
2x 12x 18x 2m
  
có1nghiệm

+12x
2
+3k=0có4nghiệmphânbiệt 
c)Viếtptttcủa(C)tạigiaođiểmcủa(C)vớitrụctung
d)Giảibptf’’(x)<4x
Bài 8)Chohàmsố
x 3
y
x 1



cóđồthị(C)
a)Khảosátvàvẽ(C).
b)ViếtPTTTcủa(C)tạigiaođiểmcủa(C)vớitrụctung
c)Chứngminhđườngthẳngy=2x+mluôncắt(C)tạihaiđiểmphânbiệt
Bài 9)Chohmsố(C
m
):y=
m x 1
2 x m


(1)
a) Chứngminhrằngvớimọigiátrịcủathamsốm,hàmsố(1)luônđồngbiếntrênmỗi
khoảngxácđịnhcủanó
b) Xácđịnhmđểtiệmcậnđứngcủađồthịhàmsố(1)điquaA(1;
2
).
c)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị(C)củahmsốkhim=2

b)Viếtphươngtrìnhtiếptuyếncủa(C)biếthệsốgĩccủatiếptuyếnbằng4
c)CMRđườngthẳngd:y=x–2mluôncắt(C)tại2điểmphânbiệt

CHỦ ĐỀ 2: PT MŨ VÀ LOGARIT

*a>1a
x
>a
t
x>t
*0<a<1a
x
>a
t
x<t.

*0<a<b





0xba
0xba
xx
xx


 a
m

a
b
a







.

nnn
b.aab 
. 
k.n
n
k
aa 
.

n
n
n
b
a
b
a

.(b

a=1.
 log
a
b>0





1;0
1;1
ba
ba
;log
a
b<0





1;10
10;1
ba
ba
.
 0<a<b<1V1<a<b




a
x
2
(x
1
>0;

x
2
>
0)
+log
a
(x
1
.x
2. .
x
n
) =log
a
x
1
+ log
a
x
2
+ . . .
+log
a

2
(x
1
>0
;
x
2
>0)
+
x
1
log
a
=

log
a
x(x

>0)
+log
a
x

=.log
a
x(x>0;R)
+
n
a


1
xlog
a
.log
a
x;
n
m
xlog
m
a
n

.log
a
x
+
clog
b
a
=
alog
b
c
.
Bài1/Giảicácphươngtrìnhsau:
a)
4 5.2 4 0 


2 9.2 2 0

  
x x

g)
4 8 2 5
3 4.3 27 0
 
  
x x

h)
1 1
3 3 10
 
 
x x

 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố17
i) 3
x
+3
x+1
+3
x+2
=351 
j) 4
x












xx

o)
   
0221212 
xx

p)
   
6223223 
tgxtgx

Bài2/Giảicácphươngtrìnhsau:
a) lg
2
x–lgx
3
+2=0 ; 
b)

g)
1
5 25
log (5 1).log (5 5) 1

  
x x
; 
h)
4 2
log log (4 ) 5 
x x
  
i)
3 3 3
log ( 2) log ( 2) log 5   
x x

j) 
 
9 3
log log 4 5 
x x
;  
k)
3 3 1
2
log ( 1) log (2 1) log 16 0    
x x


 
3 1
x
.log
3
 
1
3 3


x
=6;
 
q)
2 2
2 2 2
log ( 1) 3log ( 1) log 32 0    
x x

Bài3/Giảicácbấtphươngtrìnhsau:
a)
2
0,2 0,2
log log 6 0  
x x
;  
b) log(x
2
–x-2)<2log(3-x);
c)

x
;  
g) log
3
 
2
x

log
9
 
2
x

h)
2 2
2 2
log 5 3log 
x x

i)
2
0,5 0,5
log log 2 0  
x x
; 
j)
2
8
log 4 3 1




x
x
loglog
;
 
m) 
n)
   
12lg
2
1
3lg
22
 xxx
;
 Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố18
o)
 
06log1log2log
2
4
1
2
1

xx


 

 
 
x x
;  c)
2
3
2 9
1
3 25

 

 
 
x x
  
d)
   
06140252
1


,,,
xx
 e)
2
4 6


 
(klhằngsốkhc0)
*Tínhchất3:
   
 
   
f x g x dx f x dx g x dx
  
  

BẢNGCÁCNGUYÊNHÀM
Nguyênhàmcủahàmsốsơcấp Nguyênhàmmởrộng
0
dx C


dx x C 


 
1
1
1
x
x dx C







sin cos
xdx x C  


2
1
tan
cos
dx x C
x
 


2
1
cot
sin
dx x C
x
  




 
 
 
1



 
1
0 1
ln
x
x
a
a dx C a
a a
 
 


   


   
1
cos sin
ax b dx ax b C
a
   


   
1
sin cos
ax b dx ax b C

-Định lý 1:Nếu
   
f u du F u C 

v
 
u u x

làhàmsốcóđạohàmliêntụcthì
 
 
   
 
'
f u x u x dx F u x C 


*Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
-Định lý 2:Nếuhaihmsố
 
u u x

v
 
v v x

cóđạohàmliêntụctrênKthì
           
' '
u x v x dx u x v x u x v x dx

   
'
sin sin
cos cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v ax dx
e e
  
 
   
 

 
   
 
 
   
 
   
   
 


Dạng 2:
   
ln
f x ax b dx


sin
cos
ax
ax
e dx
ax
 
 
 


Đặt
ax
u e
rồithựchiệntừngphầnhailần.
BÀI TẬP NGUYÊN HÀM
Bài 1.Tìmnguyênhàmcủacáchàmsốsau:
1/
 
4 3
4 3 1x x x dx
  

 2/


3 2
4 2x x dx
 


dx


  6/
1
1 3
dx
x



7/
2
1
1
dx
x


   8/
2
1
2 1
dx
x x
 

  9/
2
3 4

3 4 1 5
4
x x
e dx
 



13/
2 2
1
sin .cos
dx
x x

  14/
cos3 cos5
x xdx

  15/
2
cot
xdx

  
16/
3 2
x
x
dx

1
x
dx
e


   3/
2
2 1
1
x
dx
x x

 



4/
2
3
x
dx
x 

  5/
1
x x
dx
e e

2
x
xe dx



10/
 
1
1
dx
x x


  11/
2
1 1
sin .
dx
x x

  12/
 
2
ln 1x
dx
x





 17/
cos
2 sin
x
xdx

  18/
 
7
5
x x dx



Bài 3Dùngphươngpháptínhnguyênhàmtừngphần,hãytính:
1/
 
1 2
x
x e dx


  2/
x
xe dx


   3/
 

x dx


  8/
   
1 cos 3 2
x x dx
 

 9/
1 3
cos .
x
x e dx



10/
2
sin
x
dx
x

  11/
 
2
ln sin
cos
x

a
F x dx F x F b F a
  


Cc tính chất
*Tính chất 1:
   
b b
a a
kf x dx k f x dx

 
 (klhằngsố)
*Tính chất 2:
       
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
   
 
  

*Tính chất 3:
     
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
 
  

  



     
 
 
'
b u b
a u a
I f u x u x dx f t dt
  
 
 
 

Dạng 2:Tính
 
b
a
I f x dx



Đặt
   
'
x u t dx u t dt
  


;
2 2
1
a x
tađặt
sinx a t

2 2
x a
;
2 2
1
x a

tađặt
cos
a
x
t


2 2
a x
;
2 2
1
a x
tađặt
tanx a t



  2/
2
4
1
1 2
x dx
x
x
 
 
 
 

 3/
 
2
0
2cos sin2
x x dx




Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố22
4/
 
1
0

 
2
1
5
0
2 . 3 .4
x
x x
dx

 9/
1
1 3
0
x
e dx



10/
2
1
0
2 7 4
2 1
x x
dx
x
 




  14/
2
2
sin2 .sin 7
x xdx




 15/
2
2
0
sin2
4 cos
x
dx
x




Bài2Dùngphươngphápđổibiếnsố,hãytính:
1/
 
5
2
1

1
1 x
dx
x


  5/
2
1
3 2
0
3 2
1
x x
dx
x x

 

  6/
2
2
1
1
2
x
dx
x




10/
5
4
sin cos
1 sin2
x x
dx
x





 11/
1
0
1
1
x
dx
e


  12/
ln10
3
ln3
2
x

0
sin2
1 cos
x
dx
x




16/
4
0
tan
x dx


   17/
 
2
cos
0
cos cos
x
e x x dx



 18/
 

ln 2 1
x dx



4/
 
2
2
0
sin cos
x x xdx



 5/
3
1
ln
e
x
dx
x

   6/
   
3
2
ln 1 ln 1
x x dx

10/
1
1 ln
e
x
x x
e dx
x


  11/
0
sin
x
e x dx


  12/
2
2
1
1
ln 1
x dx
x
 

 
 


 
,
,
x a x b 
l:
Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố23
   
   
1 2
b
a
S f x f x dx
 


B.Thểtíchkhốitrònxoay
1/Thểtíchkhốitrònxoaydohìnhphẳnggiớihạnbởicácđường
 
y f x

,trụchoành
 
0
y

,
x a
,
x b

,
,
x a x b 

quayxungquanhtrụcOx:
   
   
2 2
1 2
b
a
V f x f x dx

 


BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Bài 1Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởicácđường:
1/
2
2 ,
y x x y x  
    2/
2
1, 3
y x x y
   

3/
2

   10/
3
, 2, 0
y x x y x
   

11/
2 2
2 2, 3y x x y x x      
  12/
 
2
2
6 , 6
y x y x x   

13/
, , 1
x x
y e y e x

  
   14/
, 0, 1, 2
x
y xe y x x
    

15/
2

tạiđiểm
 
3;5
M
vàtrụctung.
20/Tínhdthpgiớihạnbởi
 
2
: 6 8P y x x   
,tiếptuyếntạiđỉnhcủa
 
P
vớitrụctung.
21/Tínhdthpgiớihạnbởiđườngcong
3
3y x x 
,tiếptuyếncủanótạiđiểmcóhoànhđộ
1
2
x
 
.
22/Tínhdthpgiớihạnbởi
 
2
: 4 3P y x x   
vàcáctiếptuyếncủanótạicácđiểm
   
1 2
0; 3 , 3;0


   
  6/
2
sin , 0, 0,y x y x x

   

Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố24
7/
1
2 2
, 0, 1, 2
x
y x e y x x
   
  8/
2
, 0, 0, 1
x
y xe y x x   

9/
ln , 0, 1, 2
y x y x x
   
  10/
2 3
2 ,

a bi
a b





Bài toán 2: Giải phương trình bậc 2.
Chophươngtrìnhax
2
+bx+c=0.với=b
2
4ac.
Nếu=0thìphươngtrìnhcónghiệpkp
b
x x
1 2
2a
  
(nghiệmthực)
Nếu>0thìphươngtrìnhcóhainghiệmthực:
b
x
2a
  
 
Nếu<0thìphươngtrìnhcóhainghiệmphức
b i
x
2a

   
   
d.
3 1 5 3 4
i i 3 i
4 5 4 5 5
      
     
     
     

Bài 2:Thựchiệncácphéptínhsau:
 a.(2-3i)(3+i) b.(3+4i)
2
  b.
3
1
3i
2

 
 
 

Bài 3:Thựchiệncácphéptínhsau:
 a.
1 i
2 i



 
 d.
3 5i
2 4i
z

 

Bài 5:Chohaisốphứcz,w.chứngminh:z.w=0
z 0
w 0






Dạng 2 Tìm Quỹ tích của số phức
Câu 1:TìmtậphợpcácđiểmMthỏađiềukiện
 a.
z 3 1 
  b.
z i z 2 3i   

Tàiliệutoán12
Giáoviên:Phạm Đỗ Hải     Trangsố25
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC
Dạng 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau
Ví dụ :
Tìmcănbậchaicủasốphức


 



x y
2
2x 4





 


(loại)hoặc
x y
2
2x 4

 


  


x y
x 2;y 2
2

2
x 4x 7 0  
trêntậpsốphức
Giải:
2
' 3 3i
   

Phươngtrìnhcóhainghiệm:
x 2 i 3 , x 2 i 3
1 2
   

Câu 1:Giảicácphươngtrìnhsautrêntậpsốphức
 a.x
2
+7=0 b.x
2
–3x+3=0 c.x
2
+2(1+i)x+4+2i=0
 d.x
2
–2(2–i)x+18+4i=0  e.ix
2
+4x+4–i=0
 g.x
2
+(2–3i)x=0
Câu 2:Giảicácphươngtrìnhsautrêntậpsốphức

–2z+2)=0  b.(z
2
+2z)–6(z
2
+2z)–16=0
c.(z+5i)(z–3)(z
2
+z+3)=0 d.z
3
–(1+i)z
2
+(3+i)z–3i=0
Câu 5:Giảicácphươngtrìnhsautrêntậpsốphức
a.(z+2i)
2
+2(z+2i)–3=0  b.
2
4z i 4z i
5 6 0
z i z i
 
  
 
 
 
 

CHỦ ĐỀ 5 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Vấn đề 1: Tọa độ vectơ_tọa độ điểm
*Cho