Trường THPT Ernst Thälmann
Tổ Toán- Nhóm Toán 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP
TOÁN LỚP 12
HK1 Năm học 2014-2015 Lưu hành nội bộ
Tài liệu học tập Toán 12- HK1
Trang 2
MỤC LỤC
CHƢƠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG KHẢO
SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 4
Vấn đề 3 : Phƣơng trình tiếp tuyến 23
TỔNG HỢP CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN
TỪNG LOẠI HÀM SỐ 28
BÀI TẬP TỔNG HỢP 30
tusachvang.net
Tài liệu học tập Toán 12- HK1
Trang 3
CHƢƠNG 2: MŨ- LOGARIT 34
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LŨY THỪA, LOGARIT,
HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT 34
Vấn đề 1: Lũy thừa 34
Vấn đề 2: Hàm số lũy thừa 35
Vấn đề 3: Logarit 36
Vấn đề 4: Hàm số mũ- hàm số logarit 38
PHƢƠNG TRÌNH MŨ và PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT 40
Vấn đề 1 : Phƣơng trình mũ 40
Vấn đề 2 : Phƣơng trình logarit 43
BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ và BẤT PHƢƠNG TRÌNH
LOGARIT 45
Vấn đề 1 : Bất phƣơng trình mũ 45
Vấn đề 2 : Bất phƣơng trình logarit 48
CHƢƠNG 3: KHỐI ĐA DIỆN 59
Vấn đề 1 : Thể tích khối chóp 59
Dạng 1 : Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy. 60
Dạng 2 : Khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy. 62
Dạng 3 : Khối chóp đều. 64
Dạng 4 : Khối chóp tam giác và phƣơng pháp tỉ số thể tích.
66
Vấn đề 2 : Thể tích khối lăng trụ 68
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên (a, b)
x
1
, x
2
(a , b) : x
1
< x
2
f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm số y = f(x) ngịch biến (giảm) trên (a, b)
x
1
, x
2
(a , b) : x
1
< x
2
f(x
1
) > f(x
2
)
Định lý
y
x
; d/
42
35y x x
;
tusachvang.net
Tài liệu học tập Toán 12- HK1
Trang 5
e/
2
2 8 1 y x x
; f/
32
1
3 7 2
3
y x x x
;
g/
24
2y x x
; h/
35
x
y
y x bx bx
; d/
32
( 2) 5y kx k x x
;
e/
32
( 4) 3y m x x x m
; f/
32
1y tx x tx
;
g/
21
1
mx
y
x
; h/
23
2
mx m
y
x
yb
x
.
Bài 3. Tìm giá trị tham số để các hàm số sau luôn nghịch biến
(giảm) trên từng khoảng xác định (miền xác định) :
a/
32
33y x x mx
; b/
32
2 ( 1) 3 1y x b x x
;
c/
32
2y mx x x m
; d/
32
( 3) 2y ax a x x
;
e/
32
( 3) 2y k x x x k
; f/
32
( 1) 1y k x x kx
;
g/
; j/
2
2
xb
y
x
;
k/
2mx m
y
xm
; l/
2
2
3
1
kk
yk
x
2
x x x x
; f/
x x x vôùi xsin cos 1, 0
2
;
g/
sin sin , 0
2
a a b b vôùi a b
;
h/
tan
,0
tan 2
aa
vôùi a b
bb
;
32
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
có đồ thị (C
m
).
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
( ;0)
;
e/ Cho hàm số
y x mx m
42
2 3 1
(1), (m là tham số). Tìm m để
hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2);
tusachvang.net
Tài liệu học tập Toán 12- HK1
Trang 7
f/ Cho hàm số
mx
y
xm
4
(1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
( ;1)
;
g/
0
x
là 1 điểm cực trị.
Cụ thể:
x
0
x
y'
0 hoặc (||) +
y
CT
x
0
x
y'
+ 0 hoặc (||)
y
CĐ
Dấu hiệu 2:
Cho
()fx
là hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên
( ; )ab
//
0
( ) 0
( ) 0
fx
fx
0
x
là điểm cực đại
/
0
//
0
( ) 0
( ) 0
fx
fx
x
y
x
; f/
1
2
3
y
x
;
g/
2
( 1)( 2) y x x
; h/
22
( 2) 1yx
;
i/
3
31 y x x
; j/
4
3yx
.
Dạng 2 : Bài tập về số lượng cực trị.
h/
32
( 1) 2 1y k x kx x
.
Bài 8. Chứng minh các hàm số sau luôn có cực đại và cực tiểu
(luôn có cực trị) với mọi giá trị của tham số :
a/
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m
;
tusachvang.net
Tài liệu học tập Toán 12- HK1
Trang 9
b/
32
2y x kx x k
; c/
32
1
3
y x kx x k
;
d/
32
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x
.
Bài 9. Hãy thực hiện từng yêu cầu dƣới đây :
a/ Định m để hàm số
11
( 2) 2
42
y x a a x
có 3 cực trị;
g/ Tìm b để hàm số
4 2 2
( 1) y x b x b
chỉ có 1 cực trị;
h/ [ĐH CĐ 2002- Khối B]: Cho
4 2 2
( 9) 10y mx m x
(1).
Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị.
Dạng 3 : Bài tập về vị trí đạt cực trị
Bài 10. Tìm tham số để các hàm số sau thỏa điều kiện đi kèm
a/
3 2 2
3 3( 1)y x mx m x m
đạt cực trị tại
2x
;
b/
32
( 1) 5y x m x mx
đạt cực tiểu tại
1x
;
c/
32
đạt cực tiểu tại
1x
;
h/
y m x mx m x
32
1
( 1) (3 2)
3
đạt cực tiểu tại
2x
;
tusachvang.net
Tài liệu học tập Toán 12- HK1
Trang 10
i/
4
2
2
x
y ax b
đạt cực trị là
2
khi
1x
;
j/
a
c
P x x
a
.
Định lý Viet đảo: Nếu u, v là hai số thực có
.
u v S
u v P
thì u, v là nghiệm của phƣơng trình bậc hai
2
0x Sx P
Một số hệ thức cơ bản sử dụng Định lí Viet:
Với
22
2
1 2 1 2 1 2
44x x x x x x S P
;
3 3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) 3 . ( ) 3x x x x x x x x S PS
.
2
2 2 2
1 2 1 2
4x x k x x k S P k
.
tusachvang.net
Tài liệu học tập Toán 12- HK1
Trang 11
1 1 1 2
12
2 2 1 2
0 2 0
0 ( )( ) 0
2 2 1 2
0 2 0
0 ( )( ) 0
x a x a x x a
x x a
x a x a x a x a
Bài 11. Hãy thực hiện theo từng yêu cầu sau :
a/ Cho hàm số
32
1
(1 ) 2 2 (1)
3
y x m x mx
. Tìm m để hàm
số (1) có 2 điểm cực trị
12
,xx
sao cho
22
1 2 1 2
3A x x x x
đạt
giá trị nhỏ nhất;
y x mx mx
32
1
1
3
, với
m
là tham số thực.
Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho
xx
12
8
;
f/ Cho hàm số
y x m m x m
4 2 2
2( 1) 1
. Tìm m để đồ thị
(C) có cực đại và cực tiểu sao cho khoảng cách giữa hai điểm
cực tiểu ngắn nhất;
g/ Cho hàm số
y f x x m x m m
4 2 2
32
(2 1) (2 ) 2 (1)y x m x m x
. Tìm
các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực
trị của hàm số (1) có hoành độ dƣơng;
k/ ĐH 2012- Khối D: Cho hàm số
3 2 2
22
2(3 1)
33
y x mx m x
(1), m là tham số thực. Tìm m để
đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x
sao cho
1 2 1 2
2( ) 1x x x x
;
l/ [ĐH 2012- Khối A,A
1
]: Cho hàm số
4 2 2
2( 1)y x m x m
(1)
với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm
cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông;
D
yM
tusachvang.net
Tài liệu học tập Toán 12- HK1
Trang 13
Số m đƣợc gọi là Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên D
00
( ) ,
: ( )
f x m x D
x D f x m
Kyù hieäu :
min
D
ym
Phƣơng pháp làm bài:
Trường hợp 1: So sánh các giá trị (để tìm GTLN, GTNN trên
), f(a), f(b))
GTNN = Min (f(x
1
), f(x
2
), , f(x
n
), f(a), f(b))
Trường hợp 2: Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) trên (a , b)
. Tìm MXĐ=> hàm số liên tục và xác định trên khoảng
( ; )ab
. Tìm đạo hàm f’(x)
. Giải phƣơng trình f’(x) = 0
nghiệm x
1
, x
2
, x
n
. Lập bảng biến thiên
. Dựa vào bảng biến thiên (phần trên khoảng (a;b)) để kết luận
BÀI TẬP
Dạng 1 : GTLN-GTNN trên một đoạn.
Bài 12. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau (nếu có):
a/
32
trên
[ 1;3]
; f/
3
1
x
y
x
trên
[0;7]
.
tusachvang.net
Tài liệu học tập Toán 12- HK1
Trang 14 Bài 13. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau (nếu có):
a/
26y x x
; b/
43 y x x
;
c/
5 2 4 10y x x
; d/
2
;
m/
2
4.y x x x
.
Dạng 2 : GTLN-GTNN trên một khoảng.
Bài 14. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau (nếu có):
a/
42
21y x x
; b/
42
1
23
4
y x x
;
c/
42
43y x x
trên
( 1;1)
; d/
42
2 4 1y x x
;
e/
Dạng 3 : Tìm GTLN-GTNN bằng cách đặt ẩn
mới.
Bài 15. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau (nếu có):
a/
2
sin 2sin 2y x x
; b/
2
2sin 2 5sin2 3y x x
;
c/
2
cos cos 5y x x
; d/
2
2cos 2(1 cos ) 9y x x
;
e/
2
2sin cos 1y x x
; f/
2
cos 3sin 7y x x
;
g/
2sin 1
sin 2
cos 2sin 1y x x
m/
3
sin cos2 sin 1y x x x
;
n/
32
cos 6cos 9cos 5y x x x
.
[NC] Một số bài GTLN-GTNN nâng cao
Bài 16. Hãy thực hiện từng yêu cầu sau:
a/ [TN-THPT 2012]: Tìm các giá trị của tham số m để GTNN của
hàm số
2
()
1
x m m
fx
x
trên đoạn
0;1
bằng
2
;
hoặc
lim
xa
y
hoặc
lim
xa
y
hoặc
lim
xa
y
thì x = a là TCĐ của đồ thị hàm số
()y f x
.
y
thì y= b là TCN của đồ thị hàm số
()y f x
.
II. CÁCH NHÌN NHANH (ĐỐI VỚI HÀM SỐ NHẤT BIẾN):
Đối với hàm số
ax b
y
cx d
thì TCN:
a
y
c
, TCĐ:
d
x
c
BÀI TẬP
Dạng 1 : Xác định tiệm cận đứng và tiệm
cận ngang của hàm nhất biến.
Bài 17. Tìm TCĐ và TCN của các hàm số sau :
a/
1
x
x
;
e/
1
3
2
y
x
; f/
4
3y
x
.
Một số câu hỏi khác liên quan đến tiệm cận.
Bài 18. Thực hiện từng yêu cầu sau:
a/ Tìm giá trị tham số để hàm số
( 1) 2
1
mx
y
x
có TCN và TCN
đi qua điểm A(3;1);
y
x
2
B
;
c/ Cho hàm số
x
y
x
34
2
(C). Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) cách
đều 2 đƣờng tiệm cận;
d/ Cho hàm số
3
1
x
y
x
có đồ thị (C). Cho điểm
0 0 0
( ; )M x y
thuộc
đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại
0
M
( chỉ tính
//
y
đối với hàm số bậc 3)
Tính các giới hạn (lim)
Lập bảng biến thiên
Kết luận về bảng biến thiên
Điểm đặc biệt (bảng giá trị)
Vẽ đồ thị
Chú ý: Khi lấy điểm đặc biệt:
Đối với hàm bậc 3: phải cho x=0
?y
Đối với hàm nhất biến: cho x=0
?y
, cho y=0
3
2
21
4
33
x
y x x
.
Dạng 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trùng
phương.
Bài 20. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số :
a/
42
22 y x x
; b/
22
( 1) ( 1) 1 y x x
;
c/
42
82 y x x
; d/
22
( 1) 2 yx
;
e/
42
13
2
1
y
x
;
d/
3
2
2
y
x
; e/
1
x
y
x
; f/
1
1
3
y
x
.
( ):
1
x
Cy
x
. Từ
đó, suy ra đồ thị của các hàm số
1
21
( ):
1
x
Cy
x
và
2
21
( ):
1
x
Cy
x
tại 2 điểm phân biệt;
c/
1
x
y
x
cắt đƣờng thẳng
:2d y x m
tại 2 điểm phân biệt;
d/
1
1
x
y
x
cắt đƣờng thẳng
( ):D y m x
tại 2 điểm phân biệt;
e/
32
1y x mx mx
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
(1;0),A
B, C ;
f/ Cho hàm số
. Cho đƣờng thẳng
:2d y x m
.
Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó tìm m
để độ dài đoạn AB nhỏ nhất.;
c/ Cho hàm số
y x x
32
32
. Tìm các giá trị của tham số m để
đƣờng thẳng
d y m x: ( 2) 2
cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt
A(2; –2), B, D sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến tại B và D
với đồ thị (C) đạt giá trị nhỏ nhất.;
d/ [ĐH 2010- Khối A]: Cho hàm số
32
2 (1 ) (1)y x x m x m
.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ
1 2 3
,,x x x
thỏa mãn điều kiện
2 2 2
1 2 3
4x x x
.
(C).
Tìm m để đƣờng thẳng
: ( 1)d y m x
cắt (C) tại ba điểm phân biệt
( 1;0)M
và A, B sao cho MA = 2MB;
h/ [ĐH 2010- Khối B]: Cho hàm số
21
1
x
y
x
. Tìm m để đƣờng
thẳng
2y x m
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho tam giác OAB có diện tích bằng
3
(O là gốc tọa độ);
i/ ĐH 2008- Khối D: Cho hàm số
32
3 4 (1)y x x
. Chứng
minh rằng mọi đƣờng thẳng đi qua
(1;2)I
và có hệ số góc
tusachvang.net
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b/ Tìm a để phƣơng trình
4
2
0
2
x
xa
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 27. Cho hàm số
2
(3 )y x x
có đồ thị (C).
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b/ Biện luận theo m số nghiệm của phƣơng trình
32
6 9 1 2 0x x x m
.
Bài 28. Cho hàm số
32
2 3 1y x x
có đồ thị (C).
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b/ Tìm m để
32
3
10
2
x x m
có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 31. Cho hàm số
32
3y x x
(C)
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b/ Tìm các giá trị của tham số m để phƣơng trình
32
2 6 0x x m
có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 32. Cho hàm số
32
2 3 1y x x
(C)
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b/ Biện luận theo m số nghiệm thực của phƣơng trình
32
31
0
2 2 2
m
xx
Bài 33. [NC] Thực hiện theo từng yêu cầu dƣới đây:
a/
Cho hàm số:
y x x
42
21
22
2x x m
có
đúng 6 nghiệm thực phân biệt?
d/
ĐH CĐ 2006- Khối A: 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số
32
2 9 12 4y x x x
.
2. Tìm m để phƣơng trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
3
2
2 9 12x x x m
.
tusachvang.net
Tài liệu học tập Toán 12- HK1
Trang 23
Vấn đề 3 : Phương trình tiếp tuyến
Cho hàm số
()y f x
có đồ thị (C) và cho điểm
0
( , ) ( )
o
M x y C
,
00
( ): 2 4 3, (0;3)C y x x C
; d/
15
( ): 2 , (2;1)
3
C y E
x
;
e/
42
( ): 1, (1;1)C y x x F
; f/
3
2
( ): 2, D( 3; 2)
3
x
C y x
.
Bài 35. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các điểm
có hoành độ
0
x
cho trƣớc:
a/
;
e/
0
21
( ): , 7
3
x
C y x
x
; f/
42
0
( ): 6, 2C y x x x
.
Bài 36. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao
điểm của (C) với trục tung (x=0):
a/
3
2
( ): 2 1
3
x
C y x
; b/
1
42
1
( ): 1
4
C y x x
.
Bài 37. Viết phƣơng trình tiếp tuyến với (C) tại các điểm có
tung độ
0
y
cho trƣớc :
a/
32
0
( ): 6 11 3, y 3C y x x x
;
b/
42
0
( ): 3 3, y 1C y x x
và tiếp điểm có hoành độ dƣơng;
c/
0
49
( ): 1 , y 8
31
Cy
x
Bài 38. Viết phƣơng trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của
(C) với trục hoành (y=0):
a/
32
( ): 5 6C y x x x
;
b/
42
( ): 8 9C y x x
và tiếp điểm có hoành độ âm;
c/
6
( ):
1
x
Cy
x
; d/
2
( ): 2
2
Cy
x
.
3
5
( ) 1, 19
3
tt
x
y f x x k
;
tusachvang.net
Tài liệu học tập Toán 12- HK1
Trang 25
e/
16
( ) 2 , 2
21
tt
y f x k
x
; f/
3
( ) 2 5, 5
tt
y f x x x k
.
C y f x x x y
;
e/
4
( ): ( ) 1 , :6 2 1 0
37
C y f x d x y
x
;
f/
42
1
( ): ( ) 1, : 5
4
C y f x x x m x y
biết tiếp điểm có
hoành độ nguyên.
Bài 41. Viết phƣơng trình tiếp tuyến tuyến với đƣờng cong (C)
biết tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng cho tƣơng ứng :
a/
4
2
3
( ) 1, : 8 0
2
x
y f x x d x y
x
;
f/
42
1
( ): ( ) 2 3, : 2 2
2
C y f x x x m x y
biết tiếp điểm
có hoành độ nguyên
tusachvang.net
Copyright: Tài liệu đại học ©