Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
35

a.
2
; 2
3
a b
  
b.
3
; 1
4
a b
 

Bài 3 : Giải các phương trình sau
a.






1 2 1 3 2 3
i z i i i
     
b.
2 3 7 8
z i i


Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức

Bài 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a. 5 12 b. 8 6 c.
33 56 d. 3 4
i i i i
     

Giải:
a. Gọi
z x iy
 
là một căn bậc hai của
5 12
i
 
tức là

 
2
2 2
5 12 2 5 12
x iy i x y ixy i
         
2 2 2
2 2
2 2 2
5 4
5

12 0 ,
b x y
  
cùng dấu do đó
2
3
x
y





hoặc
2
3
x
y
 


 


Vậy
5 12
i
 
có 2 căn bậc hai là
1

10 1
x y x
x y
xy
x y y
 
  

 
 
  
  

  
 

 
3
1
x
y
 



 


Do
6 0 ,



và
3 .
i
 

c. Gọi
z x iy
 
là một căn bậc hai của
33 56
i

tức là

 
2
2 2
33 56 2 33 56
x iy i x y ixy i
       
2 2 2
2 2
2 2 2
33 49 7
33
4
2 56
65 16




 

hoặc
7
4
x
y
 





Vậy 2 căn bậc hai của
33 56
i

là
7 4
i

và
7 4.
i
 

d. Gọi

x y
y
xy
x y y
 
     

  

 
   
   
 

  
 


 

Do
4 0 ,
b x y
  
cùng dấu do đó
1
2
x
y


5
i b.
1 2 6
i
 
Giải:
a. Giả sử
z x iy
 



,x y 

là một căn bậc hai của
4 6 5
w i
 
Khi đó:
 
2 2
2
2
2
2
3 5
(1)
4
4 6 5
45

2
= 9  x = ± 3.
x = 3  y =
5

x = -3  y = -
5

Vậy số phức w = 4 + 6
5
i có hai căn bậc hai là: z
1
= 3 +
5
i và z
2
= -3 -
5
i
b. Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = -1-2
6
i
Khi đó:
 
2
2
1 2 6
z w x yi i
      
2 2


(2)  x
4
+ x
2
– 6 = 0  x
2
= 2  x = ±
2
.
x =
2
 y = -
3

x = -
2
 y =
3

Vậy số phức w = 4 + 6
5
i có hai căn bậc hai là: z
1
=
2
-
3
i và z
2

2 2
i i i i
x i x i
     
     

b. Ta có
   
2
1 4 2 8 6
i i i
       
. Vậy

có hai căn bậc hai là 3 + i và −3 − i.
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
37

Do đó pt (2) có hai nghiệm là:
1 2
1 3 1 3
1; 2
2 2
i i i i
x x i
       
     

1 23
6
i
x
 

b. Ta có
2
3 3 0
i
    
nên (2) có các nghiệm là:
1,2
1 3
2
i
x
 

c. Ta có
 
 
2
2
1 0
(3) 1 1 0
1 0; (*)
x
x x x
x x

 
    

HD:
Theo bài ra ta có:
2 8i; . 23 14i.
   
     

kết quả pt bậc hai cần lập là:


2
2 8 14 23 0
x i x i
    

Bài 4: Tìm m để phương trình:
2
3 0
x mx i
  
có tổng bình phương 2 nghiệm bằng 8.
Giải:
Theo bài ra ta có:
 
2
2 2
1 2 1 2 1 2
8 2 8

  
có tổng bình phương hai nghiệm bằng
4
i

.
Giải:
Gọi
1 2
,
z z
là hai nghiệm của phương trình đã cho và

B a bi
 
với ,a b


.
Theo đề phương trình bậc hai
2
0
z Bz i
  
có tổng bình phương hai nghiệm bằng
4i

.
nên ta có :
2 2 2 2 2


Vậy :
1 ;B = 1
B i i
   

www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
38

Bài 6: Cho
1 2
;
z z
là 2 nghiệm pt


 
2
1 2 3 2 1 0
i z i z i
     

Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
2 2 2 2
1 2
1 2 1 2 1 2
2 1





a. Ta có
 
2
2
1 2 1 2
3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 11 30 2 6 4 2
2 2
3 3 3 3 9 9
A z z z z i i i
   
      
        
   
   
   

b.
 
1 2 1 2
3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 5 2 2 1 10 2
3 3 3 3 9 9
B z z z z i i i
  
      
      
  


b.




2
2 3 4 3 1 0
i z i z i
     

HD:
a. Ta có
2 2
' 16(1 ) (63 16 ) 63 16 (1 8 )
i i i i
         
Từ đó ta tìm ra hai nghiệm
1
5 12
z i
 
;
2
3 4
z i
 
.
b. Ta có


 
2
1 5
i
 
Phương trình có hai nghiệm là:
1 2
z i
 
và
3 .
z i


Bài 9: (CĐ – 2009) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức:
4 3 7
2
z i
z i
z i
 
 


Giải:
Điều kiện:
1
z
 


i i
z i
  
  
và
4 3 2
3 .
2
i i
z i
  
  

Bài 10: Giải phương trình nghiệm phức :
25
8 6
z i
z
  

Giải:
Giả sử
z a bi
 
với ; a,b  R và a,b không đồng thời bằng 0.
Khi đó
2 2
1 1
;
a bi



   


.
Lấy (1) chia (2) theo vế ta có
3
4
b a
 thế vào (1) ta được a = 0 hoặc a = 4
Với a = 0  b = 0 ( Loại)
Với a = 4  b = 3 . Ta có số phức z = 4 + 3i.
Bài 11: Tìm các số thực b, c để phương trình z
2
+ bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm một nghiệm.
Giải:
Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z
2
+ bx + c = 0 ( b, c  R), nên ta có :
     
2
0 2
1 1 0 2 0
2 0 2
b c b
i b i c b c b i
b c
   
 


 


www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
40

 
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
3
0
3

x
x
y
x
x






 




 





 




  




  


 



 




 


   
 




 

 








 




























8
z z
 
.
Giải:
Ta có:
 
2
2 2
1 2 1 2 1 2
8 2 . 8
z z z z z z
     

Với
1 2 1 2
, z . 3
b c
z z m z i
a a
      

Suy ra:
       
2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
8 2 . 8 2.3 8 8 6 3 3
z z z z z z m i m i i m i
                  

nên (1) có 2 nghiệm phức là
1
1 2
2
1 2
| | | | 3
1 2
z i
z z
z i

 
  

 



17 15 14 2 15 2 14 2 2
( ) 6 3 5 9 ( 2 3) 2 ( 2 3) 3( 2 3)
f z z z z z z z z z z z z z z z
               

nếu
1 1 1 1 1
( ) | ( ) | | | 3
z z f z z f z z     
nếu
2 2 2 2 2
( ) | ( )| | | 3

       
3 2
2 2 5 4 –10i 0
iy i yi i yi
    

3 2 2
– 2 2 5 4 –10 0 0 0
iy y iy iy y i i
       

đồng nhất hoá hai vế ta được:
2
3 2
2 4 0
2 5 10 0
y y
y y y

  


    


giải hệ này ta được nghiệm duy nhất y = 2
Vậy phương trình (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i.
b. Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i
 vế trái của (1) có thể phân tích dưới dạng:


z i
z z
z i





   
 
  


  


Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm.
Bài 2: Giải các phương trình:
1. z
3
– 27 = 0
2. z
3
= 18 + 26i, trong đó z = x + yi ; x,y  Z
Giải:
1.
 
 
3 2
2

2. Ta có:
 


3
3 2 2 3
– 3 3 – 18 26
x yi x xy x y y i i
    
Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được:
3 2
2 3
3 18
3 26
x xy
x y y

 


 



Từ hệ trên, rõ ràng x  0 và y  0.
Đặt y = tx , hệ






Bài 3:
1. Tìm các số thực a, b để có phân tích: z
3
+3z
2
+3z – 63 = (z – 3)(z
2
+az + b)
2. Giải phương trình: z
3
+3z
2
+3z – 63 = 0
3. Cho phương trình:
3 2
5 16 30 0
z z z
   
(1), gọi
1 2 3
, ,
z z z
lần lượt là 3 nghiệm của phương trình
(1) trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức:
2 2 2
1 2 3
A z z z
  
.




2. Áp dụng phần 1. ta có:




3 2 2
3 3 – 63 0 – 3 6 21 0
z z z z z z
      

3
3 2 3
3 2 3
z
z i
z i



  


  


Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
3.








3 2 2
1 –1 – 3 4 –12 0 –1 – 3 4 0
z z z z z z z
     

2
1
1
3
3
2
4 0
2
z
z
z
z
z i
z
z i




z z z z z z z z
z i



           


 


Bài 6: Giải phương trình


3 2
2 5 3 3 2 1 0
z z z z i
     
, biết rằng phương trình có nghiệm thực
Giải:
Phương trình có nghiệm thực
3 2
2 5 3 3
1
2
2 1 0
z z z
z
z


 
;
2 ; 1
z i z i
   

Bài 7: Giải phương trình




3 2
1 2 1 2 0
z i z i z i
     
, biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo
Giải:
Giả sử phương trình có một nghiệm thuần ảo
z bi

, thay vào phương trình ta được
       




3 2
2 3 2
2
3 2


Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 1: Giải phương trình:




2
2 2
4 12 0
z z z z
    

Giải:
Đặt
2
t z z
 
, khi đó phương trình đã cho có dạng:

2
2
2
1 23
2
6 6 0
1 23
4 –12 0
2







 


Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình:




2
2 2 2
3 6 2 3 6 – 3 0
z z z z z z
     

Giải:
Đặt
2
3 6
t z z
  
phương trình đã cho có dang:
  
2 2

3 3
3 3 6 3 0 6 6 0
3 3
z
t z z z z z z
z

  
           

  



Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
44

Bài 3: Cho phương trình:


4 3 2
2 – – 2 1 0 1
z z z z  
a. Bằng cách đặt
1

z
 
 phương trình có dạng:
2
1
– 2 – 3 0
3
y
y y
y
 

 




- Với
1 1 3
1 1
2
i
y z z
z
 
       
- Với
1 3 5
3 3
2


2
1 1 5
0
2
z z
z z
   
     
   
   

Đặt
1
y z
z
 
 pt có dạng: 
2 2
1 3
5
2
– 0 2 – 2 5 0
1 3
2
2
i
y
y y y y
i


 phương trình (2) có 2 nghiệm:
1
1
z i
 
và
2
1 1
2 2
z i
  

- Với
   
2
1 3 1 1 3
2 – 1 3 – 2 0 3
2 2
i i
y z z i z
z
 
      
Ta có :
   
2 2
1 3 16 8 6 3
i i i
       

z t

Khi đó (1) có dạng:


2
– 6 25 0 2 .
t t  
Ta có:
2
’ 16 16. 0
i
    
nên pt (2) có hai nghiệm là
3 4 .
t i
 

Mặt khác
3 4
i

có hai căn bậc hai là:
2
i

và
2
i
 

iz

Giải:
Điều kiện:
i
z
Đặt
z
i
iz
w


 ta có phương trình: 0)1)(1(1
23
 wwww












z
i
iz
w
- Với 333)31(
2
31
2
31







 zizi
i
z
i
izi
w

- Với 333)31(
2
31
2
31




            

 


1
2 2
2
2 2
3
4
1 5
1 5
3 6 2 6 0
3 6 3 6 6 0
3 3
3 3
z i
z i
z z z z z
z z z z z
z
z


  




Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
46

Giải:
PT
2 2
( 2)( 1)( 3) 10 ( 2 )( 2 3) 0
z z z z z z z z
         

Đặt
2
2
t z z
 
. Khi đó phương trình trở thành 0103
2
 tt
1
2
5
1 6
z i
t
t
z
  

 

z z z z z z z z z
z zz z
 
                
 
 

(z = 0 không là nghiệm của phương trình)
Đặt
1
w z
z
 
; phương trình trên trở thành: w
2
+ 2w – 3 =0






3
1
w
w






 ;
2
53
z
Bài 10: Tìm các số thực a, b, c để có:
3 2 2
2(1 ) 4(1 ) 8 ( )( )
z i z i z i z ai z bz c
        
.
Tìm môđun của các nghiệm đó.
HD:
Cân bằng hệ số ta được a = 2, b = –2, c = 4
Từ đó giải phương trình:
3 2
2(1 ) 4(1 ) 8 0
z i z i z i
     
trên tập số phức.
Phương trình
2
( 2 )( 2 4) 0 2 ; 1 3 ; 1 3 2
z i z z z i z i z i z
            
.

Dạng 3: Giải hệ phương trình:

Bài 1: Giải hệ phương trình:

4
5 5
z z i
z z i
  


 


Do đó
1 2
,
z z
là nghiệm của phương trình


2
4 5 5 0
z i z i
    
. Ta có
5 12
i
   

Nên

có hai căn bậc hai là: 2 + 3i và −2 − 3i.
www.VNMATH.com

1
2
1 2
3
z i
z i
 


 

.
Bài 2: Giải hệ phương trình:
w
w 1
z i
iz
 


 


Giải:
Coi i như 1 tham số ta có:
1 1
1
1
D i
i



và
w
1
2
1
i
D
i
 

Bài 3: Giải hệ phương trình:
2 2
w w 8
w 1
z z
z
  


  


Giải:
Hệ
 
2
w w 8
w 2 w 1

 

2
2
5
5 3 3 5 3 3
5 13 0 ( ;w) ;
13
2 2
3
3 14 3 14
3 5 0 ( ;w) ;
5 2 2
u
i i
X X z
v
u
X X z
v

 
 

  
     

 

 

0
x y
x
x y
x y R
x y
y
x y


 







 




Giải:
Từ hệ suy ra:
2 2 2 2 2 2
(3 ) ( 3 ) 3( ) ( )
3 3
x y x y i x yi i x yi
x yi x yi

 
.
Từ đó tìm ra 2 nghiệm của hệ là
2 1 1 1
x y
 
( , ) ( , );( , )
.
Bài 5: Giải hệ phương trình 2 ẩn z và w:
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
48

3 3
w 3(1 ) (1)
w 9( 1 ) (2)
z i
z i
  


   


Giải:
Từ (2) ta có:
       
3

z i
z i
  





Theo định lý Viet  z, w là các nghiệm của phương trình:




2
3 1 5 0 4
t i i   
Ta có:
 
2
2 1–
i i
   
 Phương trình (4) có hai nghiệm
2
1 2
t i
t i
 




Giải:
Ta có
1 2 3
, ,
z z z
là các nghiệm của phương trình:






1 2 3
– – 0
z z z z z z
 





3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
– 0
z z z z z z z z z z z z z z z
       

3 2
– –1 0 1

 aaaa







6
1
2
2
aa
aa

Khi
2
1 3
2
1
1 3
2
i
a
a a
i
a

 



         

 




Khi 6
2
 aa






2
3
a
a

Thay vào (2)
2 2
1 5
2
6 6 6 0 1 0
1 5
2
b




2
31
;
2
231
,
2
31
;
2
231 iiii
;







































2
51
;2,
2
51
;2,
2

 
là một nghiệm của phương trình:
2
0
z bz c
  
nên
2
0 2
(1 ) (1 ) 0 (2 ) 0
2 0 2
b c b
i b i c b c b i
b c
   
 
           
 
  
 

Bài 3: Cho các số phức
1 2
1 2 , 3– 4 .
w i w i
   Xác định các số phức z khác 0, đồng thời thoả mãn các điều
kiện
1
.
w z

5 8 0
x i x i
    

Bài 6: Giải phương trình trên tập số phức:
2
2 1 6 0
z z i
   

Bài 7: (ĐH – A 2009) Gọi
1 2
,
z z
là hai nghiệm của phương trình z
2
+ 2z + 10 = 0. Tính giá trị biểu thức
2
2
2
1
zzA  .
HD:
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
50

2

1 2
3 2 3 2
1 , 1
2 2
z i z i
   
Suy ra
2
2
1 2 1 2
3 2 22
| | | | 1 ; 2
2 2
z z z z
 
     
 
 
 

Do đó
2 2
1 2
2
1 2
11

4
( )
z z

z z
 
.
Đs:
0, 1
z z
  
,
1 3
2 2
z i
 
Bài 11: Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận

làm nghiệm biết:
a.

= 2  5i b.

=  2  i
3
c.

=
3 - 2
i

Bài 12: Giải phương trình



az bz c
  
(a, b, c  R) có nghiệm phức   R thì

cũng là
nghiệm của phương trình đó.
Bài 15: Giải phương trình sau trên tập số phức:
a.
   
2
2 2 2 3 0
z i z i
    
b.
2
4 4
5 6 0
z i z i
z i z i
 
 
  
 
 
 

Bài 16: Chứng minh rằng:
a. Nếu
x iy


thỏa mãn điều kiện đã chỉ ra:
a.
2
1 0
z mz m
   
điều kiện:
2 2
1 2 1 2
1
z z z z
  

www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
51

b.
2
3 5 0
z mz i
  
điều kiện:
3 3
1 2
18
z z
 

6
i c.
2 ;1– 2
i i


d.
1 23
6
i
e.
6 6
6 6
i
 f.
3
12102
.2102
3
1 
 i
Bài 19: Cho phương trình


2
2 3 5 0
z i z i
    
. Không giải phương trình hãy tính
2 2 4 4

1
( os isin ) os - +isin - isin
2
1
( os isin ) os - +isin - os
2
z c c
z c c c
    
    

 
   

 



 
   
 



Bài 21: Giải các phuơng trình sau trên tập số phức
1.
3
z z

2.


3 2
2 1 4 1 8 0
z i z i z i
     
trên tập số phức. Tìm modun của các nghiệm đó
Đáp số:
2, 2, 4
a b c
   
và
2
z


Bài 2: Cho phương trình: (z + i)(z
2
 2mz + m
2
 2m) = 0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho
phương trình:
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức.
b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực.
c. Có ba nghiệm phức.
Bài 3: Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a.
3 2
2 2 0.
z iz iz
   

– 2 1 4 1 – 8
z i z i z i z ai z bz c
      

www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
52

Từ đó giải phương trình:




3 2
– 2 1 4 1 – 8 0
z i z i z i
   

Bài 6: Giải phương trình sau trong tập số phức:
4 3 2
– 6 – 8 –16 0
z z z z
 

Đáp số:
2
1
2

1, ,
2 2 2 2
z z i z i
      
Bài 8: Giải các phương trình sau trên C :
a. 01
2
2
34
 z
z
zz bằng cách đặt ẩn số phụ
z
zw
1
 ;
b.




0363263
22
2
2
 zzzzzz
c.


 



3 2
1 3 3 0
z i z i z i
     

Bài 11: Gọi
1 2 3 4
; ; ;
z z z z
là 4 nghiệm của phương trình
4 3 2
2 6 8 8 0
z z z z
    
trên C
Tính tổng
4 4 4 4
1 2 3 4
1 1 1 1
S
z z z z
   
Bài 12: Cho đa thức







Bài 13: Giải các phương trình
a.
2
1
2
7
z
z
z

 
 
 

 
biết
3 4
z i
 
là một nghiệm của phương trình
b.
6 5 4 3 2
13 14 13 1 0
z z z z z z
      

c.
3 2
1 0

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
53

Hệ phương trình

Bài 1: Giải hệ phương trình hai ẩn phức
21
,zz sau :





izz
izz
25
4
2
2
2
1
21

Bài 2: Giải hệ phương trình hai ẩn phức
21
,zz sau :




x y i

  



  

c.
2 2
5
8 8
x y i
x y i
  


  


d.
4
7 4
x y
xy i
 


 



  


 


h.
3 2
1 1 17 1
26 26
x y i
i
x y
  



  



Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
a.
12 5
8 3
4
1
8
z









c.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
. . 1
z z z
z z z
z z z

  

  





d.
1 2
2 2

z z
z z

 






Bài 5: Giải các hệ phương trình:
a.





izz
izz
25
4
2
2
2
1
21
b.





  



Đs:
a.


3 – ; 1 2.
i i
 và (
(1 2. ; 3 – )
i i


b.








2 – ; 1– 3. , 1– 3 ;2 – , 2 ;1 3 , 1 3 ; 2
i i i i i i i i
       
 


 

.
Bài 7: Giải hệ phương trình sau:
1 2
1 2
1
2
2 3
z z
z z





 


Đs:
3 3
;
4 2
i i
 
 
 

3 2
2010 2011
2 2 1 0
1 0
z z z
z z

   


  



c.
2
2
2 2
4
z i z z i
z z

   


 


d.
1 2

i
 
d.
11 4 3
i

Bài 2: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a. -1 + 4 i.3 b. 4 + 6 i.5 c. -1 - 2 i.6 d. -5 + 12.i
Đs:
a. ).23( i b. ).53( i c. ).32( i d.

(2 + 3i)
Bài 3: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a. i341 b. i564 c. i621

C. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác

Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
1 3
a. (1 3)(1 ) b.
1
i
i i
i

 
