SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
TỈNH THÁI NGUYÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2012 - 2013

MÔN THI: TOÁN (Chuyên Tin học)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức:
2 9 3 2 1
.
5 6 2 3
x x x
P
x x x x
  
  
   

a. Rút gọn P.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức P là số nguyên.
Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình:

   
2
2 1 3 0. 1x m x m    

a. Chứng minh rằng với
m

ABC
, các đường
thẳng
,,AM BM CM
cắt các cạnh
,,BC CA AB
tương ứng tại
', ', '.A B C

a. Chứng minh rằng:
' ' '
1.
AA' ' '
MA MB MC
BB CC
  

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
MA' ' '
MA MB MC
f
MB MC
   Hết
Họ và tên thí sinh:
SBD:


23
23
x x x
P
xx
xx
  
  

0,25
     
     
2 9 3 3 2 1 2
2
2 3 2 3
x x x x x
xx
x x x x
      


   

  
  
 
 

, để
P
thì
 
3 1; 2; 4x     

0,25
 
4; 2; 5;1; 7x

0,25
 
1;4;16; 25;49x

0,25
Câu 2
a
(1 điểm)
Ta có
   
2
2
' 1 3 3 4m m m m       

0,5
=
2
37
0, .
24

0,25
     
22
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2x 4 1 2 3 4 10 10x x x x x m m m m          

0,25
=
2
5 15 15
2.
2 4 4
m

  

0,25
Vậy
22
12
xx
đạt giá trị nhỏ nhất là
15
4
khi
5


0,25
Do
,xy
nên
1
2x 1
là số nguyên, do đó
2x 1 1
hoặc

0,5
A
B
C
M
A'
B'
C'
2x 1 1  

Từ đó tìm được 2 nghiệm
   
1;0 , 0; 2 .

0,5
b
(1,5 điểm)
Ta thấy
 

.
- Nếu
n
chia hết cho 4 thì
   
22
4 1 1n k k k    
.
Vậy điều kiện cần và đủ để một số biểu diễn dưới dạng hiệu bình
phương của hai số nguyên là: Số đó là số lẻ hoặc chia hết cho 4.
0,5
+ Trong các số tự nhiên từ 1 đến 2013 có 1007 số lẻ và 503 số chia
hết cho 4. Vậy tổng số có 1510 số
0,5
Câu 5
a
(1 điểm)

Gọi

1 2 3
; ; ;
ABC MBC MCA MAB
S S S S S S S S   

3 1 1 2
23
;
''
MB S S MC S S
MB S MC S


0,5

Do đó
2 3 3 1 1 2 2 1 3 2 1 3
1 2 3 1 2 2 3 3 1
6
S S S S S S S S S S S S
f
S S S S S S S S S
   

  
         
   


   