Bé gi¸o dơc vµ ®µo t¹o
®¹i häc h Lª ®øc thoang
VỀ CẤU TRÚC CỦA VÀNH QF
VÀ MỘT SỐ VÀNH MỞ RỘNG
Chuyªn ngµnh : §¹i sè vµ Lý thut sè
M· sè : 62.46.05.01
ln ¸n tiÕn sÜ to¸n häc

Ng−êi h−íng dÉn khoa häc: pgs. Ts. lª v¨n thut


Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh

Phản biện 3: PGS. TS. Nguyễn Gia Định Trờng Đại Học Khoa
Học, Đại Học Huế

Luận án sẽ đợc bảo vệ trớc hội đồng chấm luận án cấp nhà nớc
họp tại

vào hồi giờ ngày tháng năm . Có thể tìm hiểu luận án tại th viện: .
Mở đầu

Lý thuyết vành QF có nguồn gốc từ lý thuyết biểu diễn nhóm
hữu hạn. Nakayama đã giới thiệu vành QF vào năm 1939, đó là lớp
các vành Artin hai phía và mỗi iđêan một phía đều là một iđêan linh
hóa tử hữu hạn sinh. Các vành QF có vai trò rất quan trọng trong lý
thuyết vành kết hợp không giao hoán và đang đợc nhiều tác giả
quan tâm nghiên cứu.
Trên vành QF thì mỗi môđun trung thành đều là một vật sinh. Sự
phân loại giữa vật sinh và môđun trung thành trong phạm trù Mod-R
(R-Mod), đã tạo ra các lớp vành tổng quát của vành QF.
Năm 1966, tác giả Osofsky đã đa ra ví dụ chứng tỏ rằng tồn tại
vành R thỏa mãn mọi R-môđun trung thành đều là vật sinh, nhng R
không là vành QF. Đồng thời tác giả cũng đã định nghĩa lớp vành PF
phải (trái), vành mà trên nó mọi môđun phải (trái) trung thành đều là
vật sinh. Các vành PF đã đợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.
Năm 1984, khi nghiên cứu lớp các môđun hữu hạn sinh trên một
vành, tác giả Faith và Page (1984) đã định nghĩa và nghiên cứu lớp

giả Dân [12] đã giải quyết cho trờng hợp vành hoàn chỉnh phải,
trờng hợp vành hoàn chỉnh trái vẫn cha đợc giải quyết. Nhiều tác
giả, chẳng hạn nh Oshiro [45], Vanaja [62], cũng đã đặc trng vành
co-H phải qua môđun tự do nhng với hệ sinh đếm đợc. Cũng trong
chơng này, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc nội tại của vành nửa hoàn
chỉnh QF-3 phải, đó là lớp vành mở rộng thực sự của cả hai lớp vành
co-H phải và PF phải. Đây là một mở rộng có ý nghĩa và cần thiết vì
nó thừa hởng đợc cấu trúc đẹp của cả hai lớp vành co-H phải và PF
phải.
Chơng 3, chủ yếu nhằm giải quyết bài toán đặc trng vành QF,
PF phải qua các lớp vành mở rộng của vành tự nội xạ. Đối với vành
tự nội xạ, thì bài toán này đã đợc giải quyết hầu nh hoàn chỉnh.
Tuy nhiên, đối với các mở rộng của vành tự nội xạ nh GP-nội xạ,
FSG thì vấn đề vẫn đang còn để mở. Những kết quả trong Chơng 3
đã làm sáng tỏ đợc mối quan hệ giữa các vành GP-nội xạ, FSG với
các vành QF và PF. 2
Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong luận án này, vành R đã cho luôn đợc giả thiết là vành kết
hợp có đơn vị
10

và mọi R-môđun đợc xét là môđun unita.
Chơng 1 của luận án, nêu những khái niệm cơ bản và một số kết
quả liên quan đến luận án để sử dụng cho các chơng sau. Sau đây là
những khái niệm cơ bản nhất mà luận án quan tâm nghiên cứu.
Định nghĩa 1.2.1. Vành R đợc gọi là QF nếu nó là vành Artin (phải
và trái), tự nội xạ (phải và trái).

phải, chính là lớp vành QF.
Mệnh đề 1.2.22. Giả sử R là vành co-H phải. Khi đó, những phát
biểu sau đây là tơng đơng:
(i) R là vành QF.
(ii) R là vành GP-nội xạ phải.
(iii) R là vành tự nội xạ đơn phải.
(iv) R là vành FSG phải.
Chơng 2: Vành co-H và các vành liên quan
Trong chơng này, chúng tôi nghiên cứu lớp vành co-H phải (đây
là một trong hai lớp vành mang tên vành Harada (vành H và vành co-
H)) và các lớp vành liên quan. Cụ thể, nội dung gồm những vấn đề
sau:
Đặc trng vành co-H phải qua vành hoàn chỉnh trái thỏa mãn
ACC trên các iđêan linh hóa tử phải và
R
R
R
R là một môđun CS
(hoặc mọi mở rộng cốt yếu của R
R
đều xạ ảnh) (Định lý 2.1.6 và Định
lý 2.3.6). Kết quả này góp phần làm hoàn chỉnh các kết quả đã có
trớc của các tác giả Dân (1989), Huỳnh và Dân (1992).
Đặc trng lớp vành nửa hoàn chỉnh QF-3 phải. Đó là lớp các
vành nửa hoàn chỉnh, thỏa mãn eR là môđun nội xạ với mọi lũy đẳng
không bé e của vành đã cho R và E(R
R
) là một môđun hữu hạn sinh
(Định lý 2.2.3). Đây là lớp vành mở rộng thực sự của cả lớp vành PF
phải và co-H phải. Kết quả này là sự mở rộng một kết quả của tác giả

phải hoặc trái R thì điều kiện để R là vành Artin chuỗi tổng quát
tơng đơng với điều kiện mọi R-môđun phải 2-sinh đợc phân tích
thành tổng trực tiếp các môđun chuỗi (Mệnh đề 2.3.2). Kết quả này
là một mở rộng của Định lý 32.3, trang 347 trong cuốn sách "Vành
và phạm trù môđun" (Anderson và Fuller, 1992). Vì trong đó vành R
đợc giả thiết là Artin trái, và điều kiện để R là vành Artin chuỗi tổng
quát tơng đơng với điều kiện mọi R-môđun phải hữu hạn sinh
đợc phân tích thành tổng trực tiếp các môđun chuỗi.
Chơng 2 đợc viết chủ yếu dựa trên các bài báo 5, 6, 7.
2.1 Đặc trng vành co-H qua môđun tự do hữu hạn sinh thỏa
mãn điều kiện C1
Trớc hết, chúng ta xét ví dụ chứng tỏ lớp các vành co-H là một
mở rộng thực sự của lớp các vành QF.
Ví dụ 2.1.1. Xét vành QF địa phơng
[
]
(
)
22
,,QKxy xy= , trong
đó K là một trờng.
Đặt
()
(
)
(
)
(
)
,,
5
,,
,
Q Q a b abc Q
V
JQ dc
dJ






==









,,
.
Q Q a b abc Q
W
dJ

R
ta có
M
eR U

,
trong đó e là một lũy đẳng nguyên thủy của R và U là môđun con nào
đó của eR. Hơn nữa, nếu R là vành QF-2 phải thì mọi R-môđun phải
địa phơng là xạ ảnh hoặc suy biến.
Bổ đề 2.1.3. Cho R là một vành CS phải, nửa hoàn chỉnh và thỏa
mãn mọi R-môđun phải 2-sinh đều (uniform) là xạ ảnh hoặc suy
biến. Khi đó, với mọi R-môđun phải đều U ta có:
(i) Với bất kỳ môđun con
N
U

, hoặc là
(
)
N
ZU hoặc
(
)
Z
UN và
(ii)
()
UZU là một môđun chuỗi.
Bổ đề 2.1.4. Cho R là một vành hoàn chỉnh trái, CS phải và thỏa
mãn mọi R-môđun phải 2-sinh đều (uniform) là xạ ảnh hoặc suy

Việc đặc trng điều kiện
trên vành hoàn chỉnh trái (Mệnh đề
2.1.5) có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu và đặc trng vành
co-H phải.
*
(*)
Trớc đây (1989), tác giả Phan Dân đã đặc trng điều kiện

trên vành hoàn chỉnh phải với những điều kiện tơng tự nh trong
Mệnh đề 2.1.5 (ngoại trừ điều kiện (iv)). Tuy nhiên, trong lý thuyết
vành kết hợp, những tính chất có ở phía phải của một vành R không
nhất thiết có ở phía trái của R. Trong một lớp vành cụ thể, việc chứng
minh những tính chất có ở phía phải của vành cũng có ở phía trái của
vành, cũng nh việc tìm phản ví dụ chứng tỏ rằng tính chất đó có bên
phải nhng không có bên trái là không đơn giản.
*
(*)
Sau đây là đặc trng vành co-H phải trên vành hoàn chỉnh phải
hoặc trái:
Định lý 2.1.6. Cho vành R. Những phát biểu sau đây là tơng đơng:
(i) R là vành co-H phải.
(ii) R là vành hoàn chỉnh trái hoặc phải, thỏa mãn ACC trên các
linh hóa tử phải, đồng thời thỏa mãn một trong các điều kiện
tơng đơng trong Mệnh đề 2.1.5.

7
Vận dụng Ví dụ 2.1.1, chúng ta có thể thấy rằng việc nghiên cứu
vành co-H rất có ý nghĩa, đó là một mở rộng thực sự của vành QF.
Tiếp theo ta xét một vài ví dụ áp dụng của Định lý 2.1.6.
Ví dụ 2.1.7. Vành R đợc xác định nh sau

R không là môđun CS. áp dụng Định lý 2.1.6 ta suy ra R
không là vành co-H phải.
Ví dụ 2.1.8. Vành R đợc xác định nh sau
11
22
3
00
,
00
1, 2, 3; 1, 2
00 00
ij
Vcv
cvV
RVcv
ij
c
,







==



==

R
R là các môđun CS. áp dụng Định lý 2.1.6 ta có R là vành
co-H (phải và trái). Tuy nhiên R không là vành QF.
áp dụng cho vành co-H, vành H (hai phía) ta đợc: R là vành
co-H khi và chỉ khi R là vành H khi và chỉ khi R là vành Artin phải
(hoặc trái) thỏa mãn
R
R
R
R

và
RR
R
R là các môđun CS (Hệ
quả 2.1.9).

Tiếp theo ta xét mối liên hệ giữa vành Artin chuỗi và vành H, co-
H hai phía trong trờng hợp vành không suy biến. Đó là: Với R là
vành không suy biến phải thì những phát biểu sau đây là tơng
đơng: (i) R là vành Artin chuỗi tổng quát; (ii) R là vành H; (iii) R
là vành co-H; (iv) R là vành hoàn chỉnh trái (hoặc phải) và thỏa mãn
một trong các điều kiện tơng đơng trong Mệnh đề 2.1.5 (Mệnh đề
2.1.10).

8
2.2 Vành nửa hoàn chỉnh QF-3
Chúng tôi sử dụng khái niệm vành QF-3 phải theo Thrall (1948)
và Harada (1978), đó là vành R thỏa mãn bao nội xạ
()





=







Khi đó R là vành Artin chuỗi tổng quát. Ngoài ra, đế phải và đế
trái của R đợc xác định nh sau:
0
() , ()
00
RR
.
0
F
FF
Soc R Soc R
F


==




.







==



=





R
RQ
RQ
RRR

Khi đó, R là vành nửa hoàn chỉnh (do R là nửa nguyên sơ) QF-3
phải (
()
R
E
R xạ ảnh). Nhng R không là vành co-H phải hoặc PF
phải.

Hệ quả sau đây mô tả kỹ hơn cấu trúc vành nửa hoàn chỉnh QF-3
phải.
Hệ quả 2.2.4. Cho vành nửa hoàn chỉnh R. Khi đó, R là vành QF-3
phải nếu và chỉ nếu
(
)
(
)
11
tm
Rii jj
R
eR f R
==
= ,
trong đó
{}
{
}
1
1
m
t
ij
i
j
ef
=
=
là một tập đầy đủ các lũy đẳng nguyên thủy


10
Để đặc trng điều kiện
trên vành nửa hoàn chỉnh R thỏa
mãn
*
(*)
R
R
R
R là một môđun CS, ta cần các kết quả sau.
Bổ đề 2.2.5. Cho R là một vành nửa hoàn chỉnh. Nếu
R
R
R
R

là
môđun CS, thì eR là một R-môđun nội xạ với mọi lũy đẳng không bé
. eR
Mệnh đề 2.2.6. Cho R là một vành nửa hoàn chỉnh thỏa mãn
R
R
R
R là một môđun CS. Khi đó, những phát biểu sau đây là tơng
đơng:
(i) R là vành QF-3 phải.
(ii) Với bất kỳ lũy đẳng bé
f
R

này rất có ý nghĩa trong việc nghiên cứu lớp vành co-H phải.
2.3 Vành Artin chuỗi và vành co-H
Lớp các vành Artin chuỗi tổng quát là một lớp con của lớp các
vành co-H phải. Để đặc trng vành Artin chuỗi tổng quát trên vành
hoàn chỉnh phải hoặc trái, chúng ta xét cấu trúc của môđun chuỗi
trên vành hoàn chỉnh phải hoặc trái qua bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.1. Cho vành R và M là một R-môđun phải. Khi đó ta có:
(i) Nếu R là vành hoàn chỉnh phải và M là môđun chuỗi, thì M là
xiclic và Nơte.
(ii) Nếu R là vành hoàn chỉnh trái và M là môđun chuỗi, thì M là
xiclic và Artin.

11
Sau đây là các đặc trng vành Artin chuỗi tổng quát trên vành
hoàn chỉnh phải hoặc trái.
Mệnh đề 2.3.2. Giả sử R là một vành hoàn chỉnh trái hoặc phải.
Những phát biểu sau đây là tơng đơng:
(i) R là vành Artin chuỗi tổng quát.
(ii) Mọi R-môđun phải hữu hạn sinh đợc phân tích thành tổng trực
tiếp các môđun chuỗi.
(iii) Mọi R-môđun phải 2-sinh đợc phân tích thành tổng trực tiếp
các môđun chuỗi.
(iv)
()
E
eR là môđun chuỗi với mọi lũy đẳng nguyên thủy e của R.
Mệnh đề 2.3.2 là một mở rộng kết quả của Định lý 32.3, trang
347 trong cuốn sách "Vành và phạm trù môđun" (Anderson và Fuller,
1992).
Hệ quả 2.3.3. Nếu mọi R-môđun phải đều phân tích đợc thành

nội xạ sao cho
i
eR .
ji
eR eR
Bổ đề 2.3.5. Cho R là vành hoàn chỉnh trái thỏa mãn mọi mở rộng
cốt yếu của R
R
là xạ ảnh. Khi đó ta có:
(i)
()(())
E
eR Z E eR
là môđun Artin chuỗi với mọi lũy đẳng nguyên
thủy e của R,
(ii) R thỏa mãn điều kiện
.
*
(*)

12
Tác giả Harada (1978), đã chứng minh rằng: Trên vành nửa hoàn
chỉnh R, thì điều kiện
(* đợc thỏa mãn khi và chỉ khi có thể phân
chia tập đầy đủ các lũy đẳng nguyên thủy trực giao của vành R thành
hai bộ phận
{
*
)
}

t
t
1t
i
eJ
i
tt
i
i
eJ
+
là môđun suy
biến (với
()
J
JR= ).
Để chứng minh vành đã cho trong Bổ đề 2.3.5 (và Bổ đề 2.1.4)
thỏa mãn điều kiện
(* , chúng tôi đã áp dụng kỹ thuật biến đổi trên
môđun địa phơng, dựa vào cấu trúc môđun địa phơng và môđun xạ
ảnh trên vành hoàn chỉnh trái. Đồng thời áp dụng kết quả của Harada
nh đã trình bày ở trên để kiểm chứng các điều kiện (a), (b), (c) đợc
thỏa mãn.
*
)
Định lý 2.3.6. Cho vành R. Những phát biểu sau đây là tơng đơng:
(i) R là vành co-H phải.
(ii) R là vành hoàn chỉnh trái thỏa mãn mọi mở rộng cốt yếu của
()
R

Tác giả Faith (1966) đã chứng minh rằng vành tự nội xạ phải
(hoặc trái) thỏa mãn ACC trên các iđêan linh hóa tử phải là QF.
Chúng tôi tìm đợc ví dụ chứng tỏ vành GP-nội xạ phải, thỏa mãn
ACC trên các iđêan linh hóa tử phải nhng không là vành PF phải
hay QF. Từ đó một vấn đề đặt ra rất tự nhiên là cần thêm điều kiện
tối thiểu nào để vành GP-nội xạ phải, thỏa mãn ACC trên các iđêan
linh hóa tử phải là QF. Chúng tôi đã chứng minh đợc vành R đang
xét là QF nếu nó thỏa mãn thêm một trong các điều kiện sau: R là
vành linh hóa tử đơn phải, hoặc R là vành tự nội xạ đơn trái, hoặc R là
vành đối xứng đơn trái, hoặc Soc(eR) là iđêan phải đơn với mọi lũy
đẳng địa phơng
eR

(Định lý 3.1.8).
Chúng tôi chứng minh đợc một vành R là PF phải khi và chỉ khi
R là nửa hoàn chỉnh, FSG phải và thỏa mãn một trong các điều kiện:
()
R
R
Soc R R , hoặc , hoặc R là vành Kasch phải, hoặc
R là vành Kasch trái và tự nội xạ đơn trái (Định lý 3.2.8). Kết quả này
là sự mở rộng một kết quả của tác giả Faticoni (1987).
()
RR
Soc R R
Khi chứng minh đợc một vành R là nửa hoàn chỉnh, tự nội xạ
phải khi và chỉ khi nó là vành FSG phải, liên tục phải và có chiều
Goldie phải hữu hạn (Mệnh đề 3.3.7). Chúng tôi đã đặc trng đợc
vành QF qua vành FSG phải, liên tục phải, có chiều Goldie phải hữu
hạn và thỏa mãn với mọi môđun con đều U

.
Chúng tôi cũng thu đợc kết quả tơng tự nh trên, nhng chỉ cần
điều kiện vành đã cho là nửa địa phơng và thỏa mãn ACC trên các
iđêan linh hóa tử phải. Trớc hết ta xét bổ đề.
Bổ đề 3.1.1. Cho R là vành nửa địa phơng thỏa mãn ACC trên các
linh hóa tử phải và
() ()
R
R
Soc R Soc R R
R
=
. Khi đó ta có:
(i) R là vành nửa nguyên sơ.
(ii) Nếu R là vành QF-2 thì R là vành Artin (hai phía).
Mệnh đề 3.1.2. Cho R là vành nửa địa phơng thỏa mãn ACC trên
các linh hóa tử phải. Những phát biểu sau đây là tơng đơng:
(i) R là vành QF.
(ii) R là vành QF-2 thỏa mãn
() ()
R
RR
Soc R Soc R R= .
(iii)
() ()
R
R
Soc R Soc R R=
R
, Soc(eR) và Soc(Re) là các iđêan phải

RR
Soc R Soc R S==
R
và
R
R.
(iii)
R
R là hữu hạn đối sinh.
(iv) J = Z(R
R
) = Z(
R
R).
(v) l(S) = J = r(S) và l(J) = S = r(J).
(vi) ánh xạ
(
)
KrK và
(
)
TlT là hai đẳng cấu dàn ngợc
nhau giữa các iđêan trái đơn K và iđêan phải cực đại T.
(vii) Với
{
}
1
,,
n
ee là tập lũy đẳng cơ sở của vành R. Khi đó tồn tại

kReJe

.
(c)
{
}
1
,,
n
kR kR và
{
}
1
,,
n
R
kRk là tập tất cả các đại diện của
các R-môđun phải, trái đơn (tơng ứng).
(d)
() ()
()
iiii
Soc Re Rk Se Re Je
i
=
= là đơn và cốt yếu trong
()i
R
e


nhiên, điều đó không còn đúng đối với vành tự nội xạ đơn. Thật vậy,
với
R
= Z là vành các số nguyên, thì R là Nơte và tự nội xạ đơn.
Nhng rõ ràng R không là vành QF.
Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng các điều kiện linh hóa tử đơn phải,
tự nội xạ đơn trái, đối xứng đơn trái, Soc(eR) là iđêan phải đơn với
mọi lũy đẳng địa phơng e của vành R trong Định lý 3.1.8 là không
thể bỏ đợc.
Ví dụ 3.1.9.
Cho trờng F và
F
là một trờng con của F
(
)
F
F . Giả sử
phép đặt tơng ứng
a a là một đẳng cấu trờng từ
F
F . Gọi R
là không gian véctơ trái với cơ sở
{
}
1, t . Định nghĩa phép nhân:
2
0,tta==at với mọi aF

. Khi đó R có cấu trúc F-đại số.
Ta có những khẳng định sau đây:

)
12 ()
,,,,
np
xx x Z
thỏa
mãn:
1
() ( 1),
nn
xx n

=
>
với
là toàn cấu vành
11
,
nnn
ppxpxp

++ZZZ Z Z Z
n
.
Vành con
đợc gọi là vành số nguyên p-adic.
()p
Z
Ký hiệu
p

x
yyxxyR
=
+ ,à, à, à ,à,
Khi đó,
R là vành PF (phải và trái) nhng không là vành QF. Từ đó
suy ra
R không là vành co-H phải (hoặc trái).
c. Vành FSG, GP-nội xạ và vành QF
Tác giả Yousif (1994) đã khẳng định rằng "với R là vành nửa
hoàn chỉnh FPF phải, thì
R là vành tự nội xạ phải nếu và chỉ nếu
() ( )
R
J
RZR=
". Chúng tôi chứng minh đợc kết quả đó vẫn đúng
cho trờng hợp vành FSG.

18
Mệnh đề 3.1.11
. Cho R là vành nửa hoàn chỉnh FSG phải. Khi đó,
R là vành tự nội xạ phải nếu và chỉ nếu
J(R) = Z(R
R
).
Từ Ví dụ 3.1.9 ta suy ra đợc rằng các lớp vành FSG phải và tự
nội xạ đơn phải (hoặc trái) là không trùng nhau. Trong Định lý 3.1.8,
nếu ta thay điều kiện vành linh hóa tử đơn phải hoặc vành tự nội
xạ đơn trái bởi điều kiện vành FSG phải, thì kết quả vẫn còn đúng.

=
Z , là vành các số nguyên.
Khi đó
R là vành Nơte, tự nội xạ đơn, FSG và ()
R
R
Soc R là vành
Goldie. Nhng
R không là vành GP-nội xạ phải và rõ ràng R không là
vành QF (hoặc PF phải).
Từ Mệnh đề 3.1.11 ta suy ra "Với
R là vành nửa hoàn chỉnh FSG
phải, thì các điều kiện sau đây là tơng đơng: (
i) R là vành tự nội xạ
phải; (
ii) R là vành P-nội xạ phải; (iii) R là vành GP-nội xạ phải" (Hệ
quả 3.1.14
).

19
3.2 Đặc trng vành PF qua vành FSG

Ta đã biết, một vành
R là PF phải khi và chỉ khi R là vành nửa
hoàn chỉnh, tự nội xạ phải và có đế phải cốt yếu. Tác giả Faticoni
(1987) đã chứng minh rằng kết quả trên vẫn còn đúng, khi thay thế
điều kiện vành tự nội xạ phải bởi điều kiện vành FPF phải. Trong
mục này, bằng cách chứng minh "nếu
R là vành nửa hoàn chỉnh, FSG
phải và có đế phải cốt yếu thì mọi

đơng:
(i) R là vành PF phải.
(ii) R là vành SGPE phải, FSG phải.

20
(iii) R là vành nửa hoàn chỉnh FSG phải, P-nội xạ và Kasch trái.
(iv) R là vành nửa hoàn chỉnh FSG phải, P-nội xạ trái và Kasch trái.
Hệ quả 3.2.5. Mọi vành PF phải đều là vành GPF trái (và phải).
Để chứng minh kết quả chính trong mục này, chúng ta cần chứng
minh thêm một số kết quả sau.
Bổ đề 3.2.6. Cho R là vành nửa hoàn chỉnh FSG phải và
{
}
1
,,
n
ee
là tập đầy đủ các lũy đẳng nguyên thủy trực giao của R,
là lũy đẳng cơ sở của R. Khi đó, nếu R chứa
01 t
ee e=++ (tn )
t iđêan phải đơn không đẳng cấu với nhau thì u.dim
(Soc(R
R
))=n.
Bổ đề 3.2.7. Cho R là vành nửa hoàn chỉnh tự nội xạ đơn trái. Khi
đó, R là vành Kasch trái nếu và chỉ nếu eSoc
(
R
R) là môđun đơn với

Trớc tiên ta xét tính chất của vành nửa hoàn chỉnh, FSG phải và
thỏa mãn điều kiện ACC hoặc DCC trên các iđêan phải cốt yếu.
Bổ đề 3.3.1. Giả sử R một vành nửa hoàn chỉnh FSG phải và
{
}
12
,,,
n
ee e là một tập đầy đủ các lũy đẳng nguyên thủy trực giao
của R. Khi đó ta có:

(
i) Những phát biểu sau là tơng đơng:
(a) R là vành Artin phải.
(b) là môđun Artin, với mọi
i
eR
1, 2, ,in
=
.
(
c) R thỏa mãn DCC trên các iđêan phải cốt yếu.
(ii) Những phát biểu sau là tơng đơng:
(a) R là vành Nơte phải.
(b) là môđun Nơte, với mọi
i
eR 1, 2, ,in
=
.
(c) R thỏa mãn ACC trên các iđêan phải cốt yếu.