Chun đề 2 BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC NGUYÊN VÀ PHÂN THỨC I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
1.Các hằng đẳng thức cơ bản và mở rộng :
1.
22 2
() 2ab a abb+=+ +
2.
22 2
() 2ab a abb−=− +
3.
22
()()ab abab−=+ −
4.
33 2 23 33 3
() 3 3 ()3()+=+ + +→+=+− +ab a ab ab b a b ab abab
5.
33 2 23
() 3 3ab a ab ab b−=− + −
6.
33 2 2
()( )a b aba abb+=+ −+
7.
33 2 2
()( )ab abaabb−=− ++
8)
2222

ab aba ab b
−− −
−=− + ++

II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài 1
: Cho
2
x2 2 24x 3xx 1
M3:
3x x1 x1 3x
⎛⎞
+−−+
⎟
⎜
=+− −
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++

1) Rút gọn M thành một phân thức
2) Với giá trị nào của x thì M0<
3) Tìm
x ∈ ] để
1

⎪⎪
⎪
⎩
≠
⎪
⎪
⎪
⎩

Khi đó:

()() ()
()
()
()()
()
()
2
2
22
2
2
2
x2 2 24x 3xx 1
M3:
3x x1 x1 3x
x 2 x 1 6x 9x x 1 2 4x 3x x 1
:
3xx1 x1 3x
28x 24x 3xx 1

+− + −+
=−
+−
+−+
=−
−
=
−
=

2) Ta có:
M0 x10 x1<⇔−<⇔<
Kết hợp với điều kiện của biến ta có kết quả:
x1
x0
x1
1
x
2
⎧
<
⎪
⎪
⎪
⎪
≠
⎪
⎪
⎪
⎨

x1 3
⎡
−=
⎡
=
⎢
⎢
⎢
⎢
=
−=−
⎢
⎢
⇔⇔
⎢
⎢
=
−=
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
=−
−=−
⎣
⎣

Đối chiếu với điều kiện của x ta có đáp số là:

⎪
⎨
≠
⎪
⎪
⎩

Đặt: xa= với
a0
a1
≥
⎧
⎪
⎪
⎨
≠
⎪
⎪
⎩
. Khi đó:

()
()( )
()( )
()
()( )
()
()
2
22

++++ +
=
+
++
=
+
++
==+
+

Vy:
()
2
Px1=+
BI TP T GII:
Bi 1: Cho biu thc:
xx 1 x 1 x
M:x
x1 x1 x1

+


= +












+ +

Tỡm cỏc giỏ tr ca x M cú ngha, khi ú hóy rỳt gn M.
ỏp s:
x0
x1
x4;M
x4
x9





+


=








1
x1;M
xx1
1
x
4









=


+









Bi 4: Cho biu thc:
2x 9 2x 1 x 3


Bi 2: Cho
111
0
abc
++=. Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực :
222
ab bc ca
S
cab
=++

Bi gii:
S dng kt qu: Neỏu
abc0++=
thỡ
333
abc3abc++=
Từ giả thiết
111
0
abc
++= ta suy ra
được

=+++
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
Bài giải:
Sử dụng kết quả 333 222 2 2 2
1
3( )( ) = ( )()()()
2
⎡⎤
++− =++ ++−−− ++ − +− +−
⎣⎦
a b c abc a b c a b c ab ac bc a b c a b b c c a
Do
333
3a b c abc++= ta suy ra được
222
0
( )()()()0
++=
⎡
⎡⎤
++ − + − + − =⇒
⎢
⎣⎦

Ax
x
=+
;
6
6
1
Bx
x
=+
;
7
7
1
Cx
x
=+Bài giả
i:
Ta ln có hệ thức:
n1 n n1
n1 n n1
111 1
xxxx
xxxx
+−
+−
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞

11
xx2a2
xx
⎛⎞
⎟
⎜
+=+ −=−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠

Ta tính được:

3
Aa 3a=−
()
2
2
33642
3
43 753
43
1
B x 2 a 3a 2 a 6a 9a 2
x
11 1
C x x x a 7a 14a 7a
xx x

5
5
1
x
x
+
là một số ngun. Tìm số ngun đó
Bài giả
i:
Ta có:
54 3
54 3
1111
xxxx
xxxx
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
+= + +−+
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
⎝⎠⎝⎠⎝⎠

Do:
2

⎝ ⎠⎝⎠⎝⎠

Và
2
42
42
11
xx249247
xx
⎛⎞
⎟
⎜
+= + −=−=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠

Nên
54 3
54 3
1111
x x x x 47.3 18 123
xxxx
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎟⎟ ⎟
⎜⎜ ⎜
+= + +−+ = −=
⎟⎟ ⎟

Ax y z=++

Bài giải:
Cộng từng vế các đẳng thức đã cho và biến đổi ta được;

()
()
()
2
22
x10
x1 y1 z1 0 y10 x y x 1
z10
⎧
⎪
+=
⎪
⎪
⎪
⎪
+++++=⇒+=⇒===−
⎨
⎪
⎪
⎪
+=
⎪
⎪
⎩



222
222
bca 2bc
cab 2ca
+− =−
+−=−

Do đó:
111abc
Q0
2ab 2bc 2ca 2abc
++
=++= =
−−− −

Bài 4: Cho
4
432
16
4 8 16 16
a
M
aaa a
−
=
−+−+

a
aaaa
aaa
aaa

=
++

=
+
++
=
+

V
i a2 thỡ
a2
A
a2
+
=


Tỡm a ] A ]
Tip tc bin i A thnh
a2 4
A1
a2 a2
+
==+




=


=


=


=



=


=



i chiu vi iu kin ca a ta cú ỏp s l: a 1;a 3;a 4;a 6====
Baứi 5: Chửựng minh raống neỏu a,b,c khaực nhau thỡ :

222


++= + +

=++

222

ab bc ca
=++

Bi 6: Chng minh rng:
1)
111
x(x1) x x1
=
++

2)
()()
1111
3x 1 3x 2 3 3x 1 3x 2



=



+

2)
()()
n
11 1
S
2.5 5.8 3n 1 3n 2
=+++
−+

3)
111 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)
n
S
nn n
=++++
+
+III. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ TRONG GIẢI TOÁN:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
A2x 6x1=−+
⎟
⎜
⎝⎠

Dấu đẳng thức xảy ra khi
3
x
2
=
. Vậy
7
min A
2
=−Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
()( )( )( )
A x 1x 2x 3x 6=− + + + Bài giải:
Biến đổi biểu thức A

()( )( )( )
()()
()
22
2
2

=++−−+
=+ ++ +++ −− + −
=− + +−+
⇒≥

Dấu đẳng thức xảy ra khi
xy 0
x1
xy20
y1
−=
⎧
=⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
⎨⎨
+−=
⎪⎪=
⎪⎪
⎩
⎩
. Vậy min A 2009=

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm

4
xx20++=
Bài 2: Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
1)
22
Ax 2
y
2x
y
2x 10
y
=+ − +−
2)
22
B(x1) (x3)=+ +−
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có

222
x
y
zx
yy
zxz0++−−−≥
Bài 4: Phân tích biểu thức sau thành nhân tử

333
I. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CĂN THỨC CƠ BẢN:
1. Biến đổi căn thức bậc lẻ:
•

21
21
k
k
A
A
+
+
=

•

21 21
21

kk
k
A
BAB
++
+
=
•


•
2
2
k
k
A
A=
•

2
22
. . (A.B 0)
k
kk
AB A B=≥
•

2
2
2
(A.B 0 , B 0)
k
k
k
A
A
B
B
=≥≠


A=
•

. . (A.B 0)AB A B=≥

•

(A.B 0 , B 0)
A
A
B
B
=≥≠

•

2
. . (B 0)AB A B=≥

Chú ý:
A
có nghóa khi 0
A
≥
Biến đổi căn thức bậc ba:
•



II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài 1: Chứng minh đẳng thức :
23 5 13 48
1
62
+− +
=
+
(1)

Bài giải:
()
()
2
23 5
23 5 13 48
(1)
62 62
23 5 23 1

62
23 4 23

62

23 1


+
==== ==
+++ ++Bài 2: Chứng minh đẳng thức :
2
3
1
1
3
2
1
33
11 11
22
+
−
+
=
++ −−
(1)

Bài giải:
() ()
22
33 3 3
11 1 1
22 2 2
(1)

2323
22
31 3 3 3 3
222
2 3 2 3 (2 3)(3 3) (2 3)(3 3) 3 3 3 3
1
66
3333
+−
=+
−+ −
−
+− +−+−+ ++−
=+= = =
+−
Bài 3: Chứng minh đẳng thức :
44
49 20 6 49 20 6
3
2
++−
= (1) Bài giải:

()()

==

Bài 4: Cho a 0≥ . Chứng minh rằng :
22
2
22
1( 1)
11
aa aa
aa
aa aa
−+
−
++= −
++ −+

Hướng dẫn:
Đặt ẩn phụ:
ax=Bài 5: Xét biểu thức
393 21
1
212
aa a
P
aa a a
+− −
=−+−

x
xx xx
−+
=−++
++ −+

Rút gọn M với
01
x
≤≤

Hướng dẫn:
+ Đặt xa=
+ Kết quả: M1 x=−

Bài 9:
Tính giá trò của biểu thức :
3 2 2009
A (3x 8x 2)=++ với
3
( 5 2) 17 5 38
x
51465
+−
=
+−

Hướng dẫn:
+ Rút gọn x sẽ được
1

=+
+−

Hướng dẫn:
+ Rút gọn x
+ Thay x vào A Bài 12: Cho số
33
x945945=+ +−
1) Chứng tỏ x là nghiệm của phương trình
3
x3x180
−
−=.
2) Tính x.
Hướng dẫn:
1) Ta có:

(
)
33
3
33
3
3
x 9 4 5 9 4 5
x183.x.945945
x183x


(
)
2
42 2
16 32 0 8 32xx x−+=⇔−= (1)
Ta s
ẽ chứng minh:
()
2
2
0
x8 32−=

Thật vậy:

()
()
()
()
()
2
00
2
0
2
2
0
223 6323 82232323
8 2 2 3 2 3 2 3 Hết