Bài tập đa thức dành cho HS thi Quốc gia
Văn Phú Quốc- GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
190
1. (VMO 2002). Cho
, ,
a b c
là ba nghiệm thực sao cho đa thức
3 2
P x x ax bx c
có ba nghiệm thực.
Chứng minh rằng:
3
3 2
2
12 7 12
6 0 2
aa
a b
b c
.
2. (VMO 2003). Cho hai đa thức:
3 2
4 2 15 9
P x x x x
1
2 6
!
n
n
x x x
f x x
n
. Chứng
minh rằng
n
f x
vô nghiệm nếu
n
chẵn và có duy nhất một
nghiệm nếu
n
lẻ.
4. (Yugolavia TST 1999, Crux 2005). Cho
P x
là một đa thức bậc
2
n
sao cho
3
13
P x x x a
có 3 nghiệm nguyên.
Đáp số:
12
a
.
6. (Irish 13, Crux 2006). Cho đa thức
2
0 1 2
n
n
P x a a x a x a x
có
hệ số không âm. Giả sử
4 2, 16 8
P P
. Chứng minh rằng:
;
4 3 2
1
Q x x cx bx ax
với
, ,
a b c
.
Tìm điều kiện của
, ,
a b c
để
,
P x Q x
có nghiệm chung. Hãy xác
đònh tất cả các nghiệm của
P x
và
:
Q x
2 2
4 4
1,1, ,
2 2
a a a a
.
8. (Singapore 2002, Crux 2006). Biết đa thức
3 2
P x x ax bx c
có 3
nghiệm nguyên dương phân biệt và
2002 2001
P
. Xét đa thức
2
2 2002
Q x x x
.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
n
ta luôn có:
2 1 2 1 2 1
0
n n n
x y z
.
10. (Moscow 2011). Cho
3
n
. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực
0 1
0
,
n
x
tồn tại tam giác mà số đo 3
cạnh là:
4 3 2 3 2 4
1 2 3
2 1; 2 2 1;
1
P x x x x x P x x x x P x x
.
Tìm góc lớn nhất?
Đáp số: Góc lớn nhất là
0
120
.
12. (IMO Shortlist). Cho
P x
là một đa thức bậc 3 với hệ số hữu tỉ.
Cho dãy hữu tỉ
13. (IMO Shortlist). Cho đa thức
P x
thỏa mãn:
Bài tập đa thức dành cho HS thi Quốc gia
Văn Phú Quốc- GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
192
0 0, 1 0 , 2 2 1 0 , 3 3 2 3 1 0
P P P P P P P P P P
0 ,
1
0, 1f f n n f f n n
.
Tìm tất cả các đa thức
g x
với hệ số thực thỏa mãn
,f n g n n
.
Đáp số:
f x x b x a
có hai nghiệm phân biệt
thuộc khoảng
1;
1
với mọi
n
nguyên dương.
16. (Bulgaria 1995). Cho đa thức
2 2
4 3 3
f x x m x m m
có
nghiệm
1 2
,
x x
. Chứng minh rằng:
2 2
1 2
1 2
f p
là tích của 2 nghiệm lớn nhất và bé
nhất.
– Nếu
H x
có đúng 1 nghiệm thì
f p
là bình phương nghiệm đó.
Tìm giá trò lớn nhất của
f p
. Đáp số:
max
3
f p
tại
0
p
.
18. (VMS 2005).
,Q x Q x x
. Chứng
minh rằng
0 Q x x
.
19. (USA TST 2010). Cho
P x
là một đa thức với hệ số nguyên
thỏa mãn
0 0
P
và
sao cho mỗi số dương
c
, tồn tại đa thức
c
P x
sao cho
1998
,
c
f x P x xx c
. Chứng
minh rằng
f
cũng là một đa thức.
21. (Russia 2010). Cho hai số
,
a b
mà
a
ab
a
được xác đònh như sau:
2
0 1 2
1, ,
a a p a p q
và
3 2 1
n n n n
a pa qa ra
.
Chứng minh rằng dãy số chứa vô hạn số âm.
23. (Putnam 2008). Cho
3
n
. Xét hai đa thức
,
f x g x
hệ số thực sao
cho
n
điểm
hay
g x
lớn hơn
2
n
.
24. (Bantic 1998). Cho đa thức
2 1
1
k
k
P x x x x
.
Chứng minh rằng:
1
1
1
2
2
n
k n
n k n
Văn Phú Quốc- GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm
194
26. (Bantic 2004). Cho đa thức
P x
với hệ số không âm. Chứng minh
rằng nếu
1
1
P x P
x
đúng với mọi
1
x
thì cũng đúng với mọi
x
dương.
27. (Japan 2008). Cho đa thức
xP x yP y
với vô số cặp số nguyên
, ,x y x
y
.
Chứng minh
P x
có nghiệm nguyên.
29. (IMO Shortlist 2009). Cho đa thức
P x
không hằng và có hệ số
nguyên. Chứng minh rằng không tồn tại hàm số
:
T
sao cho
với mọi số nguyên
x
. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên
x
sao cho
4
6 P x
hoặc
6
16
P x
.
31. (Germany). Giả sử
A n
là tập các đa thức dạng:
0 1
n
n
P x a a x a x
với
m
P x Q x A n
.
32. (IMO Shortlist). Cho
n
đa thức:
1 2
, , ,
n
P x P x P x
hệ số thực.
Chứng minh rằng tồn tại 6 đa thức
,
k k
A x B x
thỏa hệ thức sau
đây:
và
2
1
, 1 1 , 2
,
n n n
P x y x y y P x y y y P x y
.
Chứng minh rằng:
, , , , ,
1
n n
P x y P y x x y n
n n
n
a x a x a
có giá trò tuyệt đối không vượt quá nghiệm
dương duy nhất
0
x
của phương trình:
1
0 1
0
n n
n
b x b x b
.
36. (IMO 1974). Cho đa thức
P x
có bậc
0
m
và có các hệ số
1, , 1, ,0,1,
,
k nP k
n n
.
Chứng minh rằng:
2
2
, ,
n
x n n
P x
.
38. (China TST 2009). Cho
f x
là đa thức bậc
n
có các hệ số bằng
1
. Biết rằng đa thức
1
hai biến hệ số thực, khác hằng số.
40. (Indonesia TST 2010). Giả sử đa thức
3 2
P x ax bx cx d
có 3
nghiệm dương và
0 0
P
. Chứng minh rằng:
3 2
7
0
2 9
b a d abc
.
Copyright: Tài liệu đại học ©