Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
1Bài tập chuyên đề:
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
VĂN PHÚ QUỐC
1. Giải PT:
3 2 3 2
5 3
3 2012 3 6 2013 5 2014 2013
x x x x x        .
2. Giải BPT:
           
2 3 2012

1
1 1 2 1 1 2 1 3 1 1 2 1 2012 1
x x x x
x x x x x x x x x
    
        

3. Giải HPT:
1
2
3
4
2


;
1 2 3 4
, , ,x x x x


.
4. Giải HPT:
2
2
2
30 4 2012
30 4 2012
30 4 2012
y
y
x
z
z
y
x
x
z

 



 


x x x x
x x x x

  

  






  


  

.
Chứng minh rằng trong 2013 số đó có hai số
,
a b
sao cho:
1
2012
a b  .
6. Giải HPT:
2 2 2
2012 2012 2012
3
3


8. Giải HPT:
2012
2013
1 2 3
2012
2013
2 3 4
2012
2013
2012 1 2
1 2 2012
30 4
30 4

30 4
, , , 0
x x x
x x x
x x x
x x x

 


 






 
 


 

 

 

 



 
 
 

 

;
1 2 2012
, , ,x x x


.
10. Giải HPT:
2
2

2
2 2 3
2
2
2012 2012 1
1
2
1
2

1
2
k
x kx x
k
x kx x
k
x kx x


 
  

 
 



 


2 3 4
1 2
2012 4025 2013 0
2012 4025 2013 02012 4025 2013 0
n
x x x
x x x
x x x
  


  




  

;
1 2
, , ,
n
x x x


.
13. Giải HPT:

Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
3

14. Giải PT:
2 2
2 2 2
3 2 2 2 3 10
3
3 3 4 4 3
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x
       
    
           

15. Giải HPT:
2012 2012 2011 2011
2x y
x y x y
 



  


; ,x y



4 2 2 2
6 12 6
5 1 11 5
x x x y y x
x x y x

     



    

; ,x y



18. Giải HPT:


 
 
2 4 2 2 2 4
2
2 4 2 2
3 2 1 2
1 1 2 2 1 0
x y x y x x y
x y x x x xy

    

   

   

; ,x y


.
20. Giải HPT:
 
4 4
2009 2013 2013 2009
2011
2 1
2
3
xy x y
x y x y

  



 

; ,x y


.
21. Giải HPT:

x
 
  
 
 

23. Giải HPT:
3 3
3 3
1 1
9
1 1 1 1
1 1 18
x y
x y x y

 



   
 

   
   
 
   

 
   


     


, ,x y


.
26.Giải HPT:
 
  
4 4
2 2 2
1 1
2
2
1 1
3 3
2
y x
x y
y x x y
x y


  







.
29. Giải HPT:
 


 
 
 
 
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
3 1
4 1 ; , ,
5 1
x y z x x y z
y z x y y z x x y z
z x y z z x y

   


    



3
x y
x y
x y
y x









.
33. (VMO 1977). Giải BPT:
1 1 1
1
x
x
x x x

    .
34. (VMO 1978). Tìm tất cả các giá trị của
m
sao cho HPT sau đây chỉ có một nghiệm
2
2 2
2
1

   

.
36. (Kỳ thi đặc biệt tại Huế, 1981). Giải HPT:
1 2 1
1 2 3 2
2 3 4 3
2 1 1
1
2
2
2

2
2
n n n n
n n n
t t a
t t t a
t t t a
t t t a
t t a
  

 


   



 
2
2
3 ln 2 1
3 ln 2 1
x x x y
y y y x

   


   


.
41. (VMO 1995, bảng A). Giải PT:
3 2
4
3 8 40 8 4 4 0
x x x x
     
.
42. (VMO 1995, bảng B). Giải PT:
2
3
2 11 21 3 4 4 0
x x x
    
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia



 
2 1 2 2 1
3 2
1 4 .5 1 2
4 1 ln
2 0
x y x y x y
y x y x
    

  


    


.
45. (VMO 2001, bảng B). Giải HPT:
7 2 5
2 2
x y x y
x y x y

   


   


  


.
48. (VMO 2004, bảng B). Giải HPT:
3 2
2 2
3 49
8 8 17
x xy
x xy y y x

  


   


.
49. (VMO 2006, bảng A). Giải HPT:
 
 
 
2
3
2
3
2
3
2 6.log 6



   

.
51. (VMO 2007). Giải HPT:
12
1 2
3
1
1 6
3
x
y x
y
y x

 
 

 

 

 

 
 



x y
x x y y

 



 


   


.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
6

54. (VMO 2010). Giải HPT:
 
 
4 4
2
3 3 2
240
2 3 4 4 8
x y
x y x y x y

 

x

 

.
57. Giải BPT:
2
2 2 30 2013. 30 4 2013 30. 2013
x x x    .
58. Giải HPT:
2 2 2
2 2
2 3
2 1
x y z xy zx zy
x y yz zx xy

     


     


.
59. Với giá trị nào của ,u v


thì HPT:
     
 

.
61. Giải BPT:
2
12 8
2 4 2 2
9 16
x
x x
x

   

.
62. Giải PT:
2 4 2 4
13 9 16
x x x x
   
.
63. Giải PT:
2
4 3 2
3
2 7 3 3 2
2
x x
x x x x

     
.

x y z xyz
x y z y x z z x y
  



        


.
66. Giải BPT:
2
2
2
2
6 5
x x
x x
 
  
.
67. Trong các nghiệm thực


, , ,
x y z t
của HPT:
2 2
2 2
1

x
. Chứng minh rằng:
9
0
162 2
x
 
và
0
x
không phải là nghiệm của PT:
3 1 4
x x x
   
.
69. Giải BPT:
 
2 2
2 1 2 1 2 3 0
x x x x x x
       
.
70. Giải HPT:


 
 
2
2
2

x x y
y y x

   


   



74. Tìm m để BPT:
2
2
1 1
2 sin sin 7
sin sin
2
1 1
3 sin sin 12
sin sin
x x
x x
x x m
x x
   
   
   
   

   

y x x y
x y
x y
x y



 
 

   



 

 
 


.
77. Giải PT:


3
3 2
3log 1 2log
x x x
  
.

  


    



80. Giải HPT:
2 2
2
2
1
xy
x y
x y
x y x y

  




  

.
81. Giải HPT:


2 32
2 2 2 2

4 1 9 8 52 4
x y
x x y x y xy

  


      


.
84. Giải HPT:
4 4 2 2
4 4 2 2
2 6
2
8 6 0
x y x y x y
y x y x y x
x y x

 
      

 

 

   




.
87. Giải HPT:
2
4
16 2 3
x y x y x y
x y x

    



   

.
88. Giải HPT:
2
2
2 2 1 34 2
2 2 1 34 2
x x y xy x
y x y xy y

      


       


90. Giải HPT:
  
2 2
2 2
7
2 1 2 1
2
7 6 14 0
x y xy
x y xy x y

  



     

.
91. Giải HPT:


 
2 2
1 2
2
1 1 3 1
y x
x y
x
y x x

x y z t
thỏa mãn HPT:
2 2 2 2
3 3 3 3
2 2 2 2
12
50
252
2
x y z t
x y z t
x y z t
x t y z xyzt
   


   


   


 

.
94. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của PT:
2 2
4 6 9 6
313
x y x y


  

 .
97. Xác định tất cả các nghiệm số nguyên của PT vô định:


3 2 2 3 2 2
8 1
x x y xy y x xy y
      
.
98. Tìm tất cả các số tự nhiên
,
x y
thỏa mãn PT:


4
3361 11296320
x y   .
99. Tìm
m
để PT sau có nghiệm duy nhất:
   
3
4
1 2 1 2 1
x x m x x x x m
      

30 4 14 10
1
30 4 14 10
1
30 4 14 10
x y z t
a a a a
x y z t
b b b b
x y z t
c c c c
x y z t
d d d d

   

   


   

   


   

   


   



.
104. Tìm tất cả các cặp


;
x y
với ,x y


thỏa
3
1 2 1
2
x y y x xy
    .
105. Tìm tất cả các bộ


; ;
x y z
với
, ,
x y z
là những số nguyên thỏa mãn HPT:
3 3 3
3
3
x y z

x y z

.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
10

107. Giải HPT:
3 2
3 2
3 2
2
2
2
1
2012
1
2012
1
2012
x x
y y
z z
y
z
x





2012 2010 2010
2012 2010 2010
2
2
2
x y z
y z x
z x y

 

 


 

.
109. Giải HPT:


2 2
2
2 2
2
3 8 8 8 2 4 2
x y y x z
x x y yz
x y xy yz x z

   


 


 

.
111. Giải HPT:
3 2
3 2
3 2
6 12 8 0
6 12 8 0
6 12 8 0
y x x
z y y
x z z

   

   


   

.
112. Giải HPT:
2
2
2

3 2 2
3 2 2
2 3 18
2 3 18
2 3 18
x x y y
y y z z
z z x x

   

   


   

.
115. Giải HPT:
2012
1 1
3 2 2 2
x y z
x y x y z

  




  

2
1
3
1
1
3
a
x a y a z a
a
a x a y a z
a


     





     





1
a

.
118. Giải HPT:


 




 




 



.
120. Giải HPT:
4
4
2
1
2
4
2
1
1
4
x y
x
x y

.
122. Giải HPT:
 
 
 
2
2
2
5
3
3
1
3
x y z
y z x
z x y

  



 



 



123. Giải HPT:


   


. Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
12

125. Tìm số
a
lớn nhất để PT:
4 3 2
0
x ax bx cx d
    



; ; ;a b c d 

có 4 nghiệm
1 2 3 4
; ; ;
x x x x
thỏa
2012 2012 2012 2012
2 2 2 2

2 2
2
1
5 5 3
1 1
2 3
2
x y
x
x y
x

    



 

  
 

 

.
129. Giải PT:
n n n n
a x a x b x b x
a x a x b x b x
   
  

3 1 8
u v
v t
t u

  

  


  

; , ,u v t



.
132. Giải PT:
6 6
5 5 12 0
x y y x x y xy
    
; ,x y



.
133. Giải HPT:
1 2 2 3
2012 2013 2013 1

x y y x
x y x y

   


   


.
135. Giải HPT:
2
1
2
2
1
2
2
3
2
2
2
1
2
2
1
2
1

2

136. Giải PT:
3 2
3
3 3 3 5 1 3
x x x x
    
.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
13

137. Giải HPT:
 
 
2 2
2
2
2 8
4 3
x y
z z x y
z y x

 


  


 



   
   
2 2
2 2
2 2
2 1 9
2 1 9
2 1 9
x y y y
y z z z
z x x x

  


  


  


.
142. Giải HPT:
 


3 3 3 2
2 2 2 2

145. Giải HPT:
    
2 2 2
3 1
3
2 3
9
x x y y z z
x y y z z x x y z



     



     


.
146. Tìm các bộ ba


; ;
x y z
nguyên dương sao cho:
2 2 2
2011
2011
x y

35
x y z
x y z
x y z
  


  


  

có một bộ nghiệm


; ;
x y z
thỏa
2 2 2
10
x y z
  
.
Hãy tính
5 5 5
x y z
 
.
149. Giải PT:
4 2 2 2 2 2 2

y z z
z 

   

   


 



.
151. Giải HPT:
   
4 2
3 6
2 3 6
1 . 2 . .
1024
4 16 8 16
1; 2; 0; 0
x y z t
x z y t x
x y z t

  


    


 

  

.
154. Tìm mọi cặp số thực


;
x y
thỏa hệ:
 
2
2
6 3 2 2 3
3 3
2
2
1
4
2
1 2
y y x xy x y
xy y
x x y
   

   


 


 

. Tìm nghiệm


; ; ;
x y z w
sao cho ; ; ;
0
x y z w

và
x
có giá trị bé nhất.
157. Tìm nghiệm nguyên dương của PT:




3 2 2 2 3 2 2 3
2 3 12 8 8 8 2 2 40 0
x y z x y yz z x y y z z y z
          
.
158. Tìm nghiệm nguyên dương của PT:
2012 2011 2
2011 4023 2012

x x
  
. Tính tổng
11 11 11
1 2 3
x x x
 
.
161. Giải HPT:
 
2012
1 2 3 4
2012
1,10
i i i i i
x x x x x
i
   

   





với
11 1 12 2 13 3 14 4
; ; ;
x x x x x x x x
   

1 2
x x x x x x        trên đoạn


1;
1
 .
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
15

164. Giải HPT:
1 1 2 2
1 2
1 2n n
n
n
x a
x a x a
b b b
x x x a

 

  





  

  


.
166. Giải HPT:
2 2
2 2
2 2
37
28
19
x xy y
x xz z
y yz z

  

  


  

.
167. Giải HPT:
2 2 2
13

.
169. Giải HPT:
 
 
2
3
xy x y z
xz x y z
yz x y z

  

  


   

.
170. Giải HPT:
2 2 2
50
60
4 5 20 0
x y z
xyz
xy x y

  



    


    


    


.
173. Giải HPT:
1 2
1 3
1
1
1 0
1 0

1 0
1 0
n n
n
x x
x x
x x
x x

 





   


   


   

.
175. Giải PT:




2
3
sin 2 sin sin 1 3 3sin
1 1
x x x x
     
.
176. Giải HPT:
   
2
17 3 5 3 14 4 0
2 2 5 3 3 2 11 6 13
x x y y
x y x y x x




 

 
 
.
Hãy tính


.
x y z
 .
178.(AIME 1984). Xác định
2 2 2 2
x y z t
  
biết


; ; ;
x y z t
là nghiệm của HPT sau:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2


   

   

.
179. Giải HPT:
   
   
   
   
   
2
1 2 3 2 4 5 2
2
2 3 4 3 5 1 3
2
3 4 5 4 1 2 4
2
4 5 1 5 2 3 5
2
5 1 2 1 3 4 1
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x

    




    


.
181. Giải PT:




2
2 1
2 2 1 2 2 2 2
x x x
x x

    
.
182. Tìm tất cả các cặp số nguyên


;
x y
thỏa mãn:
 
2
3 3
x y x y
   .

 
2
1 2 1 2
1 2 4
2
n n
x x n x n x x x

          .
188. Giải HPT:
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
4 1
4 1
4 1
4 1
4 1
y u v w x
x u v w y
x y v w u
x y u w v
x y u v w

    

    


2 2
2 2
7
2 1 2 1
2
7 6 14 0
x y xy
x y xy x y

  



     

.
191. Giải PT:
 
2
4
4
1
1 5 2
1
x x x
x x
     
 
.
192. Giải PT:

14
x y
x y
xy
x y
x x y y
x y


 





  



.
195. Giải HPT:
4 3 2 2 3 4
3 4
2 2 12 8 1 0
2 1
x x y x y xy y
x y y

     






     

.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
18

198. Giải HPT:
 
6 4
sin
sin
10 1 3 1
5
;
4
,
x y
x
e
y
x y
x y




.
201. Giải HPT:
 
  
3
2 2
2 3
2 2 9 4
4
0
y x
z y y y
x z x
z 

  


   

  


.
202. Giải HPT:
 
  
3
2 2
3 3 2

xy yz zx xyz

  

  


  

.
204. Giải HPT:




  
  
2
2
2
4
4
4
x y y z xy z
y z z x yz x
z x x y zx y

  



cos sin
2
cos
2
os
3
sin
3 2010
c x x x
x x c x x x x c x x

 
      
.
207. Giải HPT:
 
2
3
2 2 1 4
4 0
y x
z y y y
x z x
  


   


  

19

209. Giải PT:
2
1 1
1 1
3
2
1 1
ln 1 ln
1 1
x
x
x x x
x x
 
   
    
   
   
( với
0
x

).
210. Giải PT:
2
6 2
2012
6 2

   


.
212. Giải HPT:
   
2013 2012
2014
2 2
4 4 2
1
2
2
2014
z x y
x y xy z z
x y z
x y z
 

   


 


  


.

log log 2 log
9 4
2
log 2 log
x y
y y
z y
x z x

  



   




  


để tìm nghiệm


0 0 0
; ;
x y z
thỏa
0
0

2
3
4 2
4
6 4 2
2
1
3
1
4
1
x
y
x
y
z
y y
z
x
z z z








 


.
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
20

218. Tìm nghiệm nguyên dương của HPT:
1 2 3
1 2
2 3 4
2 3
2012 2013 1
2012 2013
2013 1 2
2013 1
2013
2013

2013
2013
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x

  


thỏa PT:
 
 
2
2
2 3 3
8 4
log log
0
2
a a
z y
xy x y xyz
 
   
.
220. Giải HPT:
 
 
2
2 2
2
3 2
9
2 6ln
9
2 1
y y
x y x xy y
x x

z
z


 





 





 


.
222. Giải HPT:
3 2 3
3 2 3
2 3
2 3 18
2 3 18
2 3 18
x x y y
y y z z
z z x x



.
225. Tìm nghiệm nguyên dương của PT sau:
   
3 2 2 3 2 2
2 2
3 3
3 1 4 3 1 4
8 16
2 2
x x x x x x x x
y z
 
       
 
   
 
 
 
với điều kiện: 2
10
y x
  

226. Giải HPT:
2 2 2 2 2 2
4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2
1
1 1 1

.
228. Giải HPT:
4 2
2 2
697
81
3 4 4 0
x y
x y xy x y

 



     

.
229. Giải HPT:
5 4 2
5 4 2
5 4 2
2 2
2 2
2 2
x x x y
y y y z
z z z x

  




   

.
231. Giải HPT:


 
2 2
2
2 2 1
2
3 9 2 2
3 2 29
x y
x y
y x
x y
 
 

  



  

.
232. Giải HPT:



 

.
234. Giải HPT:
     
 
2
2 2 2
3 3
2 2
3
log 2 1 log
4 4 2 1 3 4 2 1
log 2 4 4 1 1 2
x x y x x x y x y x xy
x x x

             



    

.
235. Giải HPT:





   


   

.
237. (Moscow). Giải HPT với n = 100
 
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 2 2 2 2 1
3 4 4 4 4 2
3 5 6 6 6 3

3 5 7 9 2 1
n
n
n
n
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x n x n

      

      




 


 



 


. Tìm giá trị của
25
x
.
239. (Moscow). Tìm tất cả các nghiệm dương của hệ:
2
1 2 3
2
2 3 4
2
3 4 5
2
4 5 1
2
5 1 2
x x x
x x x

52
480
135
x x x x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
      


 


 

 









.
241.(Moscow). Giải HPT:

 





 
 




.
242. (Hungari). Giải HPT:
2
2 2
24 25 73 25 35 0
2 2 7 0
x xy x y
x y x y

    


    


.
243. (Austria - Poland).Tìm bộ bốn số



1 2
; ; ;
n
x x x
thỏa PT:
     
2 2 2
2
1 1 2 1
1
1
1
n n n
x x x x x x
n

       

.
245. (IMO 1966). Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
n
và mọi số thực
x
sao cho


0 s 1;2
;
i

Giải hệ phương trình sau:
1 2 2 1 3 3 1 4 4
2 1 1 2 3 3 2 4 4
3 1 1 3 2 2 3 4 4
4 1 1 4 2 2 4 3 3
1
1
1
1
a a x a a x a a x
a a x a a x a a x
a a x a a x a a x
a a x a a x a a x

     

     


     


     

.
247. (IMO 1968). Cho hệ phương trình với các ẩn số
1 2
; ; ; :
n
x x x


trong đó
, ,
a b c
là những số thực và
0
a

. Chứng minh rằng:
a) Hệ không có nghiệm thực nếu
 
2
1 4 0
b ac
  
.
b) Hệ có nghiệm duy nhất nếu
 
2
1 4 0
b ac
  
.
c) Hệ có hơn một nghiệm thực nếu
 
2
1 4 0
b ac
  
.

 


 

 















249. (IMO 1976). Cho số nguyên dương
n
và
2
n m

. Với mọi
,
i j

n n nm m
a x a x a x
a x x x a x
a x a x a x

   

   




   


Chứng minh rằng hệ này có một nghiệm


1 2
; ; ;
m
x x x
sao cho các thành phần , 1
,
i
x i m
 là các số
nguyên không đồng thời bằng 0 và , 1
,
i


(ii). Tất cả các hệ số còn lại đều âm
(iii). Trong mỗi phương trình, tổng các hệ số là dương.
Chứng minh rằng: nghiệm
1 2 3
0
x x x
  
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ấy.
251. (IMO 1965). Tìm bốn số thực
1 2 3 4
; ; ;
x x x x
sao cho mỗi số cộng với tích các số còn lại đều bằng 2.
252. (IMO 1965). Tìm tất cả các giá trị 0;
2
x

 

 
sao cho: 1 sin2 12cos sin
2 2
xx x
    
.
253. (IMO 1963). Tìm tất cả các nghiệm


1 2 3 4 5

là tham số.
254. (USA 1995). Giả sử
, ,
a b c
là các số phức và các nghiệm
z
của phương trình
3 2
0
x ax bx c
   
thỏa
1
z

. Chứng minh rằng phương trình
3 2
0
x a x b x c
   
có ba
nghiệm
w
thỏa
1
w

.
255. (IMO 1963). Với những giá trị nào của
p


; ;
x y z
của hệ là dương và khác nhau?
257. (IMO 1961). Giải phương trình:
os sin
1
n n
c x x
 
với
n


.
258. Giải phương trình:
2 2 2 2 2 2
sin sin sin os os os
196 16 100 100 16 196
x x x c x c x c x
    
.
259. (IMO 1973). Cho phương trình:
4 3 2
1 0
x ax bx ax
    
có ít nhất một nghiệm thực, với
,
a b














.
261. (IMO Shortlist 2007). Giải hệ phương trình:




   
   
2 2
2 2
2 2
3 1 3
3 1 3
3 1 3
x y y y
y z z z
z x x x


; ; ;
x y u v
của hệ PT sau:
2 2
3 3
2
3
5
9
u v
ux vy
ux vy
ux vy

 

 


 


 

.
264. (Poland 1997). Giải hệ phương trình sau:


 

      
     
     
     

1 2
log log log
n
x x x
    .
266. (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu). Tìm tất cả các số thực
, ,
a b c
sao cho:
ax by cz bx cy az cx ay bz x y z
          
,
, ,
x y z
 

.
267. (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu). Tìm các số thực của hệ phương trình:
3 3 3
7 7 7
0
18
2058
x y z
x y z


269. (diendantoanhoc.net) . Giải phương trình:
 
   
  
 
4 3 2
2
2
3 9 17 11 8
1 3
3 4 5
x x x x
x x
x x

270. (diendantoanhoc.net). Giải hệ phương trình:
1 1 1 1
6 3 2x y z xyz
y z x xyz
     
      
     
     
.
271. (diendantoanhoc.net). Giải hệ phương trình:


 
2



1 1 2 1 1

1 . 0
1 1.2 1.2.3
!
n
x x x x x x x x n
x
x
n
     
      
.