Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
A - T VN
I. LI M U
Trong trng ph thụng, mụn Toỏn cú mt v trớ rt quan trng. Cỏc kin thc
v phng phỏp Toỏn hc l cụng c thit yu giỳp hc sinh hc tt cỏc mụn hc
khỏc, hot ng cú hiu qu trong mi lnh vc. ng thi mụn Toỏn cũn giỳp
hc sinh phỏt trin nhng nng lc v phm cht trớ tu , rốn luyn cho hc sinh
kh nng t duy tớch cc, c lp, sỏng to, giỏo dc cho hc sinh t tng o
c v thm m ca ngi cụng dõn.
trũng THCS, trong dy hc Toỏn, cựng vi vic hỡnh thnh cho hc sinh
mt h thng vng chc cỏc khỏi nim, cỏc nh lớ thỡ vic dy hc gii cỏc bi
toỏn cú tm quan trng c bit v l mt trong nhng vn trung tõm ca
phng phỏp dy hc Toỏn trng ph thụng. i vi hc sinh THCS, cú th
coi vic gii bi toỏn l mt hỡnh thc ch yu ca vic hc toỏn.
Cựng vi vic hỡnh thnh cho hc sinh mt h thng vng chc cỏc kin thc
c bn hc sinh cú th vn dng vo lm bi tp thỡ vic bi dng hc sinh
khỏ gii l mc tiờu quan trng ca ngnh giỏo dc núi chung v bc hc THCS
núi riờng. Do ú vic hng dn hc sinh k nng tỡm tũi sỏng to trong quỏ trỡnh
gii toỏn l rt cn thit v khụng th thiu c.
L mt giỏo viờn trc tip ging dy mụn toỏn trng THC, tụi i sõu
nghiờn cu ni dung chng trỡnh v qua thc t dy hc tụi thy: trong chng
trỡnh Toỏn THCS "Cỏc bi toỏn v cc tr trong i s" rt a dng, phong phỳ v
thỳ v, cú mt ý ngha rt quan trng i vi cỏc em hc sinh bc hc ny.
THPT gii quyt cỏc bi toỏn v cc tr i s ngi ta thng dựng n
"cụng c cao cp" ca toỏn hc l o hm ca hm s. THCS vỡ khụng cú
(hay núi chớnh xỏc hn l khụng c phộp dựng) "cụng c cao cp" ca Toỏn
hc núi trờn, nờn ngi ta phi bng cỏc cỏch gii thụng minh nht, tỡm ra cỏc
bin phỏp hu hiu v phự hp vi trỡnh kin thc bc hc THCS gii
quyt cỏc bi toỏn loi ny. Chớnh vỡ vy, cỏc bi toỏn cc tr i s THCS
khụng theo quy tc hoc khuụn mu no c, nú ũi hi ngi hc phi cú mt
cỏch suy ngh logic sỏng to, bit kt hp kin thc c vi kin thc mi mt

hin tng ni bt hc sinh tr li rừ rng mch lc nhng mang tớnh cht hc vt
chp hnh ỳng nguyờn bn, quỏ trỡnh dy kim tra vic thc hnh ng dng
ca hc sinh tụi a ra mt s vớ d thỡ hc sinh lỳng tỳng khụng bit chng
minh nh th no.
Trc thc trng trờn tụi ó iu tra hc sinh qua nhiu bin phỏp kt qu
cho thy.
Lp S s
Gii Khỏ TB Yu- kộm
SL % SL % Sl % SL %
8 49 02 06 31 10
Sau khi kim tra tụi thy rng hc sinh hiu v lm rt m h, mt s hc
sinh lm c ch nm vo mt s hc sinh khỏ- gii. S cũn li ch yu l hc
sinh TB, Yu, Kộm khụng bit gii thớch bi toỏn nh th no.
2. i vi giỏo viờn:
Thc trng ny khụng th li cho tt c hc sinh bi vỡ ngi giỏo viờn l
ngi ch ng, ch o kin thc, cng ch tuõn theo SGK m dy bi toỏn ny
ũi hi hc sinh phi t duy tt v phi thõu túm c kin thc ó hc tn
dng vo lm bi tp .
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 2 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
ụi khi giỏo viờn ỏp t gũ bú cỏc em phi th ny, phi th khỏc m khụng a
ra thc t cỏc em nhỡn nhn vn .

V phớa hc sinh cm thy khú tip thu bi vỡ õy l dng toỏn m cỏc em rt
ớt c gp chớnh vỡ lớ do ú m ngi thy phi tỡm ra phng phỏp phự hp
nht hc sinh cú hng hc, bc u hc sinh lm quen vi dng bi toỏn
Toỏn cc tr nờn cm thy m h phõn võn ti sao li phi lm nh vy. Nu
khụng bin i thỡ cú tỡm c kt qu khụng ? T nhng bn khon ú ca hc
sinh , giỏo viờn khng nh nu khụng bin i nh vy thỡ khụng tr li yờu cu

)

P(x, y, , z) thỡ ta núi
P(x, y, , z) ln nht hoc nh nht ti (x
0
, y
0
, z
0
) trờn min S.
P(x, y, , z) t giỏ tr ln nht ti (x
0
, y
0
, z
0
)

S cũn gi l P t cc i
ti (x
0
, y
0
, z
0
) hoc P
max
ti (x
0
, y

2. Nguyờn tc chung tỡm cc tr ca mt biu thc
Tỡm cc tr ca mt biu thc trờn mt min xỏc nh no ú l vn rng
v phc tp, nguyờn tc chung l:
* tỡm giỏ tr nh nht ca mt biu thc P(x, y, , z) trờn min xỏc nh S, ta
cn chng minh hai bc:
- Chng t rng P

k ( vi k l hng s ) vi mi giỏ tr ca cỏc bin trờn
min xỏc nh S
- Ch ra trng hp xy ra du ng thc.
* tỡm giỏ tr ln nht ca mt biu thc P(x, y, , z) trờn min xỏc nh S, ta
cn chng minh hai bc:
- Chng t rng P

k ( vi k l hng s ) vi mi giỏ tr ca cỏc bin trờn
min xỏc nh S
- Ch ra trng hp xy ra du ng thc.
(Chỳ ý rng khụng c thiu mt bc no trong hai bc trờn)
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 3 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
V D: Cho biu thc A = x
2
+ (x - 2)
2

Mt hc sinh tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A nh sau:
Ta cú x
2


- 4x + 4
= 2(x
2
-2x - +1) + 2 = 2(x - 1)
2
+ 2
Ta cú: (x - 1)
2


0

x


2(x - 1)
2
+ 2

2

x


A

2

x
Do ú A = 2

2k


0

a (k nguyờn dng)
Xy ra du ng thc

a = 0
*
0

a
(Xy ra du ng thc

a = 0)
* -
aaa

(Xy ra du ng thc

a = 0)
*
baba
++
(Xy ra du ng thc

ab

0)

a < 0
*
2
2 2
2 2
a b a b
ab
+ + ữ
a,b (Xy ra du ng thc

a = b)
* a

b, ab > 0


ba
11

(Xy ra du ng thc

a = b)
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 4 -

2
- 3
Vi mi giỏ tr ca x: (x - 2)
2


0 nờn ta cú:
A(x) = (x- 2)
2
- 3

- 3
Vy A(x) t giỏ tr nh nht bng -3 khi x=2
ỏp s: A(x)
nh nht
= - 3 vi x=2
Vớ d 2 : Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
B(x) = -5x
2
- 4x+1
Trong ú x l bin s ly giỏ tr thc bt k
Hng dn gii
Gi ý: tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc B(x) ta cn phi bin i a B(x) v
dng B(x)

k (k l hng s) vi mi giỏ tr ca bin khi ú giỏ tr ln nht ca
B(x) = k v ch ra khi no xy ra ng thc
Li gii: B(x) = -5x
2
4x+1













++
xx
=
1
25
4
5
2
5
2
+








2
2
+






+
x
Vi mi giỏ tr ca x:
2
5
2






+
x


0 nờn -5
2
5
2


9
Vy B(x) t giỏ tr ln nht khi B(x) =
5
9
khi x = -
5
2
ỏp s: B(x)
ln nht
=
5
9
vi x = -
5
2
Vớ d 3: (Tng quỏt)
Cho tam thc bc hai P = ax
2
+bx + c
Tỡm giỏ tr nh nht ca P nu a > 0
Tỡm giỏ tr ln nht ca P nu a < 0
Hng dn gii
Gi ý: tỡm giỏ tr nh nht (ln nht) ca P ta cn phi bin i sao cho P =
a.A
2
(x) + k. Sau ú xột vi tng trng hp a>0 hoc a<0 tỡm giỏ tr nh nht
hoc ln nht.
Li gii: P = a.A
2
(x) + k


++=

k
a
b
xa
+






+=
2
2
vi
2
2
4a
b
ck
=

V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 6 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
Do
0

0
2
b
a x
a

+
ữ

do ú P

k
Vy khi x = -
a
b
2
thỡ P cú giỏ tr nh nht bng k (nu a>0)
hoc giỏ tr ln nht bng k (nu a < 0)
dạNG 3: bàI TOáN TìM GIá TRị NHỏ NHấT, GIá TRị LớN NHấT CủA
ĐA THứC BậC CAO
Vớ d 4: Tỡm giỏ tr nh nht ca A = (x
2
+ x + 1)
2
Hng dn gii
(?) Ta nhn thy A = (x
2
+ x + 1)
2


1
+ 1 =
2
2
1






+x
+
4
3


4
3
Vy giỏ tr nh nht ca x
2
+ x + 1 bng
4
3
vi x = -
2
1
Vớ d 5: Tỡm giỏ tr nh nht ca x
4
6x

2

= (x
2
- 3x)
2
+ (x - 3)
2


0
Xy ra ng thc khi v ch khi:
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 7 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
x
2
3x = 0 x(x-3) = 0 x = 0
x = 3 x = 3
x 3 = 0 x 3 = 0 x = 3
Vy giỏ tr nh nht ca biu thc bng 0 vi x = 3
ỏp s: Giỏ tr nh nht ca biu thc bng 0 vi x = 3
DạNG 3: bàI TOáN TìM GIá TRị NHỏ NHấT, GIá TRị LớN NHấT CủA
ĐA THứC Có CHứA DấU GIá TRị TUYệT ĐốI
Vớ d 6: Tỡm giỏ tr nh nht ca A = / x 2/ + / x 5/
Hng dn gii
Gi ý: Bi toỏn cp ti du giỏ tr tuyt i do ú chỳng ta phi ngh ti cỏc
khong nghim v nh ngha giỏ tr tuyt i ca mt biu thc.
A nu A


A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7
Do x > 5 nờn 2x > 10 do ú A = 2x 7 > 3
So sỏnh cỏc giỏ tr ca A trong cỏc khong trờn, ta thy giỏ tr nh nht ca A
bng 3 khi v ch khi 2

x

5
ỏp s: A
min
= 3 khi v ch khi 2

x

5
Cỏch 2: Ta cú th s dng tớnh cht: giỏ tr tuyt i ca mt tng nh hn
hoc bng tng cỏc giỏ tr tuyt i.T ú tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A.
Li gii: A = / x 2 / +
5

x
= / x - 2 / +
x

5

Ta cú: / x 2 / + / 5 x /

/ x - 2 + 5 x / = 3
x - 2



ba
11

hoc theo quy tc so sỏnh
hai phõn s cựng t, t v mu u dng.
Li gii:
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 9 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
Xột M =
5 4x - 4x
3
2
+
=
414)2(
3
2
++ xx
=
4 1)-(2x
3
2
+
Ta thy (2x - 1)
2



1
2
Hng dn gii:
Ta cú: B =
4 - x-2x
1
2
= -
4 2x - x
1
2
+
= -
3 1) -(x
1
2
+
Vỡ (x - 1)
2


0 => (x + 1)
2
+ 3

3
=>
3 1) -(x
1
2

3
1
2
x
Mu thc x
2
- 3 cú giỏ tr nh nht l -3 khi x = 0
Nhng vi x = 0 thỡ
3
1
2
x
= -
3
1
khụng phi l giỏ tr ln nht ca phõn
thc
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 10 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
Chng hn vi x = 2 thỡ
3
1
2
x
= 1 > -
3
1
Nh vy t -3 < 1 khụng th suy ra -
3

Li gii: Ta cú: x
2
+ x + 1 = (x
2
+ 2x + 1) - (x +1) + 1
= (x + 1)
2
- (x + 1) + 1
Do ú : A =

+
+
2
2
)1(
)1(
x
x
+
+
+
2
)1(
)1(
x
x
2
)1(
1
+x

=
2
2
1






y
+
4
3



4
3
Vy giỏ tr nh nht ca A bng
4
3
khi v ch khi:
1 1 1 1
0
2 2 1 2
y y
x
= = =
+

2
22
)1(4
)1()1(3
+
++
=
x
xx
A
2
2
)1(4
)1(
4
3
+

+=
x
x
A
2
)1(2
1
4
3




Vy giỏ tr nh nht ca A bng
4
3
khi x-1=0

x=1
ỏp s: A
nhnht
=
4
3
khi x=1
DạNG 6: BàI TOáN TìM GIá TRị NHỏ NHấT, GIá TRị LớN NHấT CủA MộT BIểU
THứC ĐạI Số BằNG CáCH ĐƯA Về DạNG
2
)(
k
xA

0 HOặC
2
)(
k
xA


0
Vớ d 10: Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: M
(x)
=

xx
xx
=
32
1)32(3
2
2
++
+++
xx
xx
(?) Ta cú th chia c t thc v mu thc ca biu thc cho x
2
+ 2x + 3 c
khụng? Vỡ sao?
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 12 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số
Tr li: Vỡ x
2
+ 2x + 3 = x
2
+ 2x + 1 + 2 = (x+1)
2
+ 2 > 0 vi mi giỏ tr ca x.
nờn cú th chia c t v mu cho x
2
+ 2x + 3 ta c : M(x) = 3 +
2)1(
1



2
1

T ú ta cú: M(x) = 3 +
2)1(
1
2
++x


3 +
2
1
= 3
2
1
Du = xy ra khi x+ 1=0 hay x= -1
Vy giỏ tr ln nht ca M(x) = 3
2
1
khi v ch khi x=-1
ỏp s: M(x)
Ln nht
=3
2
1
vi x = -1
C. KT LUN

Vi ti Hng dn hc sinh lp 8 gii cỏc bi toỏn cc tr trong i
s Tụi ó c gng h thng mt s dng c bn nht v cỏc bi toỏn cc tr
trong i s 8. Trong mi gi dy tụi cú a ra c s lớ thuyt v nhng vớ d ,
trong mi vớ d ú cú gi ý v hng dn hc sinh cỏch gii v nhng chỳ ý cn
thit khi gp cỏc vớ d khỏc cỏc em cú th gii c.

Cỏc dng bi tp a ra t d n khú, t n gin n phc tp nhm giỳp
cho hc sinh cú nhng kin thc c bn v gii bi toỏn cc tr trong i s 8.
Bờn cnh ú tụi cũn a ra cỏc vớ d l cỏc bi toỏn tng hp cỏc kin thc v k
nng tớnh toỏn, kh nng t duy cp hc ny, qua ú lm cho cỏc em say mờ
hng thỳ hc tp b mụn Toỏn.
Tuy nhiờn trong quỏ trỡnh ging dy vn cú rt nhiu hc sinh cũn b ng
trong quỏ trỡnh gii cỏc bi toỏn cc tr, lp lun cha cú cn c, suy din cha
hp logic v c bit l mt s dng cha phự hp vi hc sinh trung bỡnh, yu.

Mc dự cú rt nhiu c gng nhng do thi gian khụng nhiu, do trỡnh
nng lc ca bn thõn v ti liu tham kho cũn hn ch li cha cú kinh nghim
trong lnh vc nghiờn cu khoa hc nờn trong cỏch trỡnh by khụng trỏnh khi
nhng s xut thiu sút . Rt mong nhn c s giỳp , gúp ý ca cỏc thy , cụ
v v bn ng nghip tụi cú th rỳt kinh nghim trong quỏ trỡnh ging dy
ca mỡnh trong thi gian sau.
V ũ T h ị T h ù y - T H C S T h ụ y H ả i
- 14 -
Rèn học sinh kĩ năng giải các bài toán cực trị trong đại số Thy Hi, ngy 14 thỏng 11 nm 2012
XáC NHậN CủA NHà TRƯờNG NGƯờI VIếT

V Th Thu