Đề cương ôn tập
phương pháp dạy học toán
Câu 1: Anh (chị) phân tích một số chú ý trong dạy học định nghĩa và tính chất của
nguyên hàm, trong dạy học Đại số và giải tích lớp 11 ở trường THPT?
Trả lời
- Khái niệm nguyên hàm có liên quan chặt chẽ với khái niệm đạo hàm. Vì vậy trước
khi nêu định nghĩa nguyên hàm, nên cho học sinh hiểu rõ vấn đề đặt ra bằng cách cùng
họ giải quyết một số bài toán cụ thể, chẳng hạn như bài toán viết phương trình của một số
chuyển động biết vận tốc của chuyển động đó, bài toán tìm hàm số F(x) có đạo hàm f(x),
trong đó f(x) là một hàm đơn giản.
- Khi giải các bài toán nói trên cần cho học sinh nhận xét là các hàm số phải tìm được
xác định sai khác một hằng số.
Ví dụ: Tìm hàm số F(x) có đạo hàm là hàm số f(x) = cos x
F(x) = sin x + C
 Khái niệm nguyên hàm: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Ta nói
rằng hàm số F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu F(x) có đạo hàm
trên khoảng (a;b) và với mọi điểm x
∈
(a;b) ta có F’(x) = f(x).

Chú ý:
- Khái niệm nguyên hàm và khái niệm đạo hàm là 2 khái niệm ngược nhau.
- 1 hàm F(x) chỉ có thể là nguyên hàm của hàm f(x) nếu F(x) khả đạo hàm và do đó
liên tục. Nếu F(x) không liên tục trên khoảng (a;b) thì nó không thể là nguyên hàm của 1
hàm f nào đó trên khoảng này được.
- Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x)/(a;b) thì mọi hàm số có dạng F(x) + C (1) cùng là
nguyên hàm của f(x)/(a;b).
- Không khẳng định trước rằng hàm số đã cho có nguyên hàm hay không và nếu có
thì có bao nhiêu nguyên hàm.
- Nếu F(x) và G(x) là 2 nguyên hàm của f(x)/(a;b) và g(x)/(a;b) thì F(x) và G(x) có
dạng (1).

Đạo hàm Nguyên hàm
(a.F(x))’ = a.F(x)
(*)
af ( ) ( )x dx a f x dx=
∫ ∫
[(F(x)
±
G(x)]’ = F’(x)
±
G’(x)
(**)
[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = +
∫ ∫ ∫

Phương pháp đưa về các nguyên hàm cơ bản:
- Để tính
( )f x dx
∫
, ta phân tích f(x) dưới dấu tích phân thành 1 tổng những hàm số
rùi sử dụng nhưng công thức tích phân cơ bản. Khi đó cần chú ý đến 2 CT (*) và (**).
- Chú ý một số điểm:
+ nếu gặp phân số dạng
1
n
x
thì đưa về dạng
n
x
−
.

+ = + + = + +
∫ ∫

Phương pháp đổi biến số.
- Cơ sở của phương pháp này là định lý 1 trong sgk: Cho hàm f(x) liên tục trên [a;b]
có nguyên hàm là
( ) ( )f x dx G x C= +
∫
. Giả sử u(x) là 1 hàm số có đạo hàm liên tục trên
[a;b] và có miền giá trị là [a;b] thì:
[ ( )] ( ) [ ( )] ( )g u x u x dx G u x C g x dx= + =
∫ ∫
- Ý nghĩa: trong khi thực hành muốn tính
( )f x dx
∫
mà không thể tính được một cách
trực tiếp. Lúc đó ta tìm cách đổi biến số nghĩa là đi tìm 1 hàm g nào đó mà ta có thể tính
được tích phân và hàm u(x) sao cho: g[u(x)]u(x) = f(x).
Khi đổi biến số ta nhận được 1 hàm mới, nói chung vừa đơn giản vừa tính được.
- Chú ý:
+ phép đổi biến số đặt t = u(x) hay x =
( )t
ϕ
nói chung không có nguyên tắc, do
đó đòi hỏi phải biết lựa chọn hàm số u(x) hay
( )t
ϕ
. Ở phần này ít dùng đổi biến x =
( )t
ϕ

Hoạt động tạo động cơ:
1.Tăng cường hoạt động của HS.
Hoạt động này có mục đích làm cho HS ý thức về vai trò, ý nghĩa và tầm quan trọng
của đối tượng kiến thức sắp được giảng dạy, về tính cần thiết nghiên cứu nó, từ đó có nhu
cầu, hứng thú học tập.
VD: khi dạy chương trình giới hạn, nếu giáo viên tổ chức cho HS tranh luận về
nghịch lý 1 = 0 ở đầu chương thì đó cũng là hoạt động tạo động cơ cho việc đưa vào khái
niệm giới hạn nói riêng và dạy học giải tích nói chung.

Hoạt động khám phá kiến thức mới.
Đây là hoạt động đặc trưng của PPDH tích cực. Hoạt động qua đó HS tự mình khám
phá ra kiến thức mới. Như vậy, kiến thức này xuất hiện như là kết quả hoạt động giải
quyết vấn đề.
Có 2 trường hợp khám phá sau đây được tính đến.
- HĐ khám phá toàn phần: sau khi giải quyết xong vấn đề đặt ra trong HĐ này HS sẽ
tự khám phá ra gần như trọn vẹn đối tượng kiến thức mới mà ta đang nhằm tới. HĐ khám
phá toàn phần là kiểu hoạt động lý tưởng cho phép HS lĩnh hội kiến thức 1 cách chủ
động, sáng tạo. Tuy nhiên, nó thường phức tạp và đòi hỏi nhiều thời gian và công sức của
GV và HS.
- HĐ khám phá bộ phận: dạng HĐ này không cho phép HS khám phá toàn bộ kiến
thức mới cần giảng dạy, mà chỉ một phần của kiến thức này, hay một kiến thức có tính
“địa phương”, kiến thức bộ phận này là điểm tựa cho việc đề cập một khái niệm theo con
đường quy nạp (chẳng hạn HĐ
1
∆
về hàm số liên tục tại 1 điểm) hay cho việc trình bày 1
phỏng đoán, 1 định lý, 1 công thức, HĐ
3
∆
về tính chất các số hạng của cấp số nhân).

- Mặt khác, nhiều hoạt động cho những gợi ý để GV tạo ra những tình huống gợi vấn
đề phải mấu chốt nhất (trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề).
3.Giảm nhẹ lý thuyết trừu tượng. Coi trọng vai trò trực giác và coi trọng rèn luyện
khả năng quan sát dự đoán.
- Ngoài những nội dung bị loại bỏ theo quy định, sgk còn loại bỏ thêm 1 số nội dụng
khác không có tác dụng thiết thực. Giảm bớt nhiều chứng mình phức tạp, nhiều định lý,
công thức, quy tắc được rút ra nhờ khái quát hóa từ các vd cụ thể hoặc qua ghi nhận trực
giác sau đó được chứng minh thừa nhận; nhiều khái niệm được đưa vào theo con đường
quy nạp, hạn chế các bài toán chưa tham số quá phức tạp.
- Trước đây, chương trình chỉ nhấn mạnh về tư duy logic, tư duy trừu tượng, trí tưởng
tượng không gian. Hiện nay, HS được rèn luyện khả năng thực nghiệm (quan sát, dự
đoán, kiểm chứng). Từ đó HS dễ dàng cho việc lĩnh hội kiến thức.
4.Coi trọng tính thực tiễn và quan điểm liên môn.
- Các nội dung,bài toán không còn thuần túy toán học, một số có nguồn gốc từ môn
học khác: vật lý, hóa học, đời sống thực tế…
- Để thực hiện tốt quan điểm thực tiễn, trong giảng dạy cần nêu nhiều ví dụ, nhiều bài
toán thực tiễn.
5.Tạo thuận lợi cho việc sử dụng thiết bị dạy học và ứng dụng công nghệ thông tin.
- Một trong những phương pháp tiến hành giảng dạy bằng quy nạp, bằng cách sử
dụng trực giác là sử dụng các thiết bị dạy học như bảng biểu, sơ đồ, các phần mềm dạy
học.
- Cần tạo nên và sử dụng tốt các thiết bị dạy học để giảng dạy khái niệm giới hạn, sự
biến thiên và đồ thị các hàm số.
Câu 4: Phân tích một số chú ý về góp phần đổi mới phương pháp soạn giáo án trong
dạy học nội dung, chương trình ĐS và GT 11 ở trường THPT?
Trả lời
Trong soạn giáo án phải thực hiện yêu cầu.
Tạo điều kiện tốt nhất, hiệu quả nhất để HS tự khám phá kiến thức, tự giải quyết các
vấn đề, các bài toán đặt ra. Muốn vậy, phải thực hiện một số chú ý sau:
- Chuẩn bị trước khi lên lớp các bước tiến hành giải quyết vấn đề nêu ra trong hoạt

VD2: Ta đã biết, để chứng minh
1
lim 0
x
n
→∞
=
một cách chính xác người ta làm như
sau:
Cho
ε
> 0 là một số cho trước nhỏ tùy ý.
Để cho
1 1
n
n
ε
ε
< ⇔ <
(*)
Ta chọn
1
[ ]N
ε
=
. Khi đó
n N
∀ >
ta sẽ có
1

11 ở trường THPT?
Trả lời
1.Nhận xét về định nghĩa vec tơ trong sgk.
- Để phù hợp với trình độ tiếp thu của HS, các tác giả không thể định nghĩa không
gian vec tơ bằng phương pháp tiên đề vì định nghĩa này khá trừu tượng.
- Trong định nghĩa không đề cập đến không gian véc tơ mà chỉ nói tới vec tơ và các
phép toán trên véc tơ.
- Sgk đưa ra định nghĩa “vec tơ là 1 đường thẳng có định hướng”, định nghĩa này có
tính chất trực quan dễ hiểu mà không đưa ra định nghĩa toán học của khái niệm vec tơ mà
chỉ mô tả hình biểu diễn của khái niệm véc tơ. Định nghĩa này chưa đảm bảo tính khoa
học nhưng cách trình bày gắn liền với thực tế giúp học sinh dễ hình dung và vận dụng.
- Nội dung tiếp theo sgk đưa ra là: các định nghĩa khác nhau có liên quan đến véc tơ
như gốc, ngọn, chiều, phương… và xây dựng các phép toán về véc tơ, đồng thời nêu lên
các tính chất của các phép toán đó.
KL: Cách làm trên là tác giả đã nêu 1 mô hình về không gian véc tơ và chứng minh
nó thỏa mãn 8 tiên đề về không gian véc tơ. Đây chính là mô hình vật lý của không gian
véc tơ và dùng để biểu thị các đại lượng có hướng trong khi học vật lý nhằm đáp ứng yêu
cầu gắn toán học với thực tế.
2.Khái niệm phương và hướng của véc tơ.
- Không được định nghĩa mà mô tả tính cùng hướng cùng phương dựa vào trực giác.
Vì vậy, trong giảng dạy thường tránh câu hỏi khi nào thì “2 véc tơ cùng phương, hướng,
có thể chĩnh xác hóa khái niệm cùng hướng như sau.
Hai điểm B,D nằm về cùng 1 hướng với đường thẳng AC hoặc 1 trong 2 tia AB, CD
(gốc A hoặc gốc C) chứa tia kia
Định nghĩa không nhất thiết phải trình bày 1 cách tường minh mà chỉ mô tả dựa vào
trực quan của HS.
3.Định nghĩa 2 véc tơ bằng nhau dựa vào độ dài và hướng.
Là 1 cách làm tự nhiên, dễ hiểu đối với HS và có thể cảm nhận được bằng trực giác.
Với các định nghĩa này thì quan hệ bằng nhau là 1 quan hệ tương đương. Nghĩa là
i)

r
).
Được định nghĩa rõ ràng: là véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Việc quy
ước
0
r
cùng phương, cùng hướng với mọi véc tơ là cần thiết và hợp lý.
5.Sử dụng khái niệm véc tơ tự do và véc tơ buộc 1 cách ẩn tàng.
- Cho véc tơ
a
r
là hiểu cho 1 tập hợp các véc tơ =
a
r
. Vec tơ quan niệm như thế chính
là véc tơ tự do.
- Từ 1 điểm A xác định dựng
AB a=
uuur r
thì
AB
uuur
gọi là véc tơ buộc (xác định hướng độ
dài, vị trí điểm đầu).
- Véc tơ trượt là véc tơ di chuyển trên giá được sử dụng khi học vật lý, khi xây dựng
phương pháp véc tơ trong toán học thì không cần thiết.
- Khi trình bày các khái niệm liên quan đến véc tơ, các phép toán trên véc tơ vận dụng
véc tơ để chứng minh các hệ thức lượng ngầm thể hiện véc tơ theo nghĩa véc tơ tự do.
6.Không gian véc tơ được trình bày gắn liền với không gian vật lý nhằm đảm bảo tính
liên môn.

thì
1 2
sin sin x x<
. Chuyển sang mặt phẳng tọa độ ta được điểm ( x
1
, sin x
1
); (x
2
, sin x
2
) trên
đồ thị.
- Khi chuyển sang
[ ; ]
2
π
π
lấy hai điểm x
3
, x
4
bất kỳ thuộc đoạn này mà x
3
< x
4
. Tuy
nhiên, khi đó chuyển sang mặt phẳng tọa độ hình vẽ sẽ không nổi, hơn nữa không làm
nổi bật tính đối xứng của đồ thị hàm số qua điểm
2

].
- Từ đồ thị hàm số y = sin x trên [0,
π
] ta đã sử dụng tính chất hàm số lẻ để thu được
đồ thị trên
[ ,0]
π
−
.
- Dùng phép tịnh tiễn (do tính tuần hoàn của hàm số) để thu được đồ thị của hàm số
sin xy =
trên R.
- Đối với hàm số y = cos x tác giả sgk đã sử dụng hệ thức cos x = sin(x +
2
π
) để thu
được đồ thị hàm số y = cos x rồi ta mới căn cứ vào đồ thị để xét sự biến thiên.
Như vậy, quá trình khảo sát làm ngược với cách làm thông thường nhưng rất tiết kiệm
và trực quan. Hơn nữa, qua cách làm này ta thấy mối liên hệ giữa đồ thị của hai hàm số
sin xy =
và y = cos x.
- Đối với hàm số y = tan x và y = cot x ta cũng xét tương tự hàm số y = sin x (dựa
trên đường tròn lượng giác).
- Vì chưa có khái niệm giới hạn, chưa có khái niệm tiệm cận, nên việc vẽ đồ thị
các hàm số này có tính trực quan, không chính xác. Ta chỉ nêu được tính chất
đồng biến, dạng đồ thị của chúng.
Câu 7: Phân tích mục đích yêu cầu về kĩ năng và phương pháp dạy học trong
dạy học các phép biến hình ở lớp 11 THPT?
Trả lời.


2
,b∆
) =
2
α
.
+ đường thẳng b là ảnh của đường thẳng a qua phép quay tâm O góc
α
.
Đường thẳng b là ảnh của a qua phép đối xứng trục
2
∆
và
1 2
( , ) ( , ) ( )
2 2
a b
π α
∆ = ∆ = −
- Khi giải các bài toán quỹ tích giáo viên cần tổng kết về mặt phương pháp cho
HS hoặc cho HS nhận thức như sau: Để tìm quỹ tích các điểm M có tính chất
α
:
(M(
α
)) ta lập liên hệ M(
α
) với điểm M
1
(

AM + MB nhỏ nhất
khi dấu bằng xảy ra
⇔
M
≡
M’ là giao điểm của
AB với đường thẳng d.
+ khi 2 điểm A, B cùng phía với d, để tìm
điểm M: AM + BM có giá trị nhỏ nhất, ta thay AM bằng A’M. Trong đó A’ là ảnh
của A qua phép đối xứng có trục là đường thẳng d.
Khi đó:
MA + MB = MA’ + MB
≥
A’B và A’M +
BM nhỏ nhất khi M
∈
A’B.
Câu 8: Phân tích yêu cầu về kỹ năng và một số chú ý quan trong dạy học phép
dời hình và phép đồng dạng ở lớp 11 THPT?
Trả lời.

Các kỹ năng cơ bản:
- Nắm vững định nghĩa các phép biến hình và biết tìm ảnh, tạo ảnh của điểm
qua 1 phép biến hình.
- Nắm được tính chất cơ bản của phép dời hình để làm toán.
- Biết sử dụng các biểu thức tọa độ để xác định tọa độ của ảnh khi biết tọa độ
của tạo ảnh.
- Biết nhận ra các hình có trục đối xứng, tâm đối xứng trong thực tế.
- Biết vận dụng các phép biến hình để giải 1 số bài toán đơn giản.
- Hiểu được định nghĩa 2 hình bằng nhau và 2 hình đồng dạng với nhau thông

có các cạnh tương ứng bằng nhau (tức là có độ dài bằng nhau) và các góc tương
ứng bằng nhau (có số đo góc bằng nhau)”. Câu hỏi đặt ra là khái niệm đó có thống
nhất với khái niệm bằng nhau 1 cách tổng quát hay không? Vì vậy phải có định lý
khẳng định “Nếu 2 tam giác có 3 cạnh bằng nhau thì có phép dời hình biến tam
giác này thành tam giác kia”.
Tương tự ở lớp 9 HS đã biết “2 tam giác đồng dạng với nhau khi có các cạnh
tương ứng tỉ lệ”. Ta có định nghĩa tổng quát “2 hình gọi là đồng dạng với nhau
nếu có 1 phép đồng dạng biến hình này thành hình kia” thì ta phải chứng minh
được rằng: “nếu tam giác có các cạnh tương ứng tỉ lệ thì có phép đồng dạng biến
tam giác này thành tam giác kia”.
- Về kiến thức tọa độ, các kiến thức đó đưa vào chủ yếu là vì có thể dùng sgk
về đại số, vì vậy không nên khai thác nhiều bài tập về vấn đề này.
- Các ứng dụng của phép biến hình, có 2 loại bài toán thường gặp đó là bài
toán quỹ tích và bài toán dựng hình.
+ về bài toán quỹ tích: để tìm quỹ tích của điểm M thỏa mãn tính chất (
α
)
ta có thể làm như sau: xác định 1 phép biến hình f sao cho điểm M có tính chất (
α
)
⇔
M là ảnh của N qua phép f. Khi đó nếu quỹ tích của N là hình H thì quỹ tích
của M sẽ là f(H).
+ về bài toán dựng hình: sgk không dùng từ “dựng hình” mà thay vào đó là
các từ “xác định 1 hình” hay “tìm 1 hình”. Bài toán thường quy về tìm các điểm,
có thể phát biểu dưới dạng: “Tìm điểm M thỏa mãn 2 điều kiện (
1
α
) và (
2

Khi dạy khái niệm biến hình hiểu phép biến hình trên mặt phẳng là 1 ánh xạ từ
mặt phẳng vào chính mặt phẳng đó, tức là với mỗi điểm M của mặt phẳng thì có 1
điểm M’ hoàn toàn xác định. Như vậy, phép biến hình không liên quan gì đến
phép chuyển động của mỗi điểm M trên mặt phẳng đến trùng với điểm M’.
PPDH chương này nên tổ chức cho học sinh trao đổi, thào luận trả lời các câu
hỏi và làm 1 số bài tập đơn giản như sgk đã nêu, các bài tập trong chương chỉ nên
là những bài tập nhận biết, vận dụng đơn giản.
Câu 9: Anh (chị) phân tích mục đích yêu cầu của việc dạy học hình học không
gian ở trường THPT?
Trả lời.

Về kiến thức:
Trang bị cho HS một số cơ sở khoa học để hiểu rõ các khái niệm ban đầu:
điểm, đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ thuộc với các tiên đề.

Về kỹ năng: rèn luyện cho HS các kỹ năng.
- Xác định hình, kỹ năng giải các dạng toán về sự tương giao giữa các hình.
- Kỹ năng chứng minh trong quan hệ song song, quan hệ vuông góc.
- Kỹ năng tính khoảng cách và góc giữa các yếu tố.
- Kỹ năng tính diện tích xung quanh và tính thể tích các hình không gian.

Về phương pháp.
- Chú trọng việc khai thác các phương pháp khác nhau trong giải toán các dạng
toán hình không gian bằng con đường tổng hợp.
- Bồi dưỡng cho HS năng lực thiết lập mối liên hệ giữa các kiến thức hình học
không gian và hình học phẳng đã được học.
Đó là các năng lực sau:
+ năng lực tách các bộ phận phẳng cần nghiên cứu khỏi hình không gian để
chuyển về các bài toán quen thuộc.
+ năng lực chuyển các bài toán không gian về các bài toán phẳng quen

∆
ABG và
∆
MKN suy ra BK = KG = GN, từ đó suy ra GN =
1
2
GB.
- Phát triển tư duy và phẩm chất trí tuệ cho HS nhằm đạt mục đích:
+ rèn luyện năng lực chứng minh suy diễn, khả năng lập luận có căn cứ.
+ bồi dưỡng năng lực chứng minh phản chứng, năng lực tách các trường
hợp riêng.
+ chú trọng phát triển các biểu tượng không gian, các quan hệ giữa các yếu
tố của hình không gian từ hình biểu diễn và ngược lại.
VD: Yêu cầu HS biết lập luận giải thích tại sao các hình biểu diễn sau đây
đều là hình biểu diễn của 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian?
(H1) mô tả 1 dạng hình biểu diễn của 2 đường thẳng chéo nhau a, b lên một
mặt phẳng có phương chiếu không song song với nhau, a trùng với b hoặc a // b và
không song song hoặc thuộc cặp mặt phẳng lần lượt chứa a, b và // với nhau.
(H3) biểu diễn 2 đường thẳng chéo nhau qua phép chiếu song song có phương
chiếu song song hoặc trùng với các đường thẳng a, b và song song hoặc thuộc cặp
mặt phẳng song song lần lượt chứa a, b.
Qua ví dụ trên ta lưu ý biểu diễn hình đúng theo các tính chất của phép chiếu
song song (các bất biến) kết hợp với yêu cầu chọn hình hình biểu diễn trực quan
(chọn hình 1).
Câu 10: Anh (chị) phân tích một số chú ý trong dạy học “Khái niệm mặt
phẳng” trong dạy học hình học không gian ở lớp 11 THPT?
Trả lời.

Con đường hình thành: thuyết trình.
Là khái niệm trừu tượng dạy học bằng con đường thuyết trình và mô tả trực

Câu 11: Anh (chị) phân tích mục đích, yêu cầu của việc dạy học chủ đề quan
hệ song song trong không gian, trong dạy học hình học lớp 11 ở trường THPT?
Trả lời.
1. Về kiến thức.
- Củng cố cho học sinh các khái niệm về đường thẳng //, đường thẳng // với
mặt phẳng, mặt phẳng // và các dấu hiệu nhận biết chúng.
- Củng cố các kiến thức về vị trí tương đối giữa các yếu tố đường thẳng, mặt
phẳng trong không gian.
- Phép chiếu song song, hình biểu diễn các hình không gian.
2. Về kĩ năng.
- Kĩ năng chứng minh 2 đường thẳng // trong không gian, 2 mặt phẳng // trong
không gian, đường thẳng // với mặt phẳng.
- Chứng minh 4 đường thẳng cùng thuộc 1 mặt phẳng.
- Xác định 1 thiết diện của 1 hình đa diện nhờ sử dụng các định lý quan hệ
song song.
3. Phát triển năng lực trí tuệ.
- Giúp học sinh giải thích từng bước lập luận trong chứng minh suy diễn, trong
chứng minh bằng phản chứng và biết cơ sở lập luận tách các trường hợp riêng.
- Tìm cách chứng minh khác với cách chứng minh trong sgk của các định lý.
- Chú ý trong các khả năng phân tích, tổng hợp, tìm tòi các cách giải khác cho
1 dạng toán.
VD: Để chứng minh đường thẳng a // b trong không gian thì ta có thể vận
dụng các cách sau:
C1: chứng mình a, b cùng thuộc mặt phẳng (P) sau đó sử dụng kiến thức của
hình học phẳng để chứng minh a // b.
C2:
/ /
/ /
/ /
a b

1.2. nêu mối quan hệ giữa các cặp đường
thẳng (AB, AD); (BA, BC); (CB,CD) với
(A’B’C’D’).
1.3. từ 2 hoạt động trên phát biểu điều kiện để
mặt phẳng (ABCD) // (A’B’C’D’).
HĐ 2: Cắt hình lập phương
thành 2 hình bẳng nhau như sau:
2.1. nêu mối quan hệ giữa
(ABC) với (A’B’C’); giữa (ACD)
với (A’C’D’).
2.2. nêu mối quan hệ giữa các
cặp đường thẳng (BA,BC) với
(A’B’C’); (DA, DC) với (A’B’C’).
2.3. Phát biểu điều kiện để mặt
phẳng (
α
) // (
β
).
HĐ 3: Hướng dẫn HS chứng
minh định lý.
HĐ 4: Củng cố định lý. Phát biểu định lý bằng các phát biểu tương đương khác
nhau. Chú ý đến việc nhận dạng, thể hiện định lý có thể sử dụng các mô hình hình
chóp, hình lập phương, khai thác các ứng dụng của định lý vận dụng vào giải các
dạng toán nào.
Câu 12: Anh (chị) phân tích mục đích, yêu cầu của việc dạy học chủ đề quan
hệ vuông góc trong không gian, trong dạy học hình học lớp 11 ở trường THPT?
Trả lời.
1. Về kiến thức.
- Truyền thụ chính xác các khái niệm.

minh.
+ a vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
+ chứng minh a là giao tuyến của 2 mp vuông góc với (P).
+ chứng minh a // b; b vuông góc (P)  a
⊥
(P).
Áp dụng: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’. Chứng minh AC’
⊥
(BDA’)
Chứng minh:
C1: chứng minh AC’ vuông góc với 2
đường thẳng cắt nhau trong (BDA’)
'
' '
AC BD
AC BA
⊥


⊥

C2: (ACC’A’)
⊥
(BDA’)
 Chú ý: chú trọng bồi dưỡng cho học sinh
lập luận chứn minh có căn cứ, chú trọng các suy diễn có logic. Chứng minh bằng
phương pháp phản chứng. Quan tâm, rèn luyện học sinh biết phân chia trường
hợp.
VD: trong mặt phẳng 2 đường thẳng vuông góc với 1 đường thẳng thứ 3 thì
2 đường thẳng đó song song. Mệnh đề trên tương tự với 2 mặt phẳng cùng vuông

uuur
uuuv
M là trung điểm của AB
0MA MB+ =
uuur uuur r
G là trọng tâm của
∆
ABC
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
2. Phân tích 1 véc tơ thành tổ hợp véc tơ: kiến thức cơ sở phân tích 1 véc tơ
thành tổng, hiệu 2 véc tơ.
VD: Cho
∆
ABC, G là trọng tâm
∆
ABC. Chứng minh rằng với điểm C bất
kì ta luôn có
1
( )
3
OG OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
.
Phân tích: Từ véc tơ
OG
uuur
để xuất hiện véc tơ có điểm cuối là A, B, C ta dùng
quy tắc tam giác để xen các đỉnh A, B, C vào. Khi đó ta có phép phân tích véc tơ
sau đây

MA BC MA MC MB MA MC MA MB
MB CA MB MA MC MB MA MB MC
MC AB MC MB MA MC MB MC MA
= − = −
= − = −
= − = −
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
Cộng các vế, lập luận có điều phải chứng minh.

Trong hình học không gian nhiều khi việc phân tích 1 véc tơ thành 1 tổ hợp
véc tơ được tiến hành theo 2 bước.
- Chọn 3 véc tơ không đồng phẳng (cơ sở của không gian).
- Phân tích những véc tơ theo 3 véc tơ không đồng phẳng đã chọn. VD.
3. Khái quát hóa ứng dụng của phương pháp véc tơ để giải toán: Hình thành tri
thức phương pháp véc tơ để vận dụng để giải toán.
- Muốn chứng minh 2 đường thẳng phân biệt AB và CD là song song ta chỉ cần
chứng minh
AB
uuur
và
CD
uuur
cộng tuyến nghĩa là có dạng
.AB k CD=
uuur uuur
.
- Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta cần chứng minh 2 véc tơ viết từ 2
điểm ấy là cộng tuyến.

0
n n
A A A A
−
+ + =
uuuur uuuuuur r
.
Câu 14: Anh (chị) phân tích một số chú ý trong dạy học các phép toán về véc
tơ trong dạy học hình học không gian lớp 11 ở trường THPT?
Trả lời.
1. Định nghĩa phép toán.
a) Phép cộng 2 véc tơ xuất phát từ định nghĩa có tính chất kiến thiết về tổng 2
véc tơ tức là chỉ ra cách xác định vec tơ tổng.
b) Phép trừ 2 véc tơ
Định nghĩa thông qua phép cộng 2 véc tơ như sau:
( )a b a b− = + −
r r r r
. Khi dạy chú
ý phân biệt dấu trừ trong phép toán trên, chú ý việc thực hiện thông qua việc cộng
với véc tơ đối.
c) Phép nhân véc tơ với 1 số.
- Được định nghĩa bằng phương pháp kiến thiết.
- Chú ý phân biệt ý nghĩa khác nhau của 2 dấu (||).
- Khi dạy về các phép toán trên cần cho học sinh nắm vững cách xác định vec
tơ tổng, véc tơ hiệu của 2 véc tơ và nhân véc tơ với 1 số.
VD: Có thể cho HS xác định dựa vào quy tắc tam giác hay quy tắc hình
bình hành. Đặc biệt từ cách xác định ấy HS luyện tập, phân tích 1 véc tơ thành
tổng 2 véc tơ hoặc hiệu 2 vec tơ mà về sau được dùng nhiều trong giải toán.
VD: Với điểm C bất kỳ
AB AC CB= +

r
) = (km)
a
r
1.a = a.1 = a
1.
a
r
=
a
r
.1 =
a
r
- Tuy nhiên cần phải thấy rằng 2 phép nhân này hoàn toàn khác nhau. Phép
nhân các số với 1 số là phép toán trong, còn phép nhân véc tơ với 1 số là phép toàn
ngoài (tức là ánh xạ
V V
× →
¡
, với V là không gian véc tơ). Phép toán ngoài này
cùng với 4 tính chất cơ bản nêu ở trên cùng với phép cộng các véc tơ trang bị cho
tập V các véc tơ thành 1 không gian véc tơ trên trường số thực.
- Chú ý sai lầm của HS do suy luận áp dụng máy móc tính chất của các số đối
với các véc tơ.
VD: Cho
∆
ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho.
. .AB AM AC AB AM AC= ⇔ =
uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur

2
,y
2
)
a) dạng độ dài
2 2 2 2 2
1 1
. (| | | | | | ) (| | | | )
2 4
a b a b a b a b a b= + − − = + − −
r r r r r r r r r r
.
b) dạng lượng giác
¶
. | | .| |. os( , )a b a b c a b=
r r r r r r
.
c) dạng tọa độ
1 2 1 2
.a b x x y y= +
r r
.
d) dạng hình chiếu
. ' | |. . .
a
ab a b x h ch b= =
r
rr r ur uur r
(
'b

Câu 15: Anh (chị) phân tích mục đích, yêu cầu của việc dạy học phương pháp
tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian, trong dạy học hình học lớp 11 ở
trường THPT?
Trả lời.
1. Về kiến thức.
- Cần hiểu thực chất của việc nghiên cứu tọa độ ở trường THPT là nghiên cứu
một cách thể hiện khác nhau của hệ các tiên đề trong hình học phẳng và trong
không gian.
- Việc đưa vào trục tọa độ, hệ trục tọa độ, hệ trục tọa độ đề các vuông góc cho
phép đặt tương ứng. Mỗi véc tơ trên trục, mỗi véc tơ trên mặt phẳng, vec tơ trong
không gian với một số thực, 1 cặp số thực (x, y) và bộ 3 số thực (p, q, r). Từ đó
dẫn tới mỗi điểm trong mặt phẳng hay trong không gian được đặt tương ứng duy
nhất cặp số thực sắp thứ tự (p, q) hoặc bộ 3 số thực (p, q, r). Khi đó đường thẳng
trong mặt phẳng được hiểu là tập hợp các số (x, y) thỏa mãn: Ax + By + C = 0 (A
2

+ B
2

≠
0).
Tương tự mặt phẳng là tập bộ 3 số (x, y, z) thỏa mãn:
Ax + By + Cz + D = 0 (A
2
+ B
2
+ C
2
≠
0).

– x
1
):(y
2
– y
1
):(z
2
- z
1
)
≠
(x
3
- x
1
):(y
3
- y
1
):(z
3
- z
1
) thì tồn tại duy nhất 1 mặt
phẳng đi qua 3 điểm đó.
Nghĩa là chỉ có duy nhất 1 phương trình xác định mặt phẳng đó.
0x y z
α β σ λ
+ + + =

− −
=
− −

( )x y z
λ α β σ
= − + +
.
- Tương tự ta có thể thử nghiệm các tiên đề qua 2 điểm phân biệt trong mặt
phẳng xác định duy nhất 1 mặt phẳng.
- Từ đó các kiến thức dẫn xuất suy ra từ các tiên đề được trình bày bằng tọa độ
bằng cách đại số hóa.
- Việc đưa vào hệ tọa độ để đại số hóa việc nghiên cứu trong sgk phổ thông
dựa trên các kiến thức cơ sở về véc tơ và chủ yếu dựa trên các định lý.
Định lý 1: Cho 2 véc tơ khác phương
,a b
r r
. Khi đó
c
r
bất kì trong mặt phẳng
luôn biểu diễn được duy nhất thông qua 2 véc tơ
,a b
r r
:
c xa yb= +
r r r
.
+ nếu
,a b

- Mặt cú pháp được thể hiện là việc sử dụng các ngôn ngữ hình thức, các biểu
thức đại số hình thức để diễn tả các đối tượng, quan hệ hình học.
VD1: 2 đường thẳng
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
A x B y C
A x B y C
∆ + + =
∆ + + =
song song
1 1
2 2

0

A B
D
A B
⇔ = =
1 1 1 1
2 2 2 2

hay

x y
B C C A
D D
B C C A

r r
Giải thích ý nghĩa hình học của biểu thức trên.
Gọi m, n, p lần lượt là 3 đường thẳng chứa
, , ;a b c ∆
r r r
là đường thẳng chứa
[ , ]a b v=
r r r
. Do
,v a b⊥
r r r
nên
,m n∆ ⊥ ∆ ⊥
và do
. 0v c =
r r
nên
P∆ ⊥
.
Từ đó suy ra 3 đường thẳng m, n, p song song với mặt phẳng (
α
). Mà (
α
)
⊥ ∆
nên 3 véc tơ
, ,a b c
r r r
đồng phẳng.
- Khi dạy học phương pháp tọa độ có thể xảy ra 2 khuynh hướng: