Mở đầu
1. Lí DO CHọN Đề TàI
1.1. Trớc những biến đổi to lớn của thế giới trong thời đại ngày nay, đòi hỏi
nhà trờng phải đào tạo ra những con ngời có năng lực giải quyết vấn đề trong học
tập và trong thực tiễn cuộc sống. Hình thành và bồi dỡng năng lực giải quyết vấn
đề sẽ trở thành yêu cầu cấp bách của tất cả các quốc gia, các tổ chức giáo dục và
các doanh nghiệp.
Trong đổi mới giáo dục, ở hầu khắp các nớc trên thế giới, ngời ta rất quan
tâm đến bồi dỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua các môn học,
thể hiện đặc biệt rõ nét ở trong quan điểm trình bày kiến thức và phơng pháp dạy
học thông qua chơng trình, sách giáo khoa.
Raja Roy Singh trong cuốn Nền giáo dục cho thế kỉ XXI - Những triển
vọng của Châu á - Thái Bình Dơng đã khẳng định: Để đáp ứng đợc những đòi
hỏi mới đợc đặt ra do sự bùng nổ kiến thức và sáng tạo ra kiến thức mới, cần thiết
phải phát triển năng lực t duy, năng lực giải quyết vấn đề sáng tạo Các năng lực
này có thể quy gọn là năng lực giải quyết vấn đề.
Hội nghị giữa Hội đồng giáo dục Australia và các Bộ trởng Bộ Giáo dục -
Đào tạo - Việc làm các bang của Australia (9/1992) đã đa ra kiến nghị coi phát
hiện và giải quyết vấn đề là một trong bảy năng lực then chốt (Key competencies).
ở Việt Nam, các Nghị quyết Hội nghị lần thứ t khoá VII (1993), lần thứ hai
khoá VIII (1997) của Ban chấp hành Trung ơng Đảng cộng sản Việt nam và Luật
Giáo dục (1998) đã chỉ rõ: Cuộc cách mạng về phơng pháp giáo dục hớng vào
ngời học, rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề
một cách năng động, độc lập, sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở nhà trờng
phổ thông. áp dụng những phơng pháp giáo dục hiện đại để bồi dỡng năng lực t
duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề. Năng lực đầu tiên trong bốn năng lực
cơ bản mà mẫu ngời tơng lai cần có chính là năng lực phát hiện và giải quyết
vấn đề nảy sinh trong cuộc sống, khoa học công nghệ, . Thái Duy Tuyên khi
bàn về mục tiêu và phơng pháp bồi dỡng con ngời Việt Nam trong điều kiện mới
đã chỉ ra: Giáo dục không chỉ đào tạo con ngời có năng lực tuân thủ, mà chủ yếu
là những con ngời có năng lực sáng tạo, , biết cách đặt vấn đề, nghiên cứu và giải

hiện nay, các nhà Toán học Hoàng Tụy và Nguyễn Cảnh Toàn viết: Kiến thức,
t duy, tính cách con ngời chính là mục tiêu của giáo dục. Thế nhng, hiện nay trong
nhà trờng, t duy, tính cách bị chìm đi trong kiến thức , Ta còn chuộng cách
nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái oăm, giả tạo,
chẳng giúp ích gì mấy cho việc phát triển trí tuệ mà còn làm cho học sinh xa rời
thực tế, mệt mỏi và chán nản . Khối lợng kiến thức thì phong phú, nội dung, ch-
ơng trình liên tục thay đổi, làm sao có thể nhồi nhét hết vào trong đầu học sinh
đang ở tuổi có nhiều mối quan tâm khác! Do đó, thay vì việc dạy nhồi nhét, luyện
nhớ, chúng ta hãy góp phần phát triển cho học sinh cách phát hiện và giải quyết
vấn đề, dạy cho họ cách học. Mà dạy học Toán vừa tạo ra cơ hội thuận lợi, vừa đòi
hỏi phát triển những biện pháp s phạm thích hợp để hình thành và phát triển năng
lực giải quyết vấn đề cho học sinh.
2
Những cơ sở lý luận và thực tiễn nói trên đã đặt ra yêu cầu và tạo điều kiện
cho việc nghiên cứu năng lực giải quyết vấn đề trên bình diện đề xuất các biện
pháp s phạm để bồi dỡng các năng lực này trong dạy học Toán ở trung học phổ
thông, góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn Toán ở trờng trung học phổ
thông nói riêng, qua đó phát triển khả năng giải quyết vấn đề nói chung. Vì tất cả
các lí do trên chúng tôi đã chọn vấn đề Góp phần phát triển năng lực giải quyết
vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học Toán" làm đề tài nghiên
cứu.
2. mục đích nghiên cứu
Hệ thống hoá và thống nhất một số vấn đề lí luận và thực tiễn về năng lực
giải quyết vấn đề trong dạy học Toán ở THPT; từ đó xây dựng các BPSP nhằm bồi
dỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học Toán ở trung học phổ
thông.
3. giả thuyết khoa học
Nếu xác định đợc một số thành tố của NLGQVĐ và xây dựng đợc các
BPSP phù hợp thì có thể góp phần phát triển năng lực này cho HS trong dạy học
Toán ở trờng THPT.

6. những đóng góp của luận văn và ý nghĩa của đề tài
6.1. Về mặt lí luận: Góp phần làm rõ các thành tố của NLGQVĐ của HS
trong dạy học Toán.
6.2. Về mặt thực tiễn: Xây dựng hệ thống các BPSP bồi dỡng cho HS
NLGQVĐ trong dạy học Toán.
7. những vấn đề đa ra bảo vệ
7.1. Một số thành tố của NLGQVĐ (đây là các thành tố thực sự cần thiết và
có thể bồi dỡng cho HS trong dạy học Toán ở trờng THPT).
7.2. Hệ thống các BPSP đã đề xuất là thiết thực và có tính khả thi để bồi d-
ỡng NLGQVĐ cho học sinh THPT trong DH Toán.
7.3. Một số qui tắc tựa thuật giải cùng với việc sử dụng các BPSP mà luận
văn đã đề xuất là cách thức cụ thể để góp phần phát triển NLGQVĐ cho HS.
8. cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung chính
của luận văn đợc trình bày trong ba chơng:
Chơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Quá trình nhận thức.
1.2. Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học.
1.3. Vấn đề phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy
học Toán.
1.4. Các năng lực thành tố của năng lực giải quyết vấn đề của học sinh
trong dạy học Toán ở THPT.
1.5. Các biểu hiện và cấp độ của năng lực giải quyết vấn đề.
Chơng 2: Các biện pháp s phạm góp phần phát triển năng giải quyết
vấn đề cho học sinh THPT trong dạy học Toán
4
2.1. Định hớng xây dựng và thực hiện các biện pháp.
2.2. Một số biện pháp s phạm nhằm góp phần phát triển năng lực giải quyết
vấn đề cho học sinh trong học Toán.
2.3. Kết luận.

[21, tr. 264].
Có thể chỉ ra một số định nghĩa khác về t duy, chẳng hạn: T duy là quá
trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính
qui luật của sự vật hiện tợng trong hiện thực khách quan [24, tr. 117], hoặc: T
duy là một quá trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi và
sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách hay từng phần hay khái quát
thực thế trong khi phân tích và tổng hợp nó. T duy sinh ra trên cơ sở hoạt động
thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vợt xa giới hạn của nó [80].
T duy con ngời mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá tính ngôn ngữ.
Trong quá trình phát triển, t duy con ngời không dừng lại ở trình độ thao tác bằng
chân tay, bằng hình tợng mà con ngời còn đạt tới trình độ t duy bằng ngôn ngữ, t
duy trừu tợng, t duy khái quát - hình thức t duy đặc biệt của con ngời [24, tr. 119].
Trong quá trình t duy, con ngời sử dụng phơng tiện ngôn ngữ - sản phẩm có tính
xã hội cao, để nhận thức tình huống có vấn đề, để từ đó tiến hành các thao tác t
duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, khái quát hoá nhằm đi đến những
khái niệm, phán đoán, suy lí, những qui luật - những sản phẩm khái quát của t
duy.
T duy có đặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác. T duy có những
đặc điểm cơ bản sau [24, tr. 119-125]:
6
*) T duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề;
*) T duy có tính khái quát;
*) T duy có tính gián tiếp;
*) T duy của con ngời có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: t duy và ngôn
ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhng cũng không đồng
nhất với nhau. Sự thống nhất giữa t duy và ngôn ngữ thể hiện ở khâu biểu đạt kết
quả của quá trình t duy.
*) T duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: t duy thờng bắt đầu
từ nhận thức cảm tính, dù t duy có tính khái quát và tính trừu tợng đến đâu thì nội
dung của t duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, hình

1.2.1.1. Năng lực, kĩ năng, kĩ xảo và mối liên hệ
a) Năng lực
ở phơng Tây có nhiều quan điểm về NL: Theo quan điểm di truyền học, tr-
ờng phái A. Binet (1875-1911) và T. Simon cho rằng: NL phụ thuộc tuyệt đối và
tính chất bẩm sinh của di truyền gen. Theo quan điểm xã hội học, E. Durkhiem
(1858-1917) cho rằng: NL, nhân cách con ngời đợc quyết định bởi xã hội (nh một
môi trờng bất biến, tách rời khỏi điều kiện chính trị). Theo phái tâm lí học hành
vi, J. B. Watson (1870-1958) coi NL của con ngời là sự thích nghi sinh vật với
điều kiện sống [25]. Nhìn chung, các quan điểm này chủ yếu xem xét NL từ khía
cạnh bản năng, từ yếu tố bẩm sinh, di truyền của con ngời mà coi nhẹ yếu tố giáo
dục.
Các nhà tâm lí học Mác xit nhìn nhận và nghiên cứu vấn đề NL theo cách
khác. Họ không tuyệt đối hoá vai trò của yếu tố bẩm sinh di truyền đối với NL mà
nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và HT trong việc hình thành NL
C. Mác chỉ rõ: Sự khác nhau về tài năng tự nhiên của các cá nhân không
phải là nguyên nhân mà là kết quả của sự phân công lao động [48, tr. 167]. Ph.
Ăng ghen thì cho rằng: Lao động đã sáng tạo ra con ngời [2, tr. 641].
Trờng phái tâm lí học Xôviết với A. G. Côvaliov [13, tr. 84-127], N. X.
Lâytex, và tiêu biểu là B. M. Chieplôv đã có nhiều công trình nghiên cứu về NL
trí tuệ. B.M. Chieplôv coi NL là những đặc điểm tâm lí cá nhân có liên quan với
8
kết quả tốt đẹp với việc hoàn thành một hoạt động nào đó. Theo ông có hai yếu tố
cơ bản liên quan đến khái niệm NL:
Thứ nhất, NL là những đặc điểm tâm lí mang tính cá nhân. Mỗi cá thể khác
nhau có NL khác nhau về cùng một lĩnh vực. Không thể nói rằng: Mọi ngời đều
có năng lực nh nhau!
Thứ hai, khi nói đến NL, không chỉ nói tới các đặc điểm tâm lí chung mà
NL còn phải gắn với một hoạt động nào đó và đợc hoàn thành có kết quả tốt (tính
hớng đích).
Cũng theo quan điểm trên, X. L. Rubinstein chú trọng đến tính có ích của

NL thành các kĩ năng hành động trên những nội dung cụ thể trong một loại tình
huống hoạt động: Năng lực chính là sự tích hợp các kĩ năng tác động một cách tự
nhiên lên các nội dung trong một loạt các tình huống cho trớc để giải quyết những
vấn đề do tình huống này đặt ra [74, tr.90].
Tóm lại, NL và kĩ năng là những vấn đề (VĐ) khá trừu tợng trong tâm lí
học. Tuy còn có những cách hiểu và diễn đạt khác nhau, song về cơ bản các nhà
tâm lí học đều thống nhất rằng:
*) NL tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; để có NL cần phải có
những phẩm chất của cá nhân đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định,
đảm bảo cho hoạt động ấy đạt hiệu quả cao.
*) Ngời có năng lực về một hoạt động nào đó cần phải:
+ Có tri thức về hoạt động đó;
+ Tiến hành thạo động theo đúng các yêu cầu của nó một cách có hiệu quả;
+ Đạt đợc kết quả phù hợp với mục đích đề ra;
+ Biết tiến hành có kết quả trong những điều kiện khác nhau.
c) Trên cơ sở tìm hiểu những quan điểm về NL, xét từ phơng diện giáo dục,
chúng tôi tổng hợp lại nh sau:
*) NL thể hiện đặc thù tâm lí, sinh lí khác biệt của cá nhân, chịu ảnh hởng
của yếu tố bẩm sinh di truyền về mặt sinh học, đợc phát triển hay hạn chế còn do
những điều kiện khác của môi trờng sống.
*) Những yếu tố bẩm sinh của NL cần có môi trờng điều kiện xã hội (ở đây
ta sẽ giới hạn trong môi trờng giáo dục) thuận lợi mới phát triển đợc, nếu không
sẽ bị thui chột. Do vậy NL không chỉ là yếu tố bẩm sinh, mà còn phát triển trong
hoạt động, chỉ tồn tại và thể hiện trong mỗi hoạt động cụ thể.
*) Nói đến NL là nói đến NL trong một loại hoạt động cụ thể của con ngời.
*) Cấu trúc của NL bao gồm một tổ hợp nhiều kĩ năng thực hiện những
hành động thành phần và có liên quan chặt chẽ với nhau. Đồng thời NL còn liên
quan đến khả năng phán đoán, nhận thức, hứng thú và tình cảm.
*) Hình thành và phát triển những NL cơ bản của HS trong HT và đời sống
là nhiệm vụ quan trọng của các nhà trờng s phạm.

3) Lu trữ thông tin toán học;
4) Thành phần tổng hợp chung là khuynh hớng toán học của trí tuệ.
*) Trong [91], UNESCO đã công bố 10 tiêu chí NL toán học cơ bản nh sau:
1) NL phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép toán, các
KN;
2) NL tính nhanh và tính cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu;
3) NL dịch chuyển các dữ liệu thành kí hiệu;
4) NL biểu diễn các dữ kiện, ẩn, các điều kiện ràng buộc giữa chúng thành
kí hiệu;
5) NL theo dõi một hớng suy luận hay chứng minh;
6) NL xây dựng một chứng minh;
11
7) NL giải một bài toán đã toán học hoá;
8) NL giải một bài toán có lời văn (cha toán học hóa);
9) NL phân tích bài toán và xác định phép toán có thể áp dụng;
10) NL khái quát hoá.
Theo A. A. Stoliar, dạy Toán có thể xem nh dạy cho học sinh hoạt động toán
học, mà đi liền với mỗi hoạt động sẽ có những NL tơng ứng. Học toán bao gồm
các hoạt động liên quan đến Số học, Đại số, Giải tích, Hình học, nên ta có thể
phân chia NL thành thành các NL học Số học, NL học Đại số, NL học Giải tích,
NL học Hình học Mặt khác, toán học có tính trừu tợng cao và tính lôgic chặt
chẽ nên hoạt động học toán liên quan chặt chẽ với t duy toán học. Do đó, NL toán
học có thể đợc nghiên cứu từ những góc độ riêng. Có những tác giả đã cụ thể hoá
và vận dụng NL này vào DH Toán theo các khía cạnh, phạm vi và chủ đề khác
nhau.
E. L. Thorndike trong cuốn các vấn đề giảng dạy Đại số, 1920 [88, tr. 27]
đã xác định bảy thành tố của NL Đại số gồm:
1) Hiểu và thiết lập các công thức;
2) Biểu diễn các tơng quan số lợng thành hình dạng công thức;
3) Biến đổi các công thức;

a) T duy trực giác
Khái niệm trực giác đợc đề cập từ lâu và có những cách hiểu khác nhau,
điều đó chứng tỏ vai trò quan trọng trong quá trình nhận thức và sáng tạo khoa
học. Theo đại bách khoa toàn th Xôviết thì trực giác là năng lực nhận thức chân lí
bằng cách xét đoán trực tiếp mà không có sự biện giải bằng chứng minh. Theo
Cruchetxki thì nhiều trờng hợp, sự bừng sáng đột ngột của học sinh có năng lực có
thể giải thích bởi ảnh hởng vô thức bởi kinh nghiệm quá khứ mà cơ sở của chúng
là năng lực khái quát hóa các đối tợng, các quan hệ, các phép toán toán học và
năng lực t duy bằng cấu trúc rút gọn.
Các tài liệu khác nhau, hiểu trực giác toán học theo nhiều nghĩa khác nhau
và trong thực tế cũng tồn tại nhiều dạng khác nhau; nó có thể coi là sự bừng sáng
đột ngột, cha nhận thức đợc, có thể là trực quan cảm tính và cũng có thể là kết quả
của sự vận động không có ý thức các cách thức hoạt động khái quát và các cấu
trúc rút gọn.
J. Bruner đã viết: Thông thờng t duy trực giác dựa trên cơ sở quen biết với
những kiến thức cơ bản trong lĩnh vực đang xét với cơ cấu của lĩnh vực này. Điều
đó cho phép thực hiện t duy trực giác dới những dạng biến đổi đột ngột, việc
chuyển nhanh từ chỗ này sang chỗ kia, bỏ qua những khâu của vấn đề,
Và cũng cần chú ý rằng không phải tất cả các phát minh (phát minh vĩ đại)
đều là trực giác, nhng có rất nhiều phát minh bắt đầu từ trực giác. Newton chỉ với
quả táo rơi trên cây xuống mà đã đi tới định lí vạn vật hấp dẫn. Có thể hệ thống
các tiên đề của hình học Ơclit khi ông nêu ra có lẽ phần lớn cũng xuất phát từ
trực giác chăng?
Ví dụ 1.1. Vào năm Gauss 7 tuổi, thầy giáo đã ra cho cả lớp bài tập: Hãy
tính tổng của một 100 số tự nhiên từ 1 đến 100 và Gauss đã đa ra cách trả lời
13
chính xác chỉ sau một lát suy nghĩ. Làm thế nào ở độ tuổi đó, ông đã có thể tính
đợc phép tính phức tạp này?
Phải chăng xuất phát từ trực giác, Ông đã nghĩ: Dù thay đổi trật tự của con
số trong phép tính thì kết quả vẫn không thay đổi, vì thế mình có thể nhóm 1 với

101 101
101
14
không thể giải đợc, nhng nếu đoán ra yếu tố then chốt là bài toán sẽ đợc giải theo
phơng pháp không mẫu mực (đánh giá hai vế chẳng hạn); thì sẽ thành công.
Xét ví dụ dới đây, mô tả lại quá trình mày mò, suy luận để tìm lời giải của
một HS có NL toán học.
Ví dụ 1.2: Giải phơng trình:
x
x
x
1
2
2cos
+=

.
ĐKXĐ:
0

x
.
HS đó nhận thấy phơng trình đã cho có chứa những yếu tố siêu việt (mũ, l-
ợng giác), hơn nữa có vẻ nh, các biểu thức ở hai vế đã cho dới dạng mà khó có thể
làm gọn hơn đợc nữa, lại dễ thấy x = 1 là một nghiệm của phơng trình. Nghĩ tới
bài toán có thể đợc giải theo một cách khác, khi mà các phép biển đổi thông thờng
không khả thi, đó là đánh giá hai vế.
Nhận thấy đợc:
x
ĐKXĐ thì luôn có:

x
xVP += 2
1
, nên phơng trình tơng đ-
ơng với hệ điều kiện:
1
2
1
22
2cos
=





=+=
==
x
x
xVP
VT
x

.
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là
1
=
x
.

+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
x
y
y
y
x
x
;
Không chỉ THCS, bài toán trên thực sự là một thách thức lớn đối với nhiều
HS THPT nếu nh ngay từ đầu không hạn chế đợc miền chứa nghiệm của bài toán
là cả x và y đều thuộc
( )
+;0
và giải hệ trên miền chứa nghiệm đó.
Các tác giả Koliagin, Oganhexian, cho rằng: phát triển t duy lôgíc của HS
là một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của GV dạy Toán, của những
ngời biên soạn chơng trình SGK và cả những ngời nghiên cứu về giáo dục toán
học. Theo các tác giả, đối với mọi cấp học, cần phải thờng xuyên quan tâm tới
việc phát triển t duy lôgíc của HS, và cần chú ý ngay từ lớp nhỏ (dẫn theo [80]).
c) T duy sáng tạo
Theo Từ điển tiếng Việt, sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn

n
= z
n
không có nghiệm nguyên dơng với số tự nhiên n >2. ở lề của cuốn sách
Arithmetica của Diophantus, Pierre de Fermat viết: Khi n = 4 biểu thức trên có
nghĩa, và với số n đồng dạng cũng vậy. Tôi có một phơng pháp rất hay để chứng
minh cho định lí này nhng không thể viết ra đây vì lề cuốn sách quá hẹp [87, tr.
35]. Tuy không đa ra đợc lời giải cho bài toán nhng các kết quả toán học có đợc
khi đi tìm lời giải bài toán của các nhà toán học nhiều thế hệ, đã cho những lí
thuyết toán học mới với những ý nghĩa to lớn, (cũng nói thêm rằng, việc chứng
minh định lí đó cũng chỉ mới đợc Andrew Wiles công bố vào 1994 với độ dày 200
trang, và lí thuyết chứng minh hết sức phức tạp vợt qua kiến thức mà nhân loại có
đợc thời Fermat sống, có dựa vào một phần của Giả thuyết Taniyama - Shimura
(dẫn theo [87, tr. 36]).
Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với ngời học Toán: "Đối với
ngời học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đơng đầu với những
vấn đề đó, để tự mình thu nhận đợc cái mới mà họ cha từng biết. Nh vậy, một bài tập
cũng đợc xem nh là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những
mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếu ngời giải cha biết trớc
thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bớc đi cha biết trớc. Nhà trờng phổ
thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa
trình bày.
Theo định nghĩa thông thờng và phổ biến nhất của t duy sáng tạo thì đó là
t duy để tạo ra cái mới. Lene trong [44], đã chỉ ra các thuộc tính của t duy sáng
tạo là:
- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kĩ năng sang một tình huống sáng tạo;
- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng qui cách";
- Nhìn thấy chức năng mới của đối tợng quen biết;
- Nhìn thấy cấu tạo của đối tợng đang nghiên cứu;
17

phần tơng tự:
HS đã biết tính chất:







+
+
2
;
2
,,
2
cos2coscos

yx
yx
yx
; (1)
dấu = xảy ra khi x = y.
Họ dễ suy ra kết quả tơng tự:
3
cos3coscoscos
zyx
zyx
++
++

đây các góc A, B, C tuy không thỏa mãn điều kiện (2.1) nhng do bị hạn chế bởi
góc trong tam giác giác nên vẫn có kết quả tơng tự).
Cách 2: Hớng suy nghĩ xuất trong đầu những HS có kiến thức khá phong
phú, khi thấy đợc sự xuất hiện các giá trị cosin của góc trong tam giác, gợi ý đến
dùng tích vô hớng của các vectơ đợc xây dựng trên cơ sở các cạnh của tam giác có
giá là các đờng chứa cạnh (theo chúng tôi cách giải này có những nét độc đáo
nhất định khi nghĩ đợc nh vậy). Dẫn tới cách giải sau:
Chọn ba vectơ
kji ==
sao cho:
1=== kji
(đvđd) nh Hình 1.3.
Khi đó ta có:

( )
0
2
++ kji0)(2
222
+++++ ikkjjikji

0)coscoscos(2111
++++
AikCkjBji
(4)

2

2
sincos
2
sincos
2
1
cos
2
sinsin
2
)cos1(cos
cossinsin)cos1(cos
2222
2222
=
+
+
+
+
+
+
+
+

++=
BBAA
B
BABA
BBABA
Dấu = xảy ra khi tam giác ABC đều.

2
1
2
sin
2
cos2
2
sin2
2
+


CBAC0
2
cos
4
1
4
1
2
cos
4
1
)
2
cos
2


+









BABAC
, luôn đúng.
(I) đợc chứng minh; dấu = xảy ra khi tam giác ABC đều.
Cách 5: HS biết huy động kết quả của định lí về dấu của tam thức bậc hai,
vận dụng vào giải bài toán, thực hiện biến đổi để xem là biểu thức đa ra đợc nh là
tam thức bậc hai của một biến nào đó mà việc xét dấu có thể thực hiện đợc thông
qua biệt số đenta.
Sử dụng biến đổi tơng đơng kết hợp với kết quả của định lí về dấu của tam
thức bậc hai. Ta có:
( )
( )
3
2
1
2
1
2
sin
2

sin
C
,
nghĩ tới việc đi xét biệt số đenta, khi đó:

BA
BABA
,,0
2
sin1
2
cos
22


=

=

là góc của tam giác, cùng với hệ số a = 2 >
0, suy ra (3) đúng, suy ra (I) đúng, dấu = xảy ra khi tam giác ABC đều.
Cũng cần hiểu rằng t duy sáng tạo cũng có nhiều cấp độ khác nhau, đối với
HS khi cha có PP để giải bài toán nào đó, mà HS đó có thể mò mẫm, dự đoán, rồi
đi đến cách giải (chẳng hạn, HS cấp THCS khi cha có cách giải phơng trình bậc
hai dạng chuẩn, thì việc biến đổi để đa về dạng bình phơng đúng dạng X
2
= k) thì
cũng có thể coi đó là một nỗ lực đáng ghi nhận, có thể coi là sự sáng tạo trong nỗ
lực GQVĐ.
Khi HS có những cách giải mà thể hiện suy nghĩ, cách giải không giống nh

lôgic, chặt chẽ. Nh vậy, hoạt động GQVĐ vừa cần t duy lôgic lại vừa cần t duy
sáng tạo và càng không thể thiếu t duy trực giác.
1.2.2.2. Nội dung của hoạt động GQVĐ trong dạy học Toán
Giải quyết các vấn đề đợc nhận định theo nghĩa thông thờng là thiết lập
những phơng pháp thích ứng để giải quyết các khó khăn, trở ngại. Với những vấn
đề có độ khó cao hơn, các phơng pháp giải quyết cần phải tiến bộ hơn khi giải
pháp thông thờng không thể đáp ứng với hoàn cảnh khỏ khăn này. Một số nhà tâm
lí học nhận định rằng hầu hết các kiến thức học hỏi liên quan đến việc giải quyết
các vấn đề nói chung và vấn đề khó khăn nói riêng.
Bransford trong nghiên cứu the IDEAL problem Solver Con ngời lí t-
ởng giải quyết các vấn đề khó khăn xuất bản 1984 đã đề nghị năm thành phần
trong việc GQVĐ là:
1) Nhận diện vấn đề;
2) Tìm hiểu cặn kẽ vấn đề khó khăn;
3) Đa ra một giải pháp;
4) Thực hiện giải pháp;
5) Đánh giá hiệu quả việc thực hiện.
Từ cách hiểu vấn đề và GQVĐ ở trên, trong học toán, chúng tôi quan niệm
hoạt động GQVĐ liên quan đến: các hoạt động của HS nhằm nhận ra trong tình
huống - bài toán những yếu tố toán học cùng các mối quan hệ giữa chúng; tìm
thấy hớng giải quyết bài toán - vấn đề là kiến thức và kĩ năng đã có để tiến hành
thực hiện các hoạt động toán học (tính toán, biến đổi, suy luận, ) để đi đến lời
giải bài toán, thực hiện đợc yêu cầu của VĐ. Nh vậy, hoạt động giải quyết vấn đề
trong dạy học toán bao gồm:
+) Phát hiện, huy động kiến thức và phơng pháp đã biết liên quan tới nội
dung những vấn đề cụ thể trong học toán;
+) Phát hiện hớng giải quyết và tiến hành GQ những VĐ toán học một cách
có kết quả;
22
+) Vận dụng trong những tình huống học toán tơng tự, đặc biệt và khái

Văn Tảo và Trần Văn Hà [77], [78],
ở bình diện vận dụng cụ thể trong DH toán, đã có một số tác giả xem xét
PH và GQVĐ từ các khía cạnh khác nhau: Nguyễn Lan Phơng nghiên cứu về kĩ
thuật thực hiện PH và GQVĐ trong DH toán (thể hiện qua DH quan hệ vuông góc
trong không gian ở hình học lớp 11) [55], Nguyễn Thị Hơng Trang tiếp cận PH và
23
GQVĐ theo góc độ một xu hớng sáng tạo khi rèn luyện NL giảo toán cho học
sinh (thể hiện qua DH giải phơng trình, bất phơng trình ở THPT) [82],
Tập trung xem xét GQVĐ dới góc độ một NL cần phát triển cho HS để làm
căn cứ cho việc nghiên cứu bản chất và thành phần của NLGQVĐ của HS trong
quá trình dạy học toán THPT đợc chúng tôi trình bày ở phần sau của luận văn.
Từ những nghiên cứu về NL và hoạt động GQVĐ, vận dụng vào thực tiễn
DH toán ở trờng THPT, chúng tôi quan niệm: NLGQVĐ của HS trong học toán là
một tổ hợp các NL thể hiện ở các kĩ năng (thao tác t duy và hành động) trong hoạt
động HT nhằm giải quyết những nhiệm vụ của môn toán.
a) Năng lực giải quyết vấn đề trong học Toán
Từ quan điểm về NLGQVĐ có hai hoạt động thành phần là hoạt động PH
và GQ trong học toán, có thể xem NLGQVĐ theo hai nhóm năng lực phát hiện
vấn đề (NLPHVĐ) và năng lực giải quyết vấn đề (NLGQVĐ) trong học toán nh
sau:
a) Nhóm năng lực phát hiện vấn đề trong học toán
+) NL phát hiện mâu thuẫn, có vấn đề trong tình huống: nhận ra biểu tợng,
dấu hiệu bản chất, tính chất chung, mối quan hệ về mặt toán học của một loạt sự
vật hiện tợng;
+) NL giới hạn vấn đề;
+) NL toán học hoá tình huống bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học, xác định
giải thiết, kết luận của định lí, bài toán.
+) NL phát hiện định hớng GQVĐ dới dạng cấu trúc giả thiết và kết luận
của bài toán;
+) NL phát hiện những mối liên hệ giữa các yếu tố của giả thiết và kết luận,

+) Nếu xét ở phạm vi của thực tiễn cuộc sống, mỗi HS luôn phải nhận biết
và GQ những VĐ xảy ra đối với bản thân (trong đó có những VĐ của việc học
toán) thì NLGQVĐ có cấu trúc phức tạp hơn, bao gồm nhiều thành phần và có vai
trò rộng hơn NL HT (nói riêng là NL học toán). Nhng nếu xét riêng ở phạm vi học
toán, hay hẹp hơn nữa là trong hoạt động giải toán thì mỗi bài toán có thể chứa
đựng nhiều vấn đề. Khi đó, NLGQVĐ lại là một bộ phận trong NL giải toán, NL
học toán,
+) NL t duy sáng tạo đòi hỏi sự phát triển của NLGQVĐ ở mức độ cao.
+) NL học toán là một thành phần (cùng với năng khiếu bẩm sinh tơng đối
cao) để hình thành nên NL toán học.
+) ở các nhà toán học nổi tiếng, NL sáng tạo toán học là sự phát triển NL
toán học, NLGQVĐ ở mức độ cao dựa trên cơ sở rất quan trọng là tài năng đặc
biệt (yếu tố bẩm sinh).
1.3. Vấn đề phát triển năng lực cho học sinh trong dạy học Toán
*) Về mặt triết học, từ các qui luật mâu thuẫn và lợng chất, có thể thấy:
mâu thuẫn giữa kiến thức, kĩ năng toán học đã có ở HS với yêu cầu xây dựng và sử
dụng KT mới đã tạo ra nhu cầu, động lực để các em tiến hành hoạt động GQVĐ
trong dạy học toán. Do đó, nếu HS thờng xuyên đợc tập luyện hoạt động GQVĐ
25