MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Trước những biến đổi to lớn của thế giới trong thời đại ngày nay, đòi
hỏi nhà trường phải đào tạo ra những con người có năng lực giải quyết vấn đề
trong học tập và trong thực tiễn cuộc sống. Hình thành và bồi dưỡng năng lực giải
quyết vấn đề sẽ trở thành yêu cầu cấp bách của tất cả các quốc gia, các tổ chức
giáo dục và các doanh nghiệp.
Trong đổi mới giáo dục, ở hầu khắp các nước trên thế giới, người ta rất
quan tâm đến bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua các
môn học, thể hiện đặc biệt rõ nét ở trong quan điểm trình bày kiến thức và
phương pháp dạy học thông qua chương trình, sách giáo khoa.
Raja Roy Singh trong cuốn “Nền giáo dục cho thế kỉ XXI - Những triển
vọng của Châu Á - Thái Bình Dương” đã khẳng định: “Để đáp ứng được những
đòi hỏi mới được đặt ra do sự bùng nổ kiến thức và sáng tạo ra kiến thức mới, cần
thiết phải phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề sáng tạo Các
năng lực này có thể quy gọn là “năng lực giải quyết vấn đề””.
Hội nghị giữa Hội đồng giáo dục Australia và các Bộ trưởng Bộ Giáo dục -
Đào tạo - Việc làm các bang của Australia (9/1992) đã đưa ra kiến nghị coi phát
hiện và giải quyết vấn đề là một trong bảy năng lực then chốt (Key
competencies).
Ở Việt Nam, các Nghị quyết Hội nghị lần thứ tư khoá VII (1993), lần thứ
hai khoá VIII (1997) của Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam và
Luật Giáo dục (1998) đã chỉ rõ: “Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục
hướng vào người học, rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải
quyết vấn đề một cách năng động, độc lập, sáng tạo ngay trong quá trình học tập
ở nhà trường phổ thông. Áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi
dưỡng năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề”. Năng lực đầu tiên
trong bốn năng lực cơ bản mà “mẫu người” tương lai cần có chính là “năng lực
phát hiện và giải quyết vấn đề nảy sinh trong cuộc sống, khoa học công nghệ, ”.
1
Thái Duy Tuyên khi bàn về mục tiêu và phương pháp bồi dưỡng con người Việt
Trong đổi mới nội dung, đổi mới chương trình đang thực hiện ở nhà trường
phổ thông, có rất nhiều vấn đề phát sinh, những đòi hỏi mới trong những hoàn
cảnh mới. Những nội dung kiến thức, bài tập của hôm nay, ngày mai sẽ có thể
không phù hợp nữa. Hơn nữa, xét thực trạng dạy học ở trường trung học phổ
thông hiện nay, các nhà Toán học Hoàng Tụy và Nguyễn Cảnh Toàn viết: “
Kiến thức, tư duy, tính cách con người chính là mục tiêu của giáo dục. Thế
nhưng, hiện nay trong nhà trường, tư duy, tính cách bị chìm đi trong kiến thức ”,
“ Ta còn chuộng cách nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài
toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp ích gì mấy cho việc phát triển trí tuệ mà còn
làm cho học sinh xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản ”. Khối lượng kiến thức thì
phong phú, nội dung, chương trình liên tục thay đổi, làm sao có thể nhồi nhét hết
vào trong đầu học sinh đang ở tuổi có nhiều mối quan tâm khác! Do đó, thay vì
việc dạy nhồi nhét, luyện nhớ, chúng ta hãy góp phần phát triển cho học sinh cách
phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy cho họ cách học. Mà dạy học Toán vừa tạo ra
cơ hội thuận lợi, vừa đòi hỏi phát triển những biện pháp sư phạm thích hợp để
hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.
Những cơ sở lý luận và thực tiễn nói trên đã đặt ra yêu cầu và tạo điều kiện
cho việc nghiên cứu năng lực giải quyết vấn đề trên bình diện đề xuất các biện
pháp sư phạm để bồi dưỡng các năng lực này trong dạy học Toán ở trung học phổ
thông, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường trung học phổ
thông nói riêng, qua đó phát triển khả năng giải quyết vấn đề nói chung. Vì tất cả
các lí do trên chúng tôi đã chọn vấn đề “Góp phần phát triển năng lực giải quyết
vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học Toán" làm đề tài
nghiên cứu.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Hệ thống hoá và thống nhất một số vấn đề lí luận và thực tiễn về năng lực
giải quyết vấn đề trong dạy học Toán ở THPT; từ đó xây dựng các BPSP nhằm
3
bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học Toán ở trung
học phổ thông.
pháp luận có liên quan đến NLGQVĐ trong dạy học Toán.
5.2. Đề xuất các BPSP bồi dưỡng NLGQVĐ cho HS trong DH Toán ở
THPT. Trên cơ sở đó, xác định một số qui tắc tựa thuật giải thích hợp, hướng dẫn
vận dụng các BPSP trong quá trình dạy học Toán.
5.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm xem xét tính khả thi của phương án đề
xuất; tìm hiểu khả năng triển khai trong thực tiễn.
6. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI
6.1. Về mặt lí luận: Góp phần làm rõ các thành tố của NLGQVĐ của HS
trong dạy học Toán.
6.2. Về mặt thực tiễn: Xây dựng hệ thống các BPSP bồi dưỡng cho HS
NLGQVĐ trong dạy học Toán.
7. NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯA RA BẢO VỆ
7.1. Một số thành tố của NLGQVĐ (đây là các thành tố thực sự cần thiết và
có thể bồi dưỡng cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT).
7.2. Hệ thống các BPSP đã đề xuất là thiết thực và có tính khả thi để bồi
dưỡng NLGQVĐ cho học sinh THPT trong DH Toán.
7.3. Một số qui tắc tựa thuật giải cùng với việc sử dụng các BPSP mà luận
văn đã đề xuất là cách thức cụ thể để góp phần phát triển NLGQVĐ cho HS.
8. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung chính
của luận văn được trình bày trong ba chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Quá trình nhận thức.
1.2. Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học.
1.3. Vấn đề phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy
học Toán.
5
1.4. Các năng lực thành tố của năng lực giải quyết vấn đề của học sinh
trong dạy học Toán ở THPT.
1.5. Các biểu hiện và cấp độ của năng lực giải quyết vấn đề.
Trong tâm lí học, một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về tư duy đã
được trình bày trong các công trình của X. L. Rubinstein. Những công trình này
đã thúc đẩy mạnh mẽ việc giải quyết hàng loạt các vấn đề cơ bản liên quan đến
nghiên cứu hình thức hoạt động tâm lí phức tạp. Theo cách hiểu của X. L.
Rubinstein: “Tư duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể
với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác
động của khách thể” [21, tr. 264].
7
Có thể chỉ ra một số định nghĩa khác về tư duy, chẳng hạn: “Tư duy là quá
trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính
qui luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan” [24, tr. 117], hoặc:
“Tư duy là một quá trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi
và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách hay từng phần hay khái
quát thực thế trong khi phân tích và tổng hợp nó. Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt
động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó” [80].
Tư duy con người mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá tính ngôn ngữ.
Trong quá trình phát triển, tư duy con người không dừng lại ở trình độ thao tác
bằng chân tay, bằng hình tượng mà con người còn đạt tới trình độ tư duy bằng
ngôn ngữ, tư duy trừu tượng, tư duy khái quát - hình thức tư duy đặc biệt của con
người [24, tr. 119]. Trong quá trình tư duy, con người sử dụng phương tiện ngôn
ngữ - sản phẩm có tính xã hội cao, để nhận thức tình huống có vấn đề, để từ đó
tiến hành các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái
quát hoá nhằm đi đến những khái niệm, phán đoán, suy lí, những qui luật - những
sản phẩm khái quát của tư duy.
Tư duy có đặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác. Tư duy có
những đặc điểm cơ bản sau [24, tr. 119-125]:
*) Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề;
*) Tư duy có tính khái quát;
*) Tư duy có tính gián tiếp;
*) Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: tư duy và
người dựa vào tư duy để “nhận thức những qui luật khách quan của tự nhiên, xã
hội và lợi dụng những qui luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình” [80].
1.2. Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học
Theo phân tích trên thì chúng ta cần có những quan tâm đúng mực đến sự
phát sinh và cơ chế của quá trình nhận thức để áp dụng vào dạy học có hiểu quả.
Bởi đó là điều kiện tiên quyết để GQVĐ được tốt hơn, góp phần phát triển năng
lực GQVĐ của người học nói chung, và trong dạy học Toán nói riêng.
1.2.1. Năng lực và năng lực toán học
1.2.1.1. Năng lực, kĩ năng, kĩ xảo và mối liên hệ
a) Năng lực
Ở phương Tây có nhiều quan điểm về NL: Theo quan điểm di truyền học,
trường phái A. Binet (1875-1911) và T. Simon cho rằng: NL phụ thuộc tuyệt đối
và tính chất bẩm sinh của di truyền gen. Theo quan điểm xã hội học, E.
Durkhiem (1858-1917) cho rằng: NL, nhân cách con người được quyết định bởi
xã hội (như một môi trường bất biến, tách rời khỏi điều kiện chính trị). Theo phái
tâm lí học hành vi, J. B. Watson (1870-1958) coi NL của con người là sự thích
nghi “sinh vật” với điều kiện sống [25]. Nhìn chung, các quan điểm này chủ yếu
xem xét NL từ khía cạnh bản năng, từ yếu tố bẩm sinh, di truyền của con người
mà coi nhẹ yếu tố giáo dục.
Các nhà tâm lí học Mác xit nhìn nhận và nghiên cứu vấn đề NL theo cách
khác. Họ không tuyệt đối hoá vai trò của yếu tố bẩm sinh di truyền đối với NL mà
nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và HT trong việc hình thành NL
C. Mác chỉ rõ: “Sự khác nhau về tài năng tự nhiên của các cá nhân không
phải là nguyên nhân mà là kết quả của sự phân công lao động” [48, tr. 167]. Ph.
Ăng ghen thì cho rằng: “Lao động đã sáng tạo ra con người” [2, tr. 641].
Trường phái tâm lí học Xôviết với A. G. Côvaliov [13, tr. 84-127], N. X.
Lâytex, …và tiêu biểu là B. M. Chieplôv đã có nhiều công trình nghiên cứu về
NL trí tuệ. B.M. Chieplôv coi NL là những đặc điểm tâm lí cá nhân có liên quan
10
với kết quả tốt đẹp với việc hoàn thành một hoạt động nào đó. Theo ông có hai
Những nghiên cứu về hoạt động cho thấy: Kết quả của việc hoàn thành một
hoạt động nào đó phụ thuộc vào kĩ năng thực hiện những hành động thành phần
của nó. Đồng thời, thể hiện mức độ tinh vi, thành thục khi thực hiện các kĩ năng
đó chính là kĩ xảo. Như vậy, NL và kĩ năng, kĩ xảo có mối liên hệ khăng khít, gắn
bó, NL thường bao gồm một tổ hợp các kĩ năng thành phần có quan hệ chặt chẽ
với nhau, giúp con người hoạt động có kết quả.
Nhìn nhận vấn đề NL dưới góc độ gắn với các kĩ năng, xét từ phương diện
tìm cách phát triển những NL cho HS trong HT, X. Rogiers đã mô hình hoá khái
niệm NL thành các kĩ năng hành động trên những nội dung cụ thể trong một loại
tình huống hoạt động: “Năng lực chính là sự tích hợp các kĩ năng tác động một
cách tự nhiên lên các nội dung trong một loạt các tình huống cho trước để giải
quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra” [74, tr.90].
Tóm lại, NL và kĩ năng là những vấn đề (VĐ) khá trừu tượng trong tâm lí
học. Tuy còn có những cách hiểu và diễn đạt khác nhau, song về cơ bản các nhà
tâm lí học đều thống nhất rằng:
*) NL tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; để có NL cần phải có
những phẩm chất của cá nhân đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định,
đảm bảo cho hoạt động ấy đạt hiệu quả cao.
*) Người có năng lực về một hoạt động nào đó cần phải:
+ Có tri thức về hoạt động đó;
+ Tiến hành thạo động theo đúng các yêu cầu của nó một cách có hiệu quả;
+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra;
+ Biết tiến hành có kết quả trong những điều kiện khác nhau.
c) Trên cơ sở tìm hiểu những quan điểm về NL, xét từ phương diện giáo
dục, chúng tôi tổng hợp lại như sau:
12
*) NL thể hiện đặc thù tâm lí, sinh lí khác biệt của cá nhân, chịu ảnh hưởng
của yếu tố bẩm sinh di truyền về mặt sinh học, được phát triển hay hạn chế còn
do những điều kiện khác của môi trường sống.
*) Những yếu tố bẩm sinh của NL cần có môi trường điều kiện xã hội (ở
5) Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận [80].
*) A. N. Kôlmôgôrôv xem xét NL toán học trên cơ sở 3 thành tố liên có
liên quan đến khả năng biến đổi biểu thức chữ, tưởng tượng và suy luận lôgic:
1) NL biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, NL tìm kiếm các
phương pháp xa lạ với các qui tắc thông thường để giải phương trình;
2) Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học”;
3) Nghệ thuật suy luận lôgíc được phân nhỏ hợp lí, tuần tự.
*) V. A. Cruchetxki [28, tr. 168] nhìn nhận dưới góc độ thu nhận và xử lí
thông tin đã phân chia NL toán học bao gồm 4 thành tố cơ bản là:
1) Thu nhận thông tin toán học;
2) Chế biến thông tin toán học;
3) Lưu trữ thông tin toán học;
4) Thành phần tổng hợp chung là khuynh hướng toán học của trí tuệ.
*) Trong [91], UNESCO đã công bố 10 tiêu chí NL toán học cơ bản như
sau:
1) NL phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép toán, các
KN;
2) NL tính nhanh và tính cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu;
3) NL dịch chuyển các dữ liệu thành kí hiệu;
4) NL biểu diễn các dữ kiện, ẩn, các điều kiện ràng buộc giữa chúng
thành kí hiệu;
5) NL theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh;
6) NL xây dựng một chứng minh;
7) NL giải một bài toán đã toán học hoá;
8) NL giải một bài toán có lời văn (chưa toán học hóa);
14
9) NL phân tích bài toán và xác định phép toán có thể áp dụng;
10) NL khái quát hoá.
Theo A. A. Stoliar, dạy Toán có thể xem như dạy cho học sinh hoạt động
toán học, mà đi liền với mỗi hoạt động sẽ có những NL tương ứng. Học toán bao
Trên cơ sở nghiên cứu những lí luận và thực tiễn, có thể thấy:
*) NL toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của học sinh,
giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến
thức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán.
*) NL toán học được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và gắn liền
với) các hoạt động của HS nhằm giải quyết những nhiệm vụ HT trong môn Toán:
xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài toán,
…
b) Một số thành phần đặc trưng của tư duy toán học ảnh hưởng đến
năng lực toán học
Để thuận lợi cho việc nghiên cứu những vấn đề liên quan đến NLGQVĐ
như đề xuất các NL thành tố và các BPSP ở các phần sau của luận văn, chúng tôi
thấy cần thiết phải phân tích, làm rõ một số loại tư duy dưới đây.
a) Tư duy trực giác
Khái niệm trực giác được đề cập từ lâu và có những cách hiểu khác nhau,
điều đó chứng tỏ vai trò quan trọng trong quá trình nhận thức và sáng tạo khoa
học. Theo đại bách khoa toàn thư Xôviết thì trực giác là năng lực nhận thức chân
lí bằng cách xét đoán trực tiếp mà không có sự biện giải bằng chứng minh. Theo
Cruchetxki thì nhiều trường hợp, sự bừng sáng đột ngột của học sinh có năng lực
có thể giải thích bởi ảnh hưởng vô thức bởi kinh nghiệm quá khứ mà cơ sở của
chúng là năng lực khái quát hóa các đối tượng, các quan hệ, các phép toán toán
học và năng lực tư duy bằng cấu trúc rút gọn.
Các tài liệu khác nhau, hiểu trực giác toán học theo nhiều nghĩa khác nhau
và trong thực tế cũng tồn tại nhiều dạng khác nhau; nó có thể coi là sự bừng sáng
đột ngột, chưa nhận thức được, có thể là trực quan cảm tính và cũng có thể là kết
16
quả của sự vận động không có ý thức các cách thức hoạt động khái quát và các
cấu trúc rút gọn.
J. Bruner đã viết: “Thông thường tư duy trực giác dựa trên cơ sở quen biết
với những kiến thức cơ bản trong lĩnh vực đang xét với cơ cấu của lĩnh vực này.
lôgíc là thứ tư duy chặt chẽ, không mâu thuẫn, nó không chỉ là thực hiện giải
quyết vấn đề, mà còn là phương hướng GQ. Ta sẽ thấy rằng, nếu hiểu một cách
đầy đủ thì tư duy lôgíc đóng vai trò quan trọng trong việc PH và GQVĐ, nó
chứng đựng cả những thao tác tiền lôgíc, như mò mẫn, dự đoán, bác bỏ, khẳng
định, đặt giả thuyết. Theo các tác giả Koliagin, Oganhexian, Lukankin, Xanhixki
là: “Tư duy lôgíc được đặc trưng bởi kĩ năng đưa hệ quả từ những tiền đề, kĩ năng
phân chia ra trường hợp riêng và phối hợp chúng lại để khảo sát một cách toàn
diện vấn đề đang xét, kĩ năng dự đoán về mặt lí thuyết một kết quả cụ thể nào đó”
[80].
Theo quan điểm trên, tư duy lôgíc chứa đựng ba thành phần cơ bản đó là:
suy diễn, dự đoán, chia trường hợp riêng. Tuy nhiên, mức độ của từng thành phần
ấy thì không được định chuẩn một cách rõ ràng, bởi như đối với dự đoán chẳng
hạn, cũng có nhiều mức độ, đối với suy diễn thì cũng có những cái trực tiếp và
gián tiếp.
Vấn đề dự đoán trong tư duy lôgíc thường gặp nhiều trong DH toán ở
trường PT, như các bài toán quĩ tích hình học phẳng, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất
của các hàm số khi chưa có công cụ đạo hàm, đặc biệt là những dự đoán về
phương hướng GQ bài toán. Chẳng hạn đối với rất nhiều phương trình, hệ
phương trình, nếu đi theo con đường truyền thống như: đặt ẩn phụ, biến đổi tương
đương, phương pháp thế, … thì không thể giải được, nhưng nếu đoán ra yếu tố
then chốt là bài toán sẽ được giải theo phương pháp không mẫu mực (đánh giá hai
vế chẳng hạn); thì sẽ thành công.
Xét ví dụ dưới đây, mô tả lại quá trình mày mò, suy luận để tìm lời giải của
một HS có NL toán học.
Ví dụ 1.2: Giải phương trình:
x
x
x
1
2
hiện dáng dấp của BĐT Cauchy, Nhưng BĐT này lại chỉ áp dụng cho các số
không âm; nên dẫn tới đánh giá như sau:
Khi
0
<
x
thì
VT
x
xVP <<+= 0
1
nên phương trình vô nghiệm.
Khi
0>x
thì theo BĐT Cauchy
VT
x
xVP ≥≥+= 2
1
, nên phương trình tương
đương với hệ điều kiện:
1
2
1
22
2cos
=⇔
Bài toán vừa xét chỉ có thể dạy cho HS ở lớp 12 trong chương trình phân
ban mới, khi mà họ đã học xong khái niệm lũy thừa của một số thực, phương
trình mũ. Nhưng không có nghĩa là đến bây giờ mới có những bài toán mà HS
giải theo cách này, mà ngay từ các lớp THCS các em cũng đã làm quen với kiểu
bài như trên, chẳng hạn: giải hệ phương trình:
+
=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
x
y
y
y
x
x
duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính
độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp.
Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã
tạo ra nó” [79].
Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G. Polya cho rằng: "Một tư duy gọi là có
hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là
sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này.
Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có
dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: lúc
những cố gắng của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho
những bài toán khác. Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián
tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi
ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả".
Chẳng hạn “con gà đẻ trứng vàng” của Fermat: “Phương trình x
n
+ y
n
= z
n
không có nghiệm nguyên dương với số tự nhiên n >2”. Ở lề của cuốn sách
“Arithmetica” của Diophantus, Pierre de Fermat viết: “Khi n = 4 biểu thức trên
có nghĩa, và với số n đồng dạng cũng vậy. Tôi có một phương pháp rất hay để
chứng minh cho định lí này nhưng không thể viết ra đây vì lề cuốn sách quá
hẹp”” [87, tr. 35]. Tuy không đưa ra được lời giải cho bài toán nhưng các kết quả
toán học có được khi đi tìm lời giải bài toán của các nhà toán học nhiều thế hệ, đã
cho những lí thuyết toán học mới với những ý nghĩa to lớn, (cũng nói thêm rằng,
việc chứng minh định lí đó cũng chỉ mới được Andrew Wiles công bố vào 1994
với độ dày 200 trang, và lí thuyết chứng minh hết sức phức tạp vượt qua kiến
21
thức mà nhân loại có được thời Fermat sống, có dựa vào một phần của “Giả
Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng
minh mà học sinh đó chưa biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo
giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp
lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp.
Nói chung tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới
độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.
Ví dụ 1.3: Xét ví dụ mà qua đó thể hiện những cách nhìn khác nhau trong
việc chứng minh một định lí toán học của những HS có NL toán học nhất định, và
ở góc độ nào đó cũng có thể coi là sáng tạo trong giải.
“Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:
2
3
coscoscos
≤++
CBA
”.
Cách 1: HS vận dụng tính chất quen biết trong hoàn cảnh mới khi có
những phần tương tự:
HS đã biết tính chất:
−∈∀
+
≤+
2
;
zyx
; (2)
dấu bằng xảy ra khi x = y = z.
Sự di chuyển nhanh của tư duy khi áp dụng vào tam giác ABC, ta được:
2
3
3
cos3coscoscos =
++
≤++
CBA
CBA
; dấu bằng xảy ra khi:
CBA ==
. (ở
đây các góc A, B, C tuy không thỏa mãn điều kiện (2.1) nhưng do bị hạn chế bởi
góc trong tam giác giác nên vẫn có kết quả tương tự).
Cách 2: Hướng suy nghĩ xuất trong đầu những HS có kiến thức khá phong
phú, khi thấy được sự xuất hiện các giá trị cosin của góc trong tam giác, gợi ý đến
dùng tích vô hướng của các vectơ được xây dựng trên cơ sở các cạnh của tam
23
giác có giá là các đường chứa cạnh (theo chúng tôi cách giải này có những nét
độc đáo nhất định khi nghĩ được như vậy). Dẫn tới cách giải sau:
Chọn ba vectơ
kji ==
sao cho:
1=== kji
(đvđd) như Hình 1.3.
Khi đó ta có:
Cauchy) khi đoán được dấu “=”, theo chúng tôi cách giải này có nhiều nét độc
đáo.
Ta có:
BABABACBA sinsincoscoscoscoscoscoscos
+−+=++
2
3
2
sincos
2
sincos
2
1
cos
2
sinsin
2
)cos1(cos
cossinsin)cos1(cos
2222
2222
=
+
+
+
+≤
+
+
2
3
2
sin21
2
cos
2
cos2
2
≤−+
−+
⇔
CBABA
0
2
1
2
sin
2
cos2
2
sin2
2
≥+
−
−⇔
CBAC
−⇔
BABABACC
0
2
sin
4
1
2
cos
2
1
2
sin
2
2
≥
−
+
−
−
⇔
BABAC
, luôn đúng.
coscoscos
2
2
≥+
−
−⇔
≤−+
−+
⇔
≤++
CBAC
CBABA
ICBA
Để (I) đúng thì điều kiện cần và đủ là (3) đúng.
25
Copyright: Tài liệu đại học ©