ÔN thi vo lớp 10 theo Chuyên đề

WWW.VNMATH.COM
Mục lục

Mục lục 1
Phần I: đại số 2
Chuyên đề 1: Căn thức Biến đổi căn thức 2
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
2
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức. 2
Dạng 3: Bi toán tổng hợp kiến thức v kỹ năng tính toán 3
Chuyên đề 2: Phơng trình bậc hai v định lí Viét. 5
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai.
5
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm 5
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc
hai cho trớc.
6
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm. 7
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho trớc 8
Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số 8
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số 9
Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc hai 9
Chuyên đề 3: Hệ phơng trình 11
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn: 11
Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản v đa đợc về dạng cơ bản 11
Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ 11
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc 11

Chuyên đề 6: Các bi toán về tính số đo góc v số đo diện tích 25
Chuyên đề 7: Toán quỹ tích. 26
Chuyên đề 8: Một số bi toán mở đầu về hình học không gian 26

www.vnmath.com

2
Phần I: đại số
Chuyên đề 1: Căn thức Biến đổi căn thức.
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
Bi 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau).
3x16x 14)
x2x
1
)7
x5
3x
3x
1
13)
x7
3x
6)
65xx
1
12)
27x
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức.
Bi 1: Đa một thừa số vo trong dấu căn.
22
x
7
x e) ;
x25
x
5)(x d) ;
5
2
x c) 0);x (với
x
2
x b) ;
3
5
5
3
a)



Bi 2: Thực hiện phép tính.
33
3;
3
33










Bi 4: Thực hiện phép tính.
62126,5126,5 e)
77474 d) 25353 c)
535)(3535)(3 b) 1546)10)(15(4 )


a

www.VNMATH.com
www.vnmath.com

3

Bi 5: Rút gọn các biểu thức sau:
53
53
53
53
d)
65
625

10099
1

43
1
32
1
21
1
c)
34710485354b) 4813526a)









Bi 7: Rút gọn biểu thức sau:
4
3y6xy3x
yx
2
e)
)4a4a(15a
12a
1
d)


























Bi 8: Tính giá trị của biểu thức








a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 -
3 ).
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P.
Bi 2: Xét biểu thức
1.
a
a2a
1aa
aa
A
2






a) Rút gọn A.
b) Biết a > 1, hãy so sánh A với
A
.
c) Tìm a để A = 2.
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

4

b
:
ba
a
1
ba
a
M














a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị M nếu
.
2
3
b
a


b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bi 6: Xét biểu thức
.
x3
1x2
2x
3x
6x5x
9x2
Q










a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của Q cũng l số nguyên.
Bi 7: Xét biểu thức


yx
xyyx
:

1aaaa
a2
1a
1
:
1a
a
1A























x1
2x3
3x2x
11x15
P










a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x sao cho
.
2
1
P

c) So sánh P với
3
2
.
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

5

2
2( 3 - 1)x - 2 3 = 0.
Bi 2: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
1) 3x
2
11x + 8 = 0 ; 2) 5x
2
17x + 12 = 0 ;
3) x
2
(1 + 3 )x + 3 = 0 ; 4) (1 - 2 )x
2
2(1 + 2 )x + 1 +
3
2 = 0 ;
5) 3x
2
19x 22 = 0 ; 6) 5x
2
+ 24x + 19 = 0 ;
7) (
3 + 1)x
2
+ 2 3 x + 3 - 1 = 0 ; 8) x
2
11x + 30 = 0 ;
9) x
2
12x + 27 = 0 ; 10) x
2

2(2m 1)x
3 + m = 0
9) ax
2
+ (ab + 1)x + b = 0.
Bi 2:
a) Chứng minh rằng với a, b , c l các số thực thì phơng trình sau luôn có nghiệm:
(x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = 0
b) Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì phơng trình sau có hai nghiệm
phân biết:
x) (ẩn 0
cx
1
bx
1
ax
1







c) Chứng minh rằng phơng trình: c
2
x
2
+ (a
2

cx
2
+ 2ax + b = 0 (3)
b) Cho bốn phơng trình (ẩn x) sau:
x
2
+ 2ax + 4b
2
= 0 (1)
x
2
- 2bx + 4a
2
= 0 (2)
x
2
- 4ax + b
2
= 0 (3)
x
2
+ 4bx + a
2
= 0 (4)
Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất 2 phơng trình có nghiệm.
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

6
c) Cho 3 phơng trình (ẩn x sau):
















với a, b, c l các số dơng cho trớc.
Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất một phơng trình có nghiệm.
Bi 4:
a) Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0.
Biết a 0 v 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phơng trình đã cho có hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) có hai nghiệm nếu một
trong hai điều kiện sau đợc thoả mãn:
a(a + 2b + 4c) < 0 ;
5a + 3b + 2c = 0.

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của

1
C
;xxB ;xxA








Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm l
1x
1
v
1x
1
21

.
Bi 2: Gọi x
1
; x
2
l hai nghiệm của phơng trình: 5x
2
3x 1 = 0. Không giải phơng
trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
.
x4xx4x

2
2
1
2
1
2
21
3
22
2
1
3
1


















www.vnmath.com

7
b) Với m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mãn
1
22
2
11
x
1
xy v
x
1
xy
.
Bi 5: Không giải phơng trình 3x
2
+ 5x 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:

2
2
1
1
21
1
2
2
1
1221
x

thoả mãn: y
1
= 2x
1
x
2
; y
2
=
2x
2
x
1

Bi 7: Cho phơng trình 2x
2
3x 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy thiết lập phơng
trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:






Bi 8: Cho phơng trình x
2
+ x 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy thiết lập phơng trình
ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:
















0.5x5xyy

1
21

Bi 9: Cho phơng trình 2x
2
+ 4ax a = 0 (a tham số, a 0) có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy
lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:
21
2121
21
xx
y
1
y
1
v
x
1
x
1
yy


2
224
2





.
Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.
b) Cho phơng trình: (m
2
+ m 2)(x
2
+ 4)
2
4(2m + 1)x(x
2
+ 4) + 16x
2
= 0. Xác
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

8
định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.

Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 thoả mãn

x
2
nhận
giá trị nhỏ nhất.
Bi 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) (m + 1)x
2
2(m + 1)x + m 3 = 0 ; (4x
1
+ 1)(4x
2
+ 1) = 18
b) mx
2
(m 4)x + 2m = 0 ; 2(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
x
2

c) (m 1)x
2
2mx + m + 1 = 0 ; 4(x
1
2

= 1
b) x
2
4mx + 4m
2
m = 0 ; x
1
= 3x
2

c) mx
2
+ 2mx + m 4 = 0 ; 2x
1
+ x
2
+ 1 = 0
d) x
2
(3m 1)x + 2m
2
m = 0 ; x
1
= x
2
2

e) x
2
+ (2m 8)x + 8m

nghiệm x
1
; x
2
sao cho biểu thức
)xx2(1xx
3x2x
R
21
2
2
2
1
21



đạt giá trị lớn nhất. Tìm
giá trị lớn nhất đó.
c) Định m để hiệu hai nghiệm của phơng trình sau đây bằng 2.
mx
2
(m + 3)x + 2m + 1 = 0.
Bi 5: Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0).
Chứng minh rằng điều kiện cần v đủ để phơng trình có hai nghiệm m nghiệm ny
gấp đôi nghiệm kia l 9ac = 2b
2
.

; x
2
thoả mãn: - 1 < x
1
< x
2
< 1.
Bi 2: Cho f(x) = x
2
2(m + 2)x + 6m + 1.
a) Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

9
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) =
0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Bi 3: Cho phơng trình bậc hai: x
2
+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
a) Với giá trị no của tham số a, phơng trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.
b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Bi 4: Cho phơng trình: x
2
+ 2(m 1)x (m + 1) = 0.
a) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 v một nghiệm lớn hơn
1.
b) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bi 5: Tìm m để phơng trình: x
2

2
(m 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phơng
trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vo tham số m.
Bi 3: Cho phơng trình: x
2
2mx m
2
1 = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vo m.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn:
2
5
x
x
x
x
1

2
thì: 4x
1
x
2
3(x
1
+ x
2
) + 2 = 0.

Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc hai.
Kiến thức cần nhớ:
1/ Định giá trị của tham số để phơng trình ny có một nghiệm bằng k (k 0) lần một
nghiệm của phơng trình kia:
Xét hai phơng trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
ax
2
+ bx + c = 0 (2)
trong đó các hệ số a, b, c, a, b, c phụ thuộc vo tham số m.
Định m để sao cho phơng trình (2) có một nghiệm bằng k (k 0) lần một nghiệm của
phơng trình (1), ta có thể lm nh sau:
i) Giả sử x
0
l nghiệm của phơng trình (1) thì kx
0
l một nghiệm của phơng trình

ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (4)
Hai phơng trình (3) v (4) tơng đơng với nhau khi v chỉ khi hai phơng trình có cùng
1 tập nghiệm (kể cả tập nghiệm l rỗng).
Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với
nhau ta xét hai trờng hợp sau:
i) Trờng hợp cả hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức l:







0
0
)4(
)3(

Giải hệ trên ta tịm đợc giá trị của tham số.
ii) Trờng hợp cả hai phơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:









-
Bi 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x
2
(3m + 2)x + 12 = 0
4x
2
(9m 2)x + 36 = 0
Bi 2: Với giá trị no của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó:
a) 2x
2
+ (3m + 1)x 9 = 0; 6x
2
+ (7m 1)x 19 = 0.
b) 2x
2
+ mx 1 = 0; mx
2
x + 2 = 0.
c) x
2
mx + 2m + 1 = 0; mx
2
(2m + 1)x 1 = 0.
Bi 3: Xét các phơng trình sau:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
cx
2

2
+ 2x + m = 0 (2)
a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b) Định m để hai phơng trình tơng đơng.
c) Xác định m để phơng trình (x
2
+ mx + 2)(x
2
+ 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bi 7: Cho các phơng trình:
x
2
5x + k = 0 (1)
x
2
7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các
nghiệm của phơng trình (1).

Chuyên đề 3: Hệ phơng trình.
A - Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản v đa đợc về dạng cơ bản
Bi 1: Giải các hệ phơng trình








024y3x
4)
106y4x
53y2x
3) ;
53y6x
32y4x
2) ;
5y2x
42y3x
1)

Bi 2: Giải các hệ phơng trình sau:


















103y-6x
8
3yx
2-5y7x
4) ;
7
5x6y
y
3
1x
2x
4
27y
5
3
5x-2y
3)
;
121x3y33y1x
543y4x42y3-2x
2) ;
4xy5y54x
6xy32y23x
1)

Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ
Giải các hệ phơng trình sau

































13.44yy548x4x2

3
2yx
4
3
2xy
1
2yx
2
1)
22
2
2Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc

www.VNMATH.com
www.vnmath.com

12
Bi 1:
a) Định m v n để hệ phơng trình sau có nghiệm l (2 ; - 1).









2
y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
(câu hỏi tơng tự với S = xy).
f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn nằm trên
một đờng thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bi 4: Cho hệ phơng trình:






5my2x
13mmyx1m

a) Giải v biện luận hệ theo m.
b) Với các giá trị nguyên no của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y < 0.
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) m P = x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x
2
+ 2y = 0. (Hoặc: sao cho
M (x ; y) nằm trên parabol y = - 0,5x
2
).

Giải các hệ phơng trình sau:
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

13









































35yyxx
30xyyx
10)
5xyyx5
6yxyx
9)
yx7yxyx
yx19yxyx
8)
6yx
232yxyx
7)
31xyyx
101y1x
6)

Dạng 2: Hệ đối xứng loại II
Ví dụ: Giải hệ phơng trình







x21y
2y1x
3
3

Bi tập tơng tự:
Giải các hệ phơng trình sau:































8x3yy
8y3xx
8)
y
3
x
1
2y
x
3
y
1
2x
7)

22
22
2
2















3x7yy
3y7xx
10)
x3yy
y3xx
9)
3
3
2
2




































141y5y8x2x
61y3y8xx
15)
084y4xyx
084y4xyx
14)
5y3xxy
1yxxy
13)
02y3xxy
02y2xxy
12)
183y2x
362y3x
11)
40yx
53y2x
10)
0222
12
9)
02
0
8)
02
022
7)

2
yxyyx
xyyx
yx
yx
xy
yx
yx
yxyx
yx
yxyx
xyxy
xyyx
xyxyx
xxxy
yxxy
yxyx
xyx
yxChuyên đề 4: Hm số v đồ thị.

Dạng 1: Vẽ đồ thị hm số
Bi 1: Vẽ đồ thị các hm số sau:
a) y = 2x 5 ; b) y = - 0,5x + 3
Bi 2: Vẽ đồ thị hm số y = ax
2
khi:
a) a = 2 ; b) a = - 1.

A v B từ đó suy ra phơng trình đờng thẳng AB.
Bi 2: Cho hm số
2
x
2
1
y
a) Khảo sát v vẽ đồ thị (P) của hm số trên.
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) v tiếp xúc với (P).
Bi 3:
Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P):
2
x
4
1
y v đờng thẳng (D): y = mx - 2m - 1.
a) Vẽ độ thị (P).
b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
Bi 4: Cho hm số
2
x
2
1
y
a) Vẽ đồ thị (P) của hm số trên.
b) Trên (P) lấy hai điểm M v N lần lợt có honh độ l - 2; 1. Viết phơng trình
đờng thẳng MN.
c) Xác định hm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng
MN v chỉ cắt (P) tại một điểm.

Bi 2:
Một ngời đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trớc. Sau
khi đợc
3
1
quãng đờng AB ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng
còn lại. Tìm vận tốc dự định v thời gian xe lăn bánh trên đờng, biết rằng ngời đó đến
B sớm hơn dự định 24 phút.
Bi 3:
Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại
ngợc từ B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút. Tính
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

16
khoảng cách giữa hai bến A v B. Biết rằng vận tốc dòng nớc l 5 km/h v vận tốc
riêng của canô lúc xuôi v lúc ngợc bằng nhau.
Bi 4:
Một canô xuôi một khúc sông di 90 km rồi ngợc về 36 km. Biết thời gian xuôi
dòng sông nhiều hơn thời gian ngợc dòng l 2 giờ v vận tốc khi xuôi dòng hơn vận
tốc khi ngợc dòng l 6 km/h. Hỏi vận tốc canô lúc xuôi v lúc ngợc dòng.
Dạng 2: Toán lm chung ln riêng (toán vòi nớc)
Bi 1:
Hai ngời thợ cùng lm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu ngời
thứ nhất lm trong 5 giờ v ngời thứ hai lm trong 6 giờ thì cả hai ngời chỉ lm đợc
4
3
công việc. Hỏi một ngời lm công việc đó trong mấy giờ thì xong?
Bi 2:
Nếu vòi A chảy 2 giờ v vòi B chảy trong 3 giờ thì đợc

Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều di lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện
tích tăng 500 m
2
. Nếu giảm chiều di 15 m v giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm
600 m
2
. Tính chiều di, chiều rộng ban đầu.
Bi 3:
Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm v 3 cm thì diện tích
tam giác tăng 50 cm
2
. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm
2
.
Tính hai cạnh góc vuông.
Dạng 5: Toán về tìm số.
Bi 1:
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hng
chục v hng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
www.VNMATH.com
www.vnmath.com

17
Bi 2:
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hng đơn vị của nó v nếu số
cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì đợc thơng l 4 v số d l 3.
Bi 3:
Nếu tử số của một phân số đợc tăng gấp đôi v mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng
4
1

1x
3x
2x
x
a)
22












Dạng 2: Phơng trình chứa căn thức.









3x44xx1x d) 4x xxx22xx c)
32xx12x2x b) 3xx1x a)
224224
22



Dạng 4: Phơng trình trùng phơng.
Giải các phơng trình sau:
a) 4x
4
+ 7x
2
2 = 0 ; b) x
4
13x
2
+ 36 = 0;
c) 2x
4
+ 5x
2
+ 2 = 0 ; d) (2x + 1)
4
8(2x + 1)
2
9 = 0.
Dạng 5: Phơng trình bậc cao.
Giải các phơng trình sau bằng cách đa về dạng tích hoặc đặt ẩn phụ đa về phơng trình
bậc hai:

– 2x)
2
– 2(x
2
– 2x) – 3 = 0 c) (x
2
+ 4x + 2)
2
+4x
2
+ 16x + 11 = 0

7.3xx53xxk) 6
3x2x
13x
35x2x
2x
i)
0
x
4
3
x
10
x
48
3
x
h) 02433x2x513x2x3 g)
064xx
































2
– x + 1)
2
+ 9x
4
= 0
Bμi tËp vÒ nhμ:
Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:

8
23xx
22x
9x
32xx
d)
4x
2x
x
4
22x
c)
6
x
3x
1x
4x
b)
4
1
1x

4
– 34x
2
+ 225 = 0 b) x
4
– 7x
2
– 144 = 0
c) 9x
4
+ 8x
2
– 1 = 0 d) 9x
4
– 4(9m
2
+ 4)x
2
+ 64m
2
= 0
e) a
2
x
4
– (m
2
a
2
+ b

3
– 6x
2
+ 12x – 5)
2

d) (x
2
+ x – 2)
2
+ (x – 1)
4
= 0
e) (2x
2
– x – 1)
2
+ (x
2
– 3x + 2)
2
= 0
4.
a) x
4
– 4x
3
– 9(x
2
– 4x) = 0 b) x

2
+ 2x – 8 = 0 d) x
3
+ 2x
2
+ 3x – 6 = 0
e) x
3
– 2x
2
– 4x – 3 = 0
6.
a) (x
2
– x)
2
– 8(x
2
– x) + 12 = 0 b) (x
4
+ 4x
2
+ 4) – 4(x
2
+ 2) – 77 = 0
c) x
2
– 4x – 10 - 3

6x2x  = 0 d)

www.VNMATH.com
www.vnmath.com

19
7.
a) (x + 1)(x + 4)(x
2
+ 5x + 6) = 24 b) (x + 2)
2
(x
2
+ 4x) = 5
c)
026
x
1
x16
x
1
x3
2
2









8.
1xx1xx f) 3x2x14x4x e)
2x43xx d) 2x16x2x c)
1x9x2x b) 14x4xx a)
32322
32
22




9. §Þnh a ®Ó c¸c ph−¬ng tr×nh sau cã 4 nghiÖm
a) x
4
– 4x
2
+ a = 0 b) 4y
4
– 2y
2
+ 1 – 2a = 0
c) 2t
4
– 2at
2
+ a
2
– 4 = 0.
1
) v
(O
2
) lần lợt tại M v N.
a) Chứng minh tam giác MHN l tam giác vuông.
b) Tứ giác MBCN l hình gì?
c) Gọi F, E, G lần lợt l trung điểm của O
1
O
2
, MN, BC. Chứng minh F cách đều 4
điểm E, G, A, H.
d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E vạch một đờng nh thế no?
Bi 4:
Cho hình vuông ABCD. Lấy B lm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đờng tròn phía trong hình
vuông.Lấy AB lm đờng kính , vẽ 1/2 đờng tròn phía trong hình vuông. Gọi P l điểm
tuỳ ý trên cung AC ( không trùng với A v C). H v K lần lợt l hình chiếu của P trên
AB v AD, PA v PB cắt nửa đờng tròn lần lợt ở I v M.
a) Chứng minh I l trung điểm của AP.
b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui.
c) Chứng minh PM = PK = AH
d) Chứng minh tứ giác APMH l hình thang cân.
đ) Tìm vị trí điểm P trên cung AC để tam giác APB l đều.

Chuyên đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng
nằm trên một đờng tròn.
Bi 1:
Cho hai đờng tròn (O), (O') cắt nhau tại A, B. Các tiếp tuyến tại A của (O), (O') cắt
(O'), (O) lần lợt tại các điểm E, F. Gọi I l tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF.

Gọi I l giao điểm của AC v DE, K l giao điểm của BC v DF. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp đợc.
b) CD
2
= CE. CF
c)* IK // AB
Bi 6:
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đờng tròn. Vẽ
hai đờng cao BD v CE.
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh rằng xy// DE, từ đó suy ra OA
DE.
Bi 7:
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O). Trên cung nhỏ AB lấy một điểm M.
Đờng thẳng qua A song song với BM cắt CM tại N.
a) Chứng minh rằng tam giác AMN l tam giác đều.
b) Chứng minh rằng MA + MB = MC.
c)* Gọi D l giao điểm của AB v CM. Chứng minh rằng:
MD
1
MB
1
AM
1


Bi 8:
Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm giữa A v C. Một đờng tròn (O) thay đổi đi
qua B v C. Vẽ đờng kính MN vuông góc với BC tại D ( M nằm trên cung nhỏ BC).Tia
AN cắt đờng tròn (O) Tại một điểm thứ hai l F. Hai dây BC v MF cắt nhau tại E.

Bi 11:
Cho tam giác ABC vuông ở A ( AB < AC), đờng cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D
sao cho HD = HB. Vẽ CE vuông góc với AD ( E
AD).
a) Chứng minh rằng AHEC l tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AB l tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC.
c) Chứng minh rằng CH l tia phân giác của góc ACE.
d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA. CH v cung nhỏ AH của
đờng tròn nói trên biết AC= 6cm,
ACB = 30
0
.
Bi 12:
Cho đờng tròn tâm O có đờng kính BC. Gọi A l Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC),
D l điểm thuộc bán kính OC. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F.
a) Chứng minh rằng ADCF l tứ giác nội tiếp.
b) Gọi M l trung điểm của EF. Chứng minh rằng
AME = 2 ACB.
c) Chứng minh rằng AM l tiếp tuyến của đờng tròn (O).
d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA v cung nhỏ AC của đờng
tròn (O) biết BC= 8cm,
ABC = 60
0
.
Bi 13:
Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R. Điểm M thuộc nửa đờng tròn. Vẽ
đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H l tiếp điểm). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với
đờng tròn (M) ( C, D l tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng C, M, D thẳng hng
b) Chứng minh rằng CD l tiếp tuyến của đờng tròn (O).

Bi 2:
Từ một điểm C ở ngoi đờng tròn ( O) kể cát tuyến CBA. Gọi IJ l đờng kính vuông
góc với AB. Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) tại M, N.
a) Chứng minh rằng IN, JM v AB đồng quy tại một điểm D.
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại M, N đi qua trung điểm E
của CD.
Bi 3:
Cho hai đờng tròn ( O; R) v ( O'; R' ) tiếp xúc ngoi tại A ( R> R' ). Đờng nối tâm OO'
cắt đờng tròn (O) v (O') theo thứ tự tại B v C ( B v C khác A). EF l dây cung của
đờng tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm I của BC, EC cắt đờng tròn (O') tại D.
a) Tứ giác BEFC l hình gi?
b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hng.
c) CF cắt đờng tròn (O) tại G. Chứng minh ba đờng EG, DF v CI đồng quy.
d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng tròn (O).
Bi 4:
Cho đờng tròn (O) v (O) tiếp xúc ngoi tại C. AC v BC l đờng kính của (O) v
(O), DE l tiếp tuyến chung ngoi (D
(O), E (O)). AD cắt BE tại M.
a) Tam giác MAB l tam giác gì?
b) Chứng minh MC l tiếp tuyến chung của (O) v (O).
c) Kẻ Ex, By vuông góc với AE, AB. Ex cắt By tại N. Chứng minh D, N, C thẳng hng.
d) Về cùng phía của nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đờng tròn đờng kính AB v OO.
Đờng thẳng qua C cắt hai nửa đờng tòn trên tại I, K. Chứng minh OI // AK.

Chuyên đề 4: Chứng minh điểm cố định.

Bi 1:
Cho đờng tròn (O ; R). Đờng thẳng d cắt (O) tại A, B. C thuộc d ở ngoi (O). Từ điểm
chính giữa P của cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB tại D. CP cắt (O) tại điểm thứ
hai I, AB cắt IQ tại K.

c) Kẻ dây AE//MC. Chứng minh tứ giác BECN l hình bình hnh.
d) Đờng thẳng d đi qua N v vuông góc với BM. Chứng minh d luôn đi qua điểm cố định.
Bi 5:
Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) tại hai điểm C v D. Điểm M tuỳ ý trên
d, kẻ tiếp tuyến MA, MB. I l trung điểm của CD.
a) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đờng tròn.
b) Gọi H l trực tâm của tam giác MAB, tứ giác OAHB l hình gì?
c) Khi M di đồng trên d. Chứng minh rằng AB luôn qua điểm cố định.
d) Đờng thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lợt tại E v K. Chứng minh
EC = EK.

Chuyên đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng v chứng minh đẳng thức
hình học.

Bi 1:
Cho đờng tròn (O) v dây AB. M l điểm chính giữa cung AB. C thuộc AB, dây MD qua C.
a) Chứng minh MA
2
= MC.MD.
b) Chứng minh MB.BD = BC.MD.
c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB tại B.
d) Gọi R
1
, R
2
l bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD v ACD. Chứng
minh R
1
+ R
2

www.VNMATH.com
www.vnmath.com

25
Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox đặt đoạn OA = a. Dựng đờng tròn (I ; R) tiếp xúc với
Ox tại A v cắt Oy tại hai điểm B, C. Chứng minh các hệ thức:
a)
222
a
1
AC
1
AB
1
.
b) AB
2
+ AC
2
= 4R
2
.

Chuyên đề 6: Các bi toán về tính số đo góc v số đo diện tích.
Bi 1:
Cho hai đờng tròn (O; 3cm) v (O;1 cm) tiếp xúc ngoi tại A. Vẽ tiếp tuyến chung
ngoi BC (B
(O); C (O)).
a) Chứng minh rằng góc OOB bằng 60
0

EB. M l một điểm trên đoạn AE sao cho AM.AE = AO.AB.
a) Chứng minh
AOM vuông tại O.
b) OM cắt đờng tròn ở C v D. Điểm C v điểm E ở cùng một phía đối với AB.
Chứng minh
ACM đồng dạng với AEC.
c) Chứng minh AC l tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEM.
d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm v AEC l
3
2
. Tính AC, AE, AM, CM theo R.