TRƯỜNG THPT THÀNH PHỐ CAO LÃNH
TÀI LIỆU
ÔN THI VÀO CÁC LỚP CHUYÊN
MÔN TOÁN
Năm học 2010-2011
Giáo viên biên soạn và giảng dạy
:
Huỳnh Chí Hào
2. Đa thức đồng nhất:
a) Đa thức đồng nhất:
Đònh nghóa : Đa thức đồng nhất là những đa thức luôn luôn có cùng giá trò với bất cứ giá trò
nào của biến số.
Nếu P(x) và Q(x) là hai đa thức đồng nhất ta ký hiệu :
P(x) Q(x)
P(x) Q(x) x : P(x) Q(x) b) Đa thức đồng nhất không:
Đònh nghóa : Đa thức đồng nhất không là những đa thức luôn luôn bằng 0 với bất cứ giá trò
nào của biến số
Nếu P(x) đa thức đồng nhất không ta ký hiệu :
P(x) 0
P(x) a x a x a x a 0
.
.
a0Ví dụ: Tìm các hằng số A, B, C sao cho
2
2
3x 3x 3 A x 2 B x 1 x 2 C x 1
với mọi x
Ví dụ: Tìm các hệ số a, b để đa thức
432
P(x) x 2x ax 2x b=+ + ++
là bình phương của một đa thức
nb0
ì
-=
ï
ï
ï
ï
+-=
ï
ï
ï
í
ï
-=
ï
ï
ï
ï
-=
ï
ï
ỵ
Giải hệ ta được:
m1
n1
a3
b1
ì
=
đn
a là một nghiệm của P(x) P(a) 0
Ví dụ: Cho phương trình
432
2x 5x 6x 5x 2 0
(1)
Chứng minh rằng
x1
là nghiệm của phương trình (1)
4. Phép chia đa thức:
Đònh lý
: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) khác không. Tồn tại duy nhất đa thức h(x) và r(x) sao cho
P(x) Q(x).h(x) r(x)
Trong đó
r(x) 0 hoặc r(x) 0 và bậc của r(x) nho
û
hơn bậc của Q(x)
Đa thức Q(x) gọi là thương và đa thức r(x) gọi là dư của phép chia P(x) cho Q(x)
Ví du 1ï: Tìm thương và dư của phép chia đa thức
Từ (2) và (3) ta suy ra được
1
a3;b
2
==-
.
5. Đònh lý BEZOUT (Bơ -Du) (1739 - 1783)
Đònh lý BEZOUT
:
Đònh lý: Trong phép chia P(x) cho (x - a) thì số dư là R = P(a)
Chứng minh:
Chia đa thức P(x) cho (x - a), giả sử được thương là Q(x) và dư là hằng số R. Ta có:
()
P(x) x a .Q(x) R=- + với mọi x
Do đó với x = a thì
P(a) 0.Q(a) R R P(a)=+= (đpcm)
6. Sơ đồ HOOCNE Horner 1786 - 1837)
Để tính các hệ số của đa thức thương và dư của phép chia đa thức
nn1
nn1 10
P(x) a x a x a x a cho (x - a) ta có thể dùng sơ đồ HOOCNE sau đây n
a
n1
a
n2
a
1
a
a
0
a
n
b
Khi đó:
n1 n2
nn1 1
0
P(x) (x a).Q(x) r
Thương là : Q(x) b x b x b
Dư là : r b
Ví dụ 1: Tìm thương và dư của phép chia đa thức
32
P(x) 2x 9x 12x 4
cho đa thức
x1
Ví dụ 2: Tìm thương và dư của phép chia đa thức
Ví dụ: Rút gọn phân thức
32
32
x4xx4
A
x7x14x8
Hết
() 2ab a abb
3.
22
()()ab abab
4.
33 2 23 33 3
() 3 3 ()3() ab a ab ab b a b ab abab
5.
33 2 23
() 3 3ab a ab ab b
6.
33 2 2
()( )ab abaabb
7.
33 2 2
()( )ab abaabb 8.
2222
() 222a b c a b c ab ac bc
3333 2 2 2 2 2 2
333
9) (a b c) a b c 3a b 3ab 3a c 3ac 3b c 3bc 6abc
2
22
22
2
22
2
22
2x 1 1 2x 2
1) A
4x 2 4x 2 1 4x
4x x 3 2x 3 x
x9
2) B
9x 1
2x 3 x 4x x 3
Ví dụ 2: 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bước 2: Chỉ ra các biến để
A
mBước 3: Kết luận GTNN của A là m
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu
222
abcabbcca thì
abc
II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1: Cho
2
x2 2 24x 3xx 1
M3:
3x x1 x1 3x
æö
+ +
÷
ç
ï
ì
ï
ï
¹¹
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ïï
+¹ ¹-
íí
ïï
ïï
ïï
-¹
ïï
ï
î
¹
ï
ï
ï
î
Khi đó:
()() ()
3x
æö
+ +
÷
ç
=+- -
÷
ç
÷
ç
èø
++
+++- - - -+
=-
++
+
=-
++
+- + -+
=-
+-
+-+
=-
-
=
-
=
2) Ta có:
M0 x10 x1<-<<
13
Mx1
=
-
Để
1
M
Î
khi x Î thì ta phải có:
x1- là ước của 3
x11
x2
x0
x1 1
x4
x1 3
x2
x1 3
é
-=
é
=
ê
ê
ê
ê
=
-=-
+-
÷
ç
÷
=++-
ç
÷
ç
÷
ç
+- - + -
èø
Bài giải
:
Điều kiện của biến là :
x0
x1
³
ì
ï
ï
í
¹
ï
ï
î
3a 3a 3 1 1 1
P2:
aa2 a1a2 a1
3a 3a 3 a 2 a 1 2 a a 2
1
:
a1a2 a 1
a3a2 1
:
a1a2 a 1
a2(a1)
.a 1 a 1
a1a2
æö
+-
÷
ç
=++-
÷
ç
÷
֍
+- - + -
èø
+-+++ +-
=
-+ -
++
=
-+ -
BI TP TNG T T GII:
Bi 1
: Cho biu thc:
xx 1 x 1 x
M:x
x1 x1 x1
ổửổử
+-
ữữ
ỗỗ
=- +
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ốứốứ
-
Tỡm cỏc giỏ tr ca x M cú ngha, khi ú hóy rỳt gn M.
ỏp s:
x0
ỗỗ
ốứốứ
-+ - - +
Tỡm cỏc giỏ tr ca x M cú ngha, khi ú hóy rỳt gn M.
ỏp s:
x0
x1
x4;M
x4
x9
ỡ
ù
ù
ù
+
ù
ù
ạ=
ớ
ù
-
ù
ù
ạ
ù
ù
ợ
xx1
1
x
4
ỡ
ù
ù
ù
ù
ù
ù
ù
ạ=
ớ
ù
-+
ù
ù
ù
ạ
ù
ù
ù
ợBi 4: Cho biu thc:
2x 9 2x 1 x 3
M
BÀI TẬP TỰ LUYỆNBài 1
: Cho
0
x
i:
Ta ln có hệ thức:
n1 n n1
n1 n n1
111 1
xxxx
x
xx x
+-
+-
ỉưỉưỉ ư
÷÷ ÷
ççç
÷÷ ÷
+=+ +-+
ççç
÷÷ ÷
ççç
÷÷ ÷
ççç
èøèøè ø
với
n1>
Cho
n2= ta sẽ có:
32
32
1111
xxxx
3
Aa 3a=-
()
2
2
33642
3
43 753
43
1
B x 2 a 3a 2 a 6a 9a 2
x
11 1
Cx x x a7a14a7a
xx x
ỉư
÷
ç
=+ -=- -=-+-
÷
ç
÷
ç
èø
ỉưỉưỉư
÷÷ ÷
çç ç
=+ +-+=-+ -
÷÷ ÷
çç ç
Ta có:
54 3
54 3
1111
xxxx
xxxx
ỉưỉưỉư
÷÷ ÷
çç ç
+= + +-+
÷÷ ÷
çç ç
÷÷ ÷
çç ç
èøèøèø
Do:
2
2
2
11 1
xx2729x3
xx x
ỉư
÷
ç
+=++=+=+=
÷
ç
÷
+= + -=-=
÷
ç
÷
ç
èø
Nên
54 3
54 3
1111
x x x x 47.3 18 123
xxxx
ỉưỉưỉư
÷÷ ÷
çç ç
+= + +-+ = -=
÷÷ ÷
çç ç
÷÷ ÷
çç ç
èøèøèøBài 2: Cho ba số x,y,z thỏa mãn đồng thời :
2
2
2
210
z10
ì
ï
+=
ï
ï
ï
ï
+++++=+====-
í
ï
ï
ï
+=
ï
ï
ỵ
Vậy
() () ()
2009 2009 2009
A1113=- +- +- =- Bài 4: Cho
4
432
16
4 8 16 16
a
422
22 4
a
M
aaa a
a
aaaa
aaa
aaa
V
ới
a2¹
thì
a2
A
a2
+
=
-
é
-= =
êê
êê
-=- =
êê
êê
-=- =
êê
êê
-= =
êê
êê
-=-
êê
êê
-= =
ë
ë
=-
êê
Đối chiếu với điều kiện của a ta có đáp số là: a0;a1;a3;a4;a6===== Bài 6
: Chứng minh rằng:
1)
111
Áp dụng: Tính các tổng sau:
1)
111 1
1.2 2.3 3.4 . 1
n
S
nn
2)
()( )
n
11 1
S
2.5 5.8 3n 1 3n 2
=+++
-+
3)
111 1
2x
22 2
=-+
ỉư
÷
ç
=-++-
÷
ç
÷
ç
èø
ỉư
÷
ç
= ³-
÷
ç
÷
ç
èø
Dấu đẳng thức xảy ra khi
3
x
2
=
. Vậy
7
min A
min A 36=-Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
A x xy y 3x 3y 2012=++ + Bài giải:
Biến đổi biểu thức 4A
()
()( )
22
2222
22
4A 4x 4xy 4y 12x 12y 4.2012
x 2xy y 3 x y 4 2xy 4x 4y 4.2012 12
x y 3 x y 2 4.2009
A 2009
=++ +
=+ ++ +++ + -
=- + +- +
³
Dấu đẳng thức xảy ra khi
xy 0
x1
xy20
y1
2
A
A (thường dùng)
2
AA A0
. . (A 0;B 0)AB A B
(A 0 , B 0)
AA
B
B
2
(B0)AB A B Chú ý:
A
có nghóa khi
0
A
3
3
3
A
BAB
Ví dụ 1
: 1) Tính:
1
A 20 3 45 125
5
2) Rút gọn biểu thức:
a1 a1 4a4
B:
a1
a1 a1
với
Ví dụ 3
: Cho biểu thức
a1 12
K:
a1
a1a a a1
1) Rút gọn biểu thức K.
2) Tính giá trị của K khi
a322 II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1: Chứng minh đẳng thức :
23 5 13 48
1
62
2
2
23
62
23 31 22 3 8 43 6 2
1
62 62 62 62 6
3
62
2
1
Bài 2: Chứng minh đẳng thức :
2
3
1
44
33
11
22
13
11
2
VT
2323
22
31 3 3 3 3
222
2 3 2 3 (2 3)(3 3) (2 3)(3 3) 3 3 3 3
1
66
3333
44
22
44
44
44
526 5206
49 20 6 49 20 6
VT(1)
22
526 5206
2
32 32
2
3232
2 3
2
Bài 4: Cho a 0 . Chứng minh rằng :
22
Hướng dẫn:
Đặt ẩn phụ:
ax=Bài 6: Rút gọn biểu thức : 5329125A
Đáp số:
A1=Bài 7: Thu gọn biểu thức :
23684
234
P
Đáp số: P1 2=+
Bài 8: Cho
22
1
11
xxxx
M
x
xx xx
Bài 10: Cho
2
11
21 21
x
. Tính giá trò của biểu thức :
4 3 2 2007
(21)Axxx x
Hướng dẫn:
+ Rút gọn x
+ Thay x vào A
Bài 11: Tính giá trò của biểu thức :
4 2 2007
P(x 4x 3)
với giá trò
310 9
x(103)
619610
Hướng dẫn:
+ Rút gọn x
+ Thay x vào A
Suy ra x là nghiệm của phương trình
3
x3x180
2) Giải phương trình (1) được
x3=
Bài 13: Chứng minh rằng
33
125 125
x39 39
27 27
là một số nguyên.
Hướng dẫn:
Giải tương tự bài 12
Bài 14: Chứng minh rằng số :
0
223 6323x
là một nghiệm của phương trình :
42
16 32 0xx
.
Bài giải:
Biến đổi phương trình:
xx
x
x
Vậy
0
x
là nghiệm của phương trình
42
16 32 0xx
Bài 18:
1) Chứng minh rằng :
()
111
n1n nn1 n n1
=-
+++ +
2) Tính tổng:
11 1 1
S
2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100
=+ + ++
++ + +
Chuyên đề 4:
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
Nhắc lại:
1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng
a) Chuyển vế một biểu thức từ vế này sang vế kia (nhớ đổi dấu của biểu thức).
b)
Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với một hằng số (khác 0) hoặc với một biểu thức
(khác khơng).
c)
Thay thế một biểu thức bởi một biểu thức khác bằng với biểu thức đó.
Chú ý: Sử dụng dấu
khi thực hiện các phép biến đổi tương đương.
Lưu ý:
a
b
x
Nếu a = 0 thì (2) trở thành 0.x = -b
* Nếu b
0 thì phương trình (1) vô nghiệm
* Nếu b = 0 thì phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x
Tóm lại :
a 0 : phương trình (1) có nghiệm duy nhất
a
b
x
a = 0 và b
0 : phương trình (1) vô nghiệm
a = 0 và b = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x
Áp dụng
:
Ví dụ : Giải các phương trình sau:
2
mx 2 x 2m
(1) nghiệm đúng với mọi x
0
0
b
a
Áp dụng:
Ví dụ :
1) Với giá trò nào của a, b thì phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
0)1(
24
bxaxa
2) Với giá trò nào của m thì phương trình sau có nghiệm
xm x2
x1 x1
0
thì pt (1) có nghiệm số kép
12
2
b
xx
a
(
'
12
b
xx
a
)
Nếu 0 thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
b
x
a
(
''
1,2
b
x
a
2
0ax bx c
(1) (
0a
)
Pt (1) vô nghiệm
0
Pt (1) có nghiệm kép 0
Pt (1) có hai nghiệm phân biệt 0
Pt (1) có nghiệm ( hoặc có hai nghiệm)
0
Đặc biệt :
Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < 0 thì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
4. Đònh lý VIÉT đối với phương trình bậc hai:
Đònh lý thuận: Nếu phương trình bậc hai :
2
Đònh lý đảo : Nếu có hai số ,
x
y mà
x
yS
và . P
x
y
)4(
2
PS
thì ,
x
y là nghiệm của
phương trình 2
XS.XP0-+= Ý nghóa của đònh lý VIÉT:
Cho phép tính giá trò các biểu thức đối xứng của các nghiệm và xét dấu các nghiệm mà không cần
giải phương trình .
Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x
1
1
25
2
5
1
10
2
10
110
1
4
4521
4
2
4
1
4
2
4
1
5
2
5
1
9
2
9
19
42
4
17
32
3
3
2
3
1
23
2
3
1
6
2
6
16
1
2
23
21
2
2
2
1
2
2
2
1
3
2
3
21
2
2
2
12
211
P2Sxx2)xx(xxS
SPSS)xx(xx)xx)(xx(xxS
P2Sxx2)xx(xxS
SPSS)xx(xx)xx)(xx(xxS
P2Sxx2)xx(xxS
SPSS)xx(xx)xx)(xx(xxS
P2
Sxx2)xx(xxS
PS3S)xx(xx3)xx(xxS
P2Sxx2)xx(xxS
SxxS
Tính tương tự cho: S
2
2
2
1
xx b) B =
3
2
3
1
xx
c) C =
4
2
4
1
xx
d) D =
5
2
5
1
xx ; e) E =
6
2
6
1
xx
Ví dụ 3: Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình:
083x4x
2
Tính giá trò của các biểu thức:
2
3
1
3
21
2
221
2
1
xx5xx5
x6xx10x6
Q
c) Chứng minh rằng :
198)21()21(
66
5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai:
a. Đònh lý:
Xét phương trình bậc hai :
2
0ax bx c
(1) (
0
a
)
Pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt
> 0
P > 0
S > 0
22
() ( )
24
b
f x ax bx c a x
aa
Ví dụ
: Tìm giá trị giá trị nhỏ nhất của tam thức
2
f(x) 2x 5x 12=+-
Ví dụ: Tìm giá trị giá trị lớn nhất của phân thức
2
2
xx1-+Ví dụ: Cho phương trình:
()
2
x2m1x2m40 +-=
1) Chứng minh pt (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
2) Gọi
22
252x xyy xy
d. Dấu cuả nhò thức bậc nhất f(x) = ax+b ( a0)
Bảng xét dấu:
x
b
a
f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a Ví dụ: Giải bất phương trình:
2x 3
0
3x
-
3.Dạng III:
44
()() ( k 0 )xa xb k
Đặt ẩn phụ : t =
2
ab
x
4.Dạng IV
:
432
0ax bx cx bx a
Chia hai vế phương trình cho x
2
Đặt ẩn phụ : t =
1
x
Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC hoặc sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân
tử và đưa pt (1) về dạng tích số :
Sơ đồ Trong đó:
0
x
00
aA,x.AbB, x.BcC, .Cd0
(1)
(x-x
0
)(Ax
2
+Bx+C) = 0
0
2
0 (2)
x
x
Ax Bx C
0
0 0
0
A
ABC B
C
3.Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về dạng đã biết cách giải.
4.Phương pháp 4: Biến đổi phương trình về hệ phương trình .
Đònh lý1: Với
0, 0
A
B
thì
0
0
0
A
AB
( K là hằng số ) thì
A
K
AB
B
K
a b c d
x
0
A B C 0 (số 0)
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN :
Bài 1:
Cho phương trình có ẩn số x :
2
x2(m1)x3m0
2
(m 1)x 2(m 1)x m 0 ( ẩn số là x )
a) Đònh m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này
b) Đònh m để phương trình có hai nghiệm đều âm
Bài 3: Cho phương trình :
22
x(2m3)xm3m0
a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi
b) Đònh m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa 1 < x
1
< x
2
< 6.
Bài 4: Cho phương trình :
2
(m2)x (2m1)x3m 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m
b) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia
Bài 5: Cho phương trình :
2
x4xm10
a) Đònh m để phương trình có nghiệm.
b) Đònh m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
2
thỏa mãn :
a)
12 12
Ax x 3xx đạt giá trò lớn nhất.
b)
22
1212
Bx x xx đạt giá trò nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
Bài 9: Cho phương trình :
22
x4x(m3m)0
a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Xác đònh m để :
22
12 12
xx4(xx)
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y
1
, y
2
2
là 2 nghiệm của phương trình . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:P=
22
12
xx
.
Bài 11:
Cho phương trình :
22
2330mx mx m m (1)
a) Đònh m để phương trình (1) vô nghiệm
b) Đònh m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
thoả mãn :
12
1xxBài 12: Cho phương trình :
2
2( 1) 2 4 0xmxm
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x
1
,x
2
32
61160xx x
2.
32
429240xx x
3.
32
220xxx
Bài 15:
Cho phương trình bậc ba :
322 2
(2 1) (3 6 2) 3 4 2 0 (1)xmxmmxmm
1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có ba nghiệm phân biệt x
1
,x
2
,x
3
trong đó x
1
=1
với mọi m
2. Xác đònh m để biểu thức P =
123
x
xx
đạt giá trò nhỏ nhất. Tìm giá trò nhỏ nhất đó và các nghiệm
x
1
2
48 4
10( )
33
xx
x
x
Bài 17:
Cho phương trình :
42
240xmx
Tìm giá trò của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x
1
,x
2
,x
3
,x
4
thoả mãn
4444
1234
32xxxx
Copyright: Tài liệu đại học ©