Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Môn toán
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn
Phần I
tổng hợp kiến thức cơ bản
I. Các phép biến đổi về căn thức
1. Hằng đẳng thức đáng nhớ
( )
2
2 2
a b a 2ab b+ = + +
( )
2
2 2
a b a 2ab b = +
( ) ( )
2 2
a b a b a b+ =
( )
3
3 2 2 3
a b a 3a b 3ab b+ = + + +
( )
3
3 2 2 3
a b a 3a b 3ab b = +
( )
( )
3 3 2 2
a b a b a ab b+ = + +
( )
( )


=
A 1
AB (AB 0;B 0)
B B
= >
A A B
(B 0)
B
B
=


m
2
2
C C( A B)
(A 0;A B )
A B
A B
C C( A B)
(A 0;B 0;A B)
A B
A B
=


m
3. Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức

x
2a
=
- Nếu > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
1
b
x
2a

=
;
2
b
x
2a
+
=
3. Hệ thức Viet
: Nếu phơng trình có nghiệm x
1
; x
2
thì S =
1 2
b
x x
a

+ =
; P =


+ = + =
S
2
=
( ) ( )
3
3
3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
3
3abc b
x x x x 3x x x x
a

+ = + + =
S
3
=
( ) ( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
b 4ac
x x x x x x 4x x
a

= = + =
4. ứng dụng hệ thức Viet

2
thì
( ) ( )
2
1 2
ax bx c a x x x x+ + =
d) Xác định dấu các nghiệm số: Cho phơng trình
2
ax bx c 0+ + =
(a 0).
- Nếu
c
0
a
<
thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu
- Nếu
0
c
0
a
>



>


thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu
- Nếu



>



<


thì phơng trình có hai nghiệm âm
5. Các dạng toán cơ bản
:
Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm
Phơng pháp: Điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm là
2
b 4ac =
0 hoặc
c
0
a

Trong trờng hợp cần chứng minh có ít nhất một trong hai phơng trình
2
ax bx c 0+ + =
;
2
a'x b'x c' 0+ + =
có
nghiệm ngời ta thờng làm theo một trong hai cách sau:
Cách 1: Chứng minh

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn
2
Bớc 3: Biểu diễn hệ thức đề bài theo S, P với chú ý rằng
2 2 2
1 2
x x S 2P+ =
;
( )
3 3 2
1 2
x x S S 3P+ =
;
1 2
1 1 S
x x P
+ =
;
2
2 2 2
1 2
1 1 S 2P
x x P

+ =
Dạng 4: Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
Bớc 2: Tính S =
1 2
b
x x

III. Hệ phơng trình
1. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn số
:
Cách 1: Sử dụng phơng pháp cộng đại số:
- Nhân các vế của hai phơng trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai
phơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau
- Sử dụng quy tắc cộng đại số để thực hiện phơng trình mới, trong đó có một phơng trình mà hệ số của một
trong hai ẩn bằng 0 (tức là phơng trình một ẩn số)
- Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đ choã
Cách 2: Sử dụng phơng pháp thế
- Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đ cho để đã ợc hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình
một ẩn
- Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đ choã
2. Hệ phơng trình đối xứng
a) Hệ đối xứng loại I: Nếu ta thay đổi vai trò của x, y thì từng phơng trình không thay đổi
Phơng pháp: Đa về hệ phơng trình theo hai biến mới là: S = x + y và P = xy với điều kiện S
2
4P
b) Hệ đối xứng loại II: Nếu ta thay đổi vai trò của x, y thì phơng trình này chuyển thành phơng trình kia
Phơng pháp: Trừ hai phơng trình với nhau để nhận dợc phơng trình mới có dạng tích số. Chú ý nếu hệ ph-
ơng trình có nghiệm (x
0
; x
0
) (tức là x = y). Nếu hệ phơng trình có nghiệm (x, y) thì phơng trình cũng có nghiệm (y, x)
IV. Phơng trình quy về phơng trình bậc nhất (bậc hai)
1. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu số:
Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa
Bớc 2: Qui đồng mẫu số để đa về phơng trình bậc nhất (bậc hai)
Bớc 3: Giải phơng trình bậc nhất (bậc hai) trên

Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x
5. Phơng trình hồi qui
a) Dạng 1: Phơng trình có dạng
4 3 2
ax bx cx bx a 0+ + + + =
(a 0)
Phơng pháp: Bớc 1: Chia hai vế của phơng trình cho x
2
0
Bớc 2: Đặt
1
t x
x
= +
với điều kiện
t 2
và đa về phơng trình bậc hai ẩn t
Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x
b) Dạng 2: Phơng trình có dạng
4 3 2
ax bx cx bx a 0 + + =
(a 0)
Phơng pháp: Bớc 1: Chia hai vế của phơng trình cho x
2
0
Bớc 2: Đặt
1
t x

d d
x t 2
bx b

+ =
ữ

Bớc 2: Đa về phơng trình bậc hai ẩn t
Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm
7. Phơng trình có dạng
( ) ( )
4 4
x a x b c+ + + =
Phơng pháp: Bớc 1: Đặt t =
a b a b a b
x x a t ;x b t
2 2 2
+
+ + = + + =
Bớc 2: Đa về phơng trình trùng phơng ẩn t
Bớc 3: Giải phơng trình trùng phơng trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm
V. Hàm số
1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0)
- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b trong đó a 0
- Hàm số bậc nhất xác với mọi giá trị x R và có tính chất đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi a < 0
- Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đờng thẳng. Cắt trục tung tại điểm B(0; b). Cắt trục hoành tại điểm
b
A ;0

số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0
- Đồ thị hàm số là một Parabol với đỉnh là góc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
3. Các dạng toán
Dạng 1: Xác định hàm số bậc nhất (phơng trình đờng thẳng)
Phơng pháp: Dựa vào các điểm sau: Nếu điểm A(x
0
; y
0
) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b thì ax
0
+ b = y
0
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn
4
Các kết quả đ nêu ở phần lý thuyết trênã
Dạng 2: Xác định hàm số y = ax
2
(a 0)
Phơng pháp: Dựa vào điểm sau: Nếu điểm A(x
0
; y
0
) thuộc đồ thị hàm số y = ax
2
thì ax
0
2
= y

0
+ v
3
; v
2
= v
0
v
3
trong đó v
1
là vận tốc thuyền đi xuôi dòng, v
2
là vận tốc thuyền đi ngợc dòng, v
0
là vận tốc riêng của thuyền,
v
3
là vận tốc dòng chảy
Dạng 2: Các bài toán về năng suất lao động
Dựa vào quan hệ ba đại lợng: N: năng suất lao động (khối lợng công việc hoàn thành trong một đơn vị thời
gian); t: thời gian để hoàn thành một công việc; s: lợng công việc đ làm thì N = ã
s
t
Dạng 3: Các bài toán về làm chung làm riêng, vòi nớc chảy chung chảy riêng
Dựa vào kết quả sau
- Nếu x giờ (hoặc ngày) làm xong công việc thì mỗi giờ (hoặc ngày) làm đợc
1
x
công việc đó

;
abc 100a 10b c= + +
Dạng 6: Các bài toán liên quan đến tỉ số %
Chú ý các kết quả sau: m% của A nghĩa là
m
.A
100
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn
5
Số A bằng m% số B nghĩa là
A m
B 100
=
hay
m
A .B
100
=
Số A sau khi tăng lên m% thì đợc số mới có giá trị là A +
m
.A
100
Dạng 7: Các bài toán có nội dung hình học
Chú ý đến các hệ thức lợng trong tam giác, các công thức tính chu vi, diện tích của các hình
VII. Các bài toán hình học phẳng
1. Hệ thức lợng trong tam giác vuông
a) Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH ta có
b
2

cạnh đối
- Với hai góc và phụ nhau ta có
sin = cos cos = sin
tg = cotg cotg = tg
- Một số góc đặc biệt
0 0
1
sin30 cos60
2
= =
0 0
2
sin45 cos45
2
= =
0 0
3
cos30 sin60
2
= =
0 0
tg45 cotg45 1= =
0 0
3
tg30 cotg60
3
= =
0 0
cotg30 tg60 3= =
c) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

- Đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn
6
A
B
C
H
c
b
a
c' b'
h
cạnh kề
c
ạ
n
h

đ
ố
i

- Trong một đờng tròn: Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm. Trong hai dây không bằng
nhau, dây lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn
c) Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn
Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của đờng thẳng và đờng tròn mà ta định nghĩa các vị trí: đờng thẳng và đ-
ờng tròn không giao nhau; tiếp xúc nhau; cắt nhau. ứng với mỗi vị trí trên, khoảng cách d từ tâm đờng tròn đến đờng
thẳng và bán kính R của đờng tròn có các liên hệ: d > R; d = R; d < R. Ta có các định lí
- Nếu một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
- Nếu một đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đờng

chắn
+ Góc tạo bởi giữa tiếp tuyến và dây cung: Cho đờng tròn (O), A là tiếp điểm, xAy là tiếp tuyến của (O) tại A,
AB là một dây cung. Góc tạo bởi tia Ax (hoặc tia Ay) với dây AB đợc gọi là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Số đo
của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nữa số đo cung bị chắn
+ Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn: Mỗi góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn chắn hai cung: một cung nằm
bên trong góc và cung kia nằm bên trong góc đối đỉnh của cung đó. Số đo có đỉnh ở bên trong đ ờng tròn bằng nửa
tổng số đo hai cung bị chắn
+ Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn: Số đo góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn bằng nửa hiệu hai cung bị
chắn
Chú ý: Trong một đờng tròn
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90
0
có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đờng tròn.
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
h) Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn.
- Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d
- Độ dài cung tròn n
0
bán kính R :
Rn
l
180

=
I) Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn
- Diện tích hình tròn: S = R

- Hai dây trơng ứng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn hoặc hai đờng bằng
nhau. Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song
Cách chứng minh: - Chứng minh hai đờng thẳng cùng song song với đờng thẳng thứ ba
- Chứng minh hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba
- Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai góc bằng nhau: ở vị trí so le
trong; ở vị trí so le ngoài; ở vị trí đồng vị.
- Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn
- Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành, chữ nhật, hình vuông,
Dạng 4: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc
Cách chứng minh: - Chúng cùng song song với hai đờng thẳng vuông góc khác.
- Chứng minh chúng là chân đờng cao trong một tam giác.
- Đờng kính đi qua trung điểm của dây và dây không đi qua tâm.
- Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau.
- Tính chất 2 đờng chéo hình thoi, hình vuông
Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đờng thẳng đồng quy.
Cách chứng minh: - Dựa vào tổng hai góc kề bù có tổng bằng 180
0
- Dựa vào hai góc đối đỉnh
- Dựa vào hai đờng thẳng đi qua một điểm cùng song song với đờng thẳng khác
- Dựa vào hai góc bằng nhau có 1 cạnh trùng nhau
- Chứng minh chúng là ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác
trong (hoặc một phân giác trong và phân giác ngoài của hai góc kia)
- Vận dụng định lí đảo của định lí Talet.
Dạng 6: Chứng minh hai tam giác bằng nhau
* Hai tam giác thờng: - Trờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g)
- Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c)
- Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c)
* Hai tam giác vuông: - Có một cạnh và một góc nhọn bằng nhau
- Có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vuông bằng nhau

= 2(ab + bc + ca) (a, b, c là các kích thớc của hình hộp chữ nhật)
V = a. b. c
Các đờng chéo hình hộp chữ nhật d =
2 2 2
a b c+ +
Hình lập phơng: V = a
3
(a là cạnh)
2. Hình chóp
: Hình chóp là hình đa diện có một mặt là đa giác, các mặt khác là tam giác có chung đỉnh. Hình chóp
đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các mặt bên bằng nhau. Hình chóp cụt là phần hình chóp nằm giữa đáy
và thiết diện song song với đáy. Hình chóp cụt từ hình chóp đều gọi là hình chóp cụt đều
Hình chóp đều: S
xq
=
1
2
. n .a. d (n là số cạnh đáy; a là độ dài cạnh đáy; d là độ dài trung đoạn)
S
tp
= S
xq
+ B (B là diện tích đáy)
V =
1
3
. B . h
Hình chóp cụt đều: S
xq
=

2
- Thể tích hình trụ: V = S. h = . R
2
. h (S là diện tích đáy)
4. Hình nón
: Hình nón là hình sinh ra bởi tam giác vuông quay xung quanh một cạnh góc vuông của nó. Hình nón
cụt là phần hình nón giữa đáy và một thiết diện vuông góc với trục
Hình nón: - Diện tích xung quanh: S
xq
= . R. l (R là bán kính đáy; l là đờng sinh)
- Diện tích toàn phần: S
tp
= . R. l + . R
2
- Thể tích: V =
2
1
.R .h
3

(h là chiều cao)
Hình nón cụt: - Diện tích xung quanh: S
xq
= (R
1
+ R
2
). l (R
1
; R

.R
3

IX. Bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị
1. Định nghĩa
: a > b a b > 0 b a < 0 a b a b 0 b a 0
2. Một số tính chất
:
1/
A B
A C
B C
>

>

>

2/ A > B A + C > B + C
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn
9
3/
AC BC,C 0
A B
AC BC,C 0
> >

>

< <

8/
1 1
với AB 0
A B
A B
1 1
với AB 0
A B

< >

>


> <


9/
*
n,m N
n m



>


n m
n m
A A ,A 1

:
( )
2
a b 4ab+
a a
a b a b+ +
a b a b
1 1 4
a b a b
+
+
(với a, b > 0)
1 1 1 9
a b c a b c
+ +
+ +
(với a, b, c > 0)
2
1 2 n 1 2 n
1 1 1 n

a a a a a a
+ + +
+ + +
(Với a
1
, a
2
, , a
n



ữ

Đẳng thức xảy ra a
1
= a
2
= = a
n
Hệ quả: * Nếu a
1
+ a
2
+ + a
n
= S (const) thì
( )
n
1 2 n
S
Max a a a
n

=
ữ

xảy ra a
1
= a

, , a
n
(n 2) và n số dơng
1
,
2
,
n
sao cho
1
+

2
+ +
n
= 1 thì:
1 1 1
1 1 1 1 1 2 2 n n
a .a a a a a

+ + +
Dấu bằng xảy ra a
1
= a
2
= = a
n
b) Bất đẳng thức: CauChy Bunhiakowski Schwarz (CBS)
Dạng tổng quát: Cho 2n số thực tuỳ ý a
1

x
2
+ + a
n
x
n
= c (const) thì
( )
2
2 2 2
1 2 n
2 2 2
1 2 n
c
Min x x x
a a a
+ + + =
+ + +
xảy ra
1 2 n
1 2 n
x x x

a a a
= = =
* Nếu
2 2 2 2
1 2 n
x x x c+ + + =
(const) thì


b b b b b b
+ + +
+ + +
+ + +
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn
10
Phần II
Một số dạng bài tập tự luyện

Bài tập về biểu thức
Bài 1: Cho biểu thức :
a 2 5
P
a 3 a a 6
+
= +
+ +
1
2 a
a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P < 1
Bài 2: Cho biểu thức: P =
x x 3 x 2 x 2
1 :
x 1 x 2 3 x x 5 x 6

+ + +
+ +
ữ ữ
ữ ữ

+


a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P < 1
c) Tìm giá trị của P nếu
a 19 8 3=
Bài 5: Cho biểu thức: P =
2 3 3
a(1 a) 1 a 1 a
: a . a
1 a
1 a 1 a


+

ữ ữ
+
ữ ữ
+
+



a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức M = a.(P-
1
2
)
Bài 6: Cho biểu thức: P =
x 1 2x x x 1 2x x

Bài 8: Cho biểu thức: P =
3
3
2a 1 a 1 a
. a
a a 1 1 a
a 1+ +
ữ

ữ
ữ
ữ
+ + +
a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức P.
1 a
Bài 9: Cho biểu thức P =
x 2 x 1 x 1
1: .
x 1
x x 1 x x 1

+ + +
+
ữ

+

a) Rút gọn P b) Tìm x để P <
1
2
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn
11
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho biểu thức: P =
x 3 x 9 x x 3 x 2
1 :
x 9
x x 6 2 x x 3



ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P < 1
Bài 13: Cho biểu thức : P =
15 x 11 3 x 2 2 x 3
x 2 x 3 1 x x 3
+
+
+ +
a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P=
1

a 1 ab a a 1 ab a
1 : 1
ab 1 ab 1 ab 1 ab 1

+ + + +
+ +
ữ ữ
ữ ữ
+ +


a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P nếu a =
2 3
và b =
31
13
+

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu
a b 4+ =
Bài 17: Cho biểu thức : P =
a a 1 a a 1 1 a 1 a 1
a
a a a a a a 1 a 1 + +
+ +
ữ
ữ

và b =
3
Bài 20: Cho biểu thức : P =
x 2 x 1 x 1
:
2
x x 1 x x 1 1 x

+
+ +
ữ
ữ
+ +

a) Rút gọn P b) Chứng minh rằng P > 0

x
1
Bài 21: Cho biểu thức : P =
2 x x 1 x 2
: 1
x x 1 x 1 x x 1

+ +

ữ ữ
ữ ữ
+ +

a) Rút gọn P b) Tính

x y x y
+



ữ
+
ữ

+

a) Rút gọn P b) Chứng minh P
0
Bài 24: Cho biểu thức P =
1 3 ab 1 3 ab a b
. :
a b a a b b a b a a b b a ab b



+

ữ ữ
ữ ữ
+ + + +



a) Rút gọn P b) Tính P khi a =16 và b = 4
Bài 25: Cho biểu thức: P =


a) Rút gọn P b) Với giá trị nào của x thì P < 1
Bài 27: Cho biểu thức P =
( )
( )
a 1 . a b
3 a 3a 1
:
a ab b a a b b a b 2a 2 ab 2b +
ữ
ữ
+ + + +

a) Rút gọn P b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 28: Cho biểu thức P =
1 1 a 1 a 2
:
a 1 a a 2 a 1+ +

ữ
ữ
ữ



xy 2y x x 2 xy 2 y 1 x


+
a) Rút gọn P b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y = 625 và P < 0,2
Bài 31 : Cho biểu thức : Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x

+ +

ữ
ữ

+ +a) Tìm x để
Q Q>
b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
Bài 32 : Cho biểu thức P =
1 x
x 1 x x
+
+
a) Rút gọn biểu thức sau P. b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =
1
2

2
2
x 1 x 1 x 4x 1 x 2010
.
x 1 x 1 xx 1

+ +
+
ữ
+

.
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa. b) Tìm x Z để A Z
Bài 36 : Cho biểu thức: A =
( )
2 x 2 x 1
x x 1 x x 1
:
x 1
x x x x
+

+

ữ
ữ

+

.


+
+
ữ ữ
ữ ữ
+


a) Rút gọn biểu thức N. b) Tìm giá trị của a để N = -2010
Bài 40 : Cho biểu thức
x x 26 x 19 2 x x 3
P
x 2 x 3 x 1 x 3
+
= +
+ +
a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P khi
x 7 4 3=

c) Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó
Bài 41 : Cho biểu thức
2 x x 3x 3 2 x 2
P : 1
x 9
x 3 x 3 x 3

+
= +
ữ ữ
ữ ữ

1 :
x 9
x x 6 x 2 x 3


+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

với x

0 , x 9, x 4
a) Tìm x để A < 1. b) Tìm
x Z
để A Z
Bài 44: Cho A =
15 x 11 3 x 2 2 x 3
x 2 x 3 1 x x 3
+
+
+ +
với x

0 , x 1.
a) Rút gọn A. b) Tìm GTLN của A.
c) Tìm x để A =
1
2


+
+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn A. b) Tìm
x Z
để A Z
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn
14
Bài 48: Cho A =
2 a 9 a 3 2 a 1
a 5 a 6 a 2 3 a
+ +

+
với a

0 , a 9 , a 4.
a) Tìm a để A < 1 b) Tìm
x Z
để A Z
Bài 49: Cho A =
x x 7 1 x 2 x 2 2 x
:
x 4 x 4
x 2 x 2 x 2

+

với x

0 , y

0, x y
a) Rút gọn A. b) CMR : A

0
Bài 51 : Cho A =
x x 1 x x 1 1 x 1 x 1
x .
x x x x x x 1 x 1

+ +

+ +
ữ
ữ
ữ
+ + Với x > 0 , x 1
a) Rút gọn A. b) Tìm x để A = 6
Bài 52 : Cho A =
( )
x 4 3 x 2 x
:

Bài 54 : Cho A =
3
2x 1 1 x 4
: 1
x 1 x x 1
x 1

+ + ữ
ữ
ữ
+ +



với x

0 , x 1.
a) Rút gọn A. b) Tìm x nguyên để A nguyên
Bài 55: Cho A=
1 2 x 2 1 2
:
x 1
x 1 x x x x 1 x 1


Bài 57 : Cho A =
x 1 x 1 8 x x x 3 1
:
x 1 x 1
x 1 x 1 x 1

+

ữ ữ
ữ ữ

+

với x

0 , x 1.
a) Tính A với x =
6 2 5
b) CMR : A 1
Bài 58 : Cho A =
1 1 x 1
:
x x x 1 x 2 x 1
+

+
ữ
+

với x > 0 , x 1.

+ +

ữ
ữ

+ +

với x

0 , x

1.
a) Rút gọn A. b) CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn
15
c) Tính A khi x = 3 + 2
2
d) Tìm GTLN của A
Bài tập về phơng trình bậc hai
Bài 1: Cho phơng trình :
( )
2
2
m 2x 2 1 2 x m = +
a) Giải phơng trình khi
m 2 1= +
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm
x 3 2=
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
Bài 2: Cho phơng trình :

=+ mxx
có hai nghiệm dơng phân biệt
b)
2
4x 2x m 1 0+ + =
có hai nghiệm âm phân biệt
c)
( )
( )
2 2
m 1 x 2 m 1 x 2m 1 0+ + + =
có hai nghiệm trái dấu
Bài 5: Cho phơng trình :
( )
2 2
x a 1 x a a 2 0 + =
a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
.Tìm giá trị của a để
2 2
1 2
x x+
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 6: Cho b và c là hai số thoả m n hệ thức:ã
1 1 1
b c 2
+ =

Bài 10: Cho phơng trình
( )
2
x 2 m 1 x 2m 5 0 + =
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
Bài 11: Cho phơng trình
( )
2
x 2 m 1 x 2m 10 0 + + + =
(với m là tham số )
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x
1
; x
2
h y tìm một hệ thức liên hệ giữa xã
1
; x
2
mà
không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị của m để
2 2
1 2 1 2
10x x x x+ +
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 12: Cho phơng trình
( )
2

với mọi m; tính nghiệm kép ( nếu có) của phơng trình và giá trị
của m tơng ứng
b) Đặt
2 2
1 2 1 2
A x x 6x x= +
. Chứng minh
2
A m 8m 8= +
.
c) Tìm m để A = 8 và tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng.
d) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
Bài 14: Giả sử phơng trình
2
a.x bx c 0+ + =
có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
. Đặt
n n
n 1 2
S x x= +
(n nguyên dơng)
a) Chứng minh:
n 2 n 1 n
a.S bS cS 0
+ +
+ + =
b) áp dụng Tính giá trị của : A=

x 2 m 1 x m 4m 5 0 + + + =

a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng
c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau
d) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính
2 2
1 2
x x+
theo m
Bài 17: Cho phơng trình
2
x 4x 3 8 0 + =
có hai nghiệm là x
1
; x
2
. Không giải phơng trình, h y tính giá trị của biểuã
thức :
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6x 10x x 6x
M
5x x 5x x

của phơng trình (1) thoả m n hệ : ã
1 2
2 2
1 2
x x 1
x x 7
=


=

Bài 20: Cho phơng trình:
( )
2
x 2 k 2 x 2k 5 0 =
( k là tham số)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của k sao cho
2 2
1 2
x x 18+ =
Bài 21: Cho phơng trình
( )
2
2m 1 x 4mx 4 0 + =
(1)

8m 18m 9 +
. Tìm m sao cho A = 27
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia
Bài 24: Giải và biện luận phơng trình : x
2
2(m + 1) + 2m + 10 = 0
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn
17
Bài 25: Giải và biện luận phơng trình: (m - 3) x
2
2mx + m 6 = 0
Bài 26: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x
2
+ 2007x 2009 = 0 b) 17x
2
+ 221x + 204 = 0
c) x
2
+ (
3 5
)x -
15
= 0 d) x
2
(3 - 2
7
)x - 6
7
= 0

+ x
2
)(3x
2
+ x
1
)
b) Lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là
1
1
x 1
và
2
1
x 1
Bài 29: Cho phơng trình: x
2
( k 1)x - k
2
+ k 2 = 0 (1) (k là tham số)
a) Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
c) Gọi x
1
, x
2
là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x
1
3
+ x

Bài 32: Cho phơng trình : mx
2
2(m-2)x + m 3 = 0 (1) với m là tham số .
a) Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
b) Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
c) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Bài 33: Cho phơng trình : x
2
+ 2kx + 2 5k = 0 (1) với k là tham số
a) Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
b) Tìm k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả m n điều kiện : xã
1
2
+ x
2
2
= 10
Bài 34: Cho phơng trình : x
2
6x + 1 = 0, gọi x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Không giải phơng trình, h y tính:ã
a) x
1

2
= 12 (trong đó x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình).
Bài 36: Cho phơng trình: x
2
2mx + 2m 5 = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
, tìm các giá trị của m để: x
1
2
(1 x
2
2
) + x
2
2
(1 x
1
2
) = -8.
Bài 37: Cho phơng trình: x
2

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả m n xã
1
3
+ x
2
3


0.
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn
18
Bài 40: Cho phơng trình: (m 1)x
2
+ 2mx + m 2 = 0 (*)
a) Giải phơng trình khi m = 1.
b) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 41: Cho phơng trình (2m - 1)x
2
- 2mx + 1 = 0. Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1, 0)
Bài 42: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó:
a) 2x
2
+ (3m + 1)x 9 = 0 và 6x
2
+ (7m 1)x 19 = 0.
b) 2x

+ mx + 2 = 0 (1) và x
2
+ 2x + m = 0 (2)
a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b) Định m để hai phơng trình tơng đơng.
c) Xác định m để phơng trình (x
2
+ mx + 2)(x
2
+ 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 47: Cho các phơng trình: x
2
5x + k = 0 (1) và x
2
7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các nghiệm của phơng trình
(1).
Bài tập về hàm số bậc nhất
Bài 1: a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
b) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành
Bài 2 Cho hàm số y = (m 2)x + m + 3.
a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
b) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
c) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x 1 đồng quy
Bài 3: Cho hàm số y = (m 1)x + m + 3.
a) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -4).
c) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m
Bài 4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
a) Viết phơng trình đờng thẳng AB.

2
.
c) Cắt đờng thẳng -2y + x 3 = 0
d) Song song vối đờng thẳng 3x + 2y = 1
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn
19
Bài 10: Cho hàm số :
2
y 2x=
(P)
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ
c) Xét số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d)
y mx 1=
theo m
d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') đi qua điểm M(0; -2) và tiếp xúc với (P)
Bài 11 : Cho (P)
2
y x=
và đờng thẳng (d)
y 2x m= +
1) Xác định m để hai đờng đó :
a) Tiếp xúc nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hoành độ x= -1. Tìm hoành độ điểm còn lại
Tìm toạ độ A và B
2) Trong trờng hợp tổng quát, giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N. ìm toạ độ trung điểm I của
đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi m thay đổi.
Bài 12: Cho đờng thẳng (d)
2(m 1)x (m 2)y 2 + =


Bài 16: Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng : (d)
y (m 1)x 2= +
(d')
y 3x 1=
a) Song song với nhau b) Cắt nhau c) Vuông góc với nhau
Bài 17: Tìm giá trị của a để ba đờng thẳng : (d
1
): y = 2x 5; (d
2
): y = x + 2; (d
3
): ax - 12 đồng quy tại một điểm trong
mặt phẳng toạ độ
Bài 18: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x + (m - 1)y = 1 luôn đi qua một điểm cố định
Bài 20: Cho (P)
2
1
y x
2
=
và đờng thẳng (d) y=ax + b .Xác định a và b để đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1; 0) và tiếp
xúc với (P).
Bài 21: Cho hàm số
y x 1 x 2= + +
a) Vẽ đồ thị hàn số trên
b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
x 1 x 2 m + + =
Bài 22: Cho (P)
2
y x=

(P) đi qua A
b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d
2
) đi qua A và vuông góc với (d
1
)
c) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d
2
) ; C là giao điểm của (d
1
) với trục tung. Tìm toạ độ của B và C. Tính
diện tích tam giác ABC
Bài 26: Cho (P)
2
1
y x
4
=
và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lợt là -2 và 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d)
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ
x 2;4 sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Bài 27: Cho (P)
2
x
y

và đờng thẳng (d)
y mx 2m 1=

a) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
b) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định
Bài 30: Cho (P)
2
1
y x
4
=
và điểm I(0; -2) .Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số góc m.
a) Vẽ (P) . CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
m R
b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
Bài 31: Cho (P)
2
x
y
4
=
và đờng thẳng (d) đi qua điểm I(
3
;1
2
) có hệ số góc là m
a) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
b) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Bài 32: Cho (P)
2

2
y 2x=
Phơng trình bất phơng trình bậc nhất một ần
Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn
Bài 1: Giải các phơng trình sau đây:
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn
21
a)
x x
2
x - 1 x 2
+ =
+
b)
3
3
2x - 1
x + x +1
= 2
Bài 2: Giải và biện luận phơng trình theo m: (m 2)x + m
2
4 = 0
Bài 3: Tìm m Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên: (2m 3)x + 2m
2
+ m - 2 = 0.
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 7x + 4y = 23.
Bài 4: Giải hệ phơng trình:
a)
2x 3y 5
3x 4y 2

e)
2x 4 0
4x 2y 3
+ =


+ =

f)
2 5
2
x x y
3 1
1,7
x x y

+ =

+



+ =

+


Bài 5: Cho hệ phơng trình :
mx y 2
x my 1

có nghiệm duy nhất là (x; y).
a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
b) Tìm các giá trị của a thoả m n 6xã
2
17y = 5.
c) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức
2x 5y
x y

+
nhận giá trị nguyên.
Bài 8: Cho hệ phơng trình:
x ay 1
(1)
ax y 2
+ =


+ =

a) Giải hệ (1) khi a = 2.
b) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.
Bài 9: Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình
mx y n
nx my 1
=


+ =


b) Giải và biện luận phơng trình theo m.
Bài 12: Cho hệ phơng trình:
x - m y 0
mx 4y m 1
=


= +

(m là tham số).
a) Giải hệ khi m = -1.
b) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên.
c) Xác định mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0.
Bài 13: Tìm m để hệ phơng trình
( )
( )
m 1 x y m 1
x m 1 y 2

+ = +


+ =


Có nghiệm duy nhất thoả m n điều kiện x + y nhỏ nhấtã
Bài 14: Giải hệ phơnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn
22
a)


Bài 15: Cho hệ phơng trình :
2x by 4
bx ay 5
+ =


=

a) Giải hệ phơng trình khi
a b=
b) Xác định a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm (x; y) = (1; -2)
Bài 16: Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m:
mx y 2m
4x my 6 m
=


= +


Bài 17: Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình :
x ay 1
ax y 2
+ =


+ =

a) Có một nghiệm duy nhất b) Vô nghiệm


Bài 21*: Cho a và b thoả m n hệ phã ơng trình
3 2
2 2 2
a 2b 4b 3 0
a a b 2b 0

+ + =

+ =

.Tính
2 2
a b+

Bài 21: Cho hệ phơng trình
(a 1)x y 3
a.x y a
+ =


+ =

a) Giải hệ phơng rình khi a= -
2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả m n điều kiện x + y > 0ã
Giải toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình
1. Toán chuyển động
Bài 1: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km. Cùng một lúc, một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A. Hai xe
gặp nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của mỗi

Bài 10: Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h. Khi đến B ngời đó nghỉ 20 phút rồi quay trở
về A với vận tốc trung bình là 24 km/h. Tính qu ng đã ờng AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.
Bài 11: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h, sau đó ngợc từ B về A. Thời gian đi xuôi ít
hơn thời gian đi ngợc là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 3 Km/h và vận
tốc riêng của ca nô là không đổi .
Bài 12: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 km/h . Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi
còn 60 km nữa thì đợc một nửa qu ng đã ờng AB, ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h trên qu ng đã ờng còn lại. Do
đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính qu ng đã ờng AB.
Bài 13: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II
chạy với vận tốc 24 km/h. Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy. Tính chiều dài qu ng đã ờng
sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc .
Bài 14: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một ngời đi xe máy cũng đi từ A và
đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài 15: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km. Một lần khác, ca nô đó cũng
chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngợc dòng 84 km. Tính vận tốc dòng nớc chảy và vận tốc riêng (thực) của ca
nô.
Bài 16: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của tầu khi n ớc
yên lặng, biết rằng vận tốc dòng nớc là 4 km/h.
Bài 17: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi
theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng ca nô chạy nhanh hơn
thuyền 12 km/h.
Bài 18: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đ định để đi hết qu ng đã ã ờng dài 120 km trong một thời gian đ định. Điã
đợc một nửa qu ng đã ờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên nửa qu ngã
đờng còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng.
Bài 19: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định. Sau khi đi đ ợc 1 giờ ôtô bị
chắn đờng bởi xe hoả 10 phút. Do đó, để đến B đúng hạn, xe phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc lúc đầu
của ôtô.
Bài 20: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đ định. Khi còn cách B 30 km, ngã ời đó nhận thấy rằng sẽ
đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi, nhng nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ tới đích sớm hơn
nửa giờ.Tính vận tốc của xe đạp tren qu ng đã ờng đ đi lúc đầu. ã

Bài 1: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ. Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong
công việc ấy, thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc
ấy trong bao lâu?
Bài 2: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày. Nhng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày
đ vã ợt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đ hoàn thành kế hoạch đ định trong 24 ngày mà còn vã ã ợt mức 104
000 đôi giầy. Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch.
Bài 3: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá, nhng đ vã ợt mức đợc 6 tấn mỗi tuần
nên chẳng những đ hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vã ợt mức kế hoạch 10 tấn. Tính mức kế hoạch đ định ã
Bài 4: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng. Trớc khi làm việc đội xe đó đợc bổ sung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe
chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối
lợng bằng nhau.
Bài 5: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán. Nếu làm chung trong 4 giờ tổ 1 và 6 giờ của tổ 2 thì hoàn
thành đợc
2
3
mức khoán. Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì mỗi tổ phải làm trong bao
lâu ?
Bài 6: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đ định. Họ làm chung với nhau trongã
4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai làm
một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Bài 7: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ hai làm 6
giờ thì họ làm đợc 25% côngviệc . Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong .
Bài 8: Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải điều 3 công nhân đi
làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công
nhân ? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là nh nhau.
Bài 9: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ 2 làm 6 giờ
thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong mấy giời thì xong ?.
Bài 10: Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ 1 vợt 15%.tổ 2 vợt 20%. Do đó cuối
tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản
phẩm