GIẢI BÀI TỔ HỢP BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẾM
BÀI VIẾT THÁNG 11 NĂM 2011
Thầy giáo: Đậu Anh Hùng
Trong chương trình toán phổ thông, các bài toán đếm trong phần tổ hợp đối với hầu hết các học
sinh đều cảm thấy khó khăn khi đi tìm lời giải. Về các bài toán đếm thường rất đa dạng. Trong bài viết
này tác giả cố gắng phân loại một số dạng thường gặp trong chương trình nhằm giúp các em có phần tự
tin hơn khi gặp các bài toán đếm.
A. Sử dụng Phương pháp trực tiếp
Dạng 1. Đếm số tập con của một tập hợp
Cho tập X là hợp của n tập rời nhau
n
AAA ...,,
,21
. Hỏi có bao nhiêu cách chọn k phần tử trong tập
hợp X thoả mãn điều kiện nào đó?
Thường các dạng bài toán này phải chia ra nhiều trường hợp. Để tránh việc học sinh có thể bỏ sót
trường hợp thì có thể dùng hệ phương trình. Ta sẽ làm quen với phương pháp này qua các ví dụ.
Ví dụ 1. (Đề thi Đại học khối B - 2004)
Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình,
15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi có thể lập được bao nhiêu đề thi, mỗi đề gồm5 câu hỏi khác nhau, sao cho
trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?.
Giải
Gọi x, y, z lần lượt là số câu hỏi khó, trung bình, dễ được chọn.
Theo đề bài ta có hệ



≤≤≤<≤<
∈=++
152,100,50
,,,5

Vậy có tất cả
2
15
1
10
2
5
.. CCC
+
2
15
2
10
1
5
.. CCC
+
3
15
1
10
1
5
.. CCC
cách.
Ví dụ 2. (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng cơ khí luyện kim - 2005)
Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, 4 nhà vật lí nam. Cần lập 1 đoàn công tác 3 người có
cả nam và nữ, có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn công tác?
Giải
Gọi x, y, z lần lượt là số nhà toán học nam, số nhà toán học nữ, số nhà vật lí nam được chọn.

xếp các phần tử của A vào các phần tử của B thoả mãn điều kiện nào đó.
Phương Pháp: Ta kiểm tra xem trong hai tập A và B tập nào có ít phần tử hơn thì các phần tử của tập
đó được chọn phần tử của tập còn lại.
Ví dụ 3. (BT3 SGK/54 cơ bản11 ). Giả sử có 7 bông hoa khác màu và 3 lọ hoa khác nhau. Hỏi có bao
nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 3 lọ (mỗi lọ một bông).
Giải.
Tập A gồm 7 phần tử, Tập B gồm 3 phần tử. Như vậy các phần tử của B sẽ chọn các phần tử của
A. Ta xem A gồm 7 vị trí tương ứng với 7 phần tử.
Lấy lọ thứ nhất chọn một vị trí trong 7 vị trí có 7 cách chọn
Lấy lọ thứ hai chọn một vị trí trong 6 vị trí còn lại có 6 cách chọn
Lấy lọ thứ ba chọn một vị trí trong 5 vị trí còn lại có 5 cách chọn.
Vậy có 5.6.7=210 cách cắm 3 bông hoa vào 3 lọ.
Ví dụ 4. (BT5.a SGK/55 cơ bản 11 ). Bạn đọc tự giải
Ví dụ 5. Cho A = {1; 2; 3; 4; 5}. Từ tập A lập được bao nhiêu số:
a. Có 6 chữ số sao cho trong mỗi số đó số 1 xuất hiện 2 lần, các số còn lại xuất hiện đúng 1 lần.
b. Có 7 chữ số sao cho trong mỗi số đó số 1 xuất hiện 4 lần số 2 xuất hiện 2 lần các số khác xuất
hiện nhiều nhất 1 lần
Giải:
a. Xét tập B gồm 6 vị trí
Tập A gồm 5 phần tử, Tập B gồm 6 phần tử. Như vậy các phần tử của A sẽ chọn các phần tử của B.
- Đặt số 5 vào 1 trong 6 vị trí có 6 cách
- Đặt số 4 vào 1 trong 5 vị trí còn lại có 5 cách
- Đặt số 3 vào 1 trong 4 vị trí còn lại có 4 cách
- Đặt số 2 vào 1 trong 3 vị trí còn lại có 3 cách
- Đặt 2 số 1 vào 2 vị trí còn lại có 1 cách
Vậy có 6.5.4.5 = 600 số.
b. Tập B gồm 7 vị trí
- Đặt 3 số 1: Chọn 3 vị trí trong 7 vị trí có
3
7

A
cách.
Vậy có 8!.
2
9
A
cách sắp xếp.
Ví dụ 7. (BT 2.14 SBT/63 cơ bản 11). Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào
10 ghế mà không có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau nếu
a. Ghế sắp thành hàng ngang
b. Ghế sắp quanh một bàn tròn.
Giải
a. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vị trí có 6! cách sắp xếp. Xem mỗi bạn là một vách ngăn tạo thành
7 vị trí. Xếp 4 bạn vào 7 vị trí có
4
7
A
cách. Vậy có 6!.
4
7
A
cách
b. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vòng tròn có 5! cách. Xem mỗi bạn nữ là một vách ngăn tạo thành
6 vị trí. Xếp 4 bạn nữ vào 6 vị trí có
4
6
A
cách.
Vậy có 5!.
4

Ghép 5 quyển sách hoá có 5! cách. Ghép 3 quyển sách Lý có 3! Cách. Theo quy tắc nhân có 5!.3!.8!
cách.
Ví dụ 10. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn , trong đó có An, Bình vào 10 ghế kê thành
hang ngang sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau.
Giải.
Ghép An và Bình thành một phần tử M có 2! cách. Xếp 9 phần tử(gồm 8 bạn còn lại và phần tử M)
vào 9 vị trí có 9! Cách. Vậy theo quy tắc nhân có 2!.9! cách.
Nhận xét.
Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng Ví dụ 6 như sau:
Sắp xếp 10 bạn thành 1 dãy có 10! Cách. Theo VD có 8!.
2
9
A
cách xếp sao cho hai bạn An và Bình
không ngồi cạnh nhau. Do đó có 10!- 8!.
2
9
A
cách sắp xếp sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau. Tuy nhiên
đối với bài toán yêu cầu có nhiều hơn hai phần tử cạnh nhau (hay không cạnh nhau) thì với cách làm
này là khá phức tạp. Vì vậy ta chỉ nên dùng cách này trong trường hợp bài toán yêu cầu có 2 ptử cạnh
nhau (hoặc không cạnh nhau). Phương pháp trên được gọi là phương pháp gián tiếp.
B. Phương Pháp gián tiếp.
Phương pháp này dựa trên nguyên lý “Đếm những cái không cần đếm để biết những cái cần đếm”.
Theo lý thuyết tập hợp thì phương pháp này thực chất là phép lấy phần bù.
Thường phương pháp này được dùng trong những bài toán mà chúng ta khi đếm phải chia ra nhiều
trường hợp hơn khi đếm “phần bù của nó”.
Ví dụ11. (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D - 2006).
Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp T, 4 học sinh
lớp L và 3 học sinh lớp H. Cần chọn ra 4 học sinh tham gia trực tuần sao cho 4 học sinh đó thuộc không

3
1
4
2
5
1
3
2
4
1
5
2
3
1
4
1
5
...... CCCCCCCCC ++
.
Do đó
|C|=
4
12
C
-
1
3
1
4
2

nên |C|=
3
12
C
-
4
3
C
=216
Vâỵ có 216 cách chọn thoả mãn yêu cầu bài toán.
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Từ 6 bông hoa màuvàng, 4 bông hoa màu trắng và 5 bông hoa màu đỏ (các bông hoa đôi một
khác nhau). Người ta chọn một bó hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn trong đó
a. Có đủ 3 màu và số bông hoa màu trắng không ít hơn 3.
b. Có ít nhất 2 bông hoa màu vàng và ít nhất 3 bông hoa màu đỏ.
Bài 2. Có 12 cây giống 3 loại: Mít có 6 cây, Ổi có 4 cây, Xoài có 2 cây. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao
cho số cây Ổi nhiều hơn số cây Xoài.
Bài 3. Một đội văn nghệ có 15 người trong đó có 10 nam và 5 nữ. hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5
người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ.
Bài 4. Từ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vó thể lập được bao nhieu số gồm 6 chữ số khác nhau và tồng các chứ
số hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị bằng 9
Bài 5. (Cao đẳng khối A - 2004). Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 3 cán bộ lớp. Có bao nhiêu
cách chọn 3 em trong lớp để trực tuần sao cho 3 em đó luôn có cán bộ lớp.
Bài 6. Một trường tiểu học có 40 em là học sinh giỏi, trong đó có 4 cặp sinh đôi. Cần chọn ra 3 học sinh
trong số 50 em để dj trại hè. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà không có cặp sinh đôi nào.
Bài 7. Một đội văn nghệ có 15 người trong đó gồm 6 nam và 9 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập một
nhóm đồng ca gồm 7 người sao cho có ít nhất 2 nữ.
Bài 8. Từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà chữ số 3 và 4 đứng
canh nhau.
Bài 9. Từ một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên. Hỏi có bao nhiêu cách