Sở GD & ĐT Hà Nam
TRUNG TÂM GDTX DUY TIÊN
CHUYÊN ĐỀ
HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARÍT
BÙI QUỸ
HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ
MỤC LỤC
1 Kiến thức cơ bản 3
1.1 Luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Luỹ thừa với số mũ nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Căn bậc n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Luỹ thừa với số mũ vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Hàm số luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Tập xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4 Tính chất của hàm số luỹ thừa y = x
α
trên khoảng (0; +∞) . . . . . . . . . 4
1.2.5 Đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 Các quy tắc tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.4 Lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Hàm số mũ, hàm số lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Hàm số mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.2 Hàm số lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Phương trình mũ, phương trình lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7


 
n thừa số
a ∈ R, n ∈ N
∗
,
trong đó a gọ i là cơ số, n gọi là số mũ.
• Luỹ thừa với số mũ nguyên âm, luỹ thừa với số mũ 0:
Cho a > 0, n ∈ N
∗
. Khi đó
a
0
= 1; a
−n
=
1
a
n
.
Chú ý. 0
0
và 0
−n
không có nghĩa.
1.1.2 Căn bậc n
Cho số thực b và số nguyên dương n ≥ 2. Số a được gọi là căn bậc n của số b, kí hiệu
n
√
b nếu

n
√
a
m
có nghĩa thì
a
r
= a
m
n
=
n
√
a
m
.
1.1.4 Luỹ thừa với số mũ vô tỉ
Cho số dương a, α là một số vô tỉ và (r
n
) là một dãy số hửu tỉ sao cho lim
n→+∞
r
n
= α. Khi đó
a
α
= lim
n→+∞
a
r

a
b

α
=
a
α
b
α
;
a
α
a
β
= a
α−β
;
• Nếu a > 1 thì α > β khi và chỉ khi a
α
> a
β
;
• Nếu 0 < a < 1 thì α > β khi và chỉ khi a
α
< a
β
.
1.2 HÀM SỐ LUỸ T HỪA
1.2.1 Định nghĩa
Hàm số y = x

1.2.4 Tính chất của hàm số luỹ thừa y = x
α
trên khoảng (0; +∞)
Ta có các tính chất sau
• Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1);
• Khi α > 0 hàm số luôn đồng biến, khi α < 0 hàm số luôn nghịch biến;
• Đồ thị của hàm số không có tiệm cận khi α > 0. Khi α < 0 đồ thị của hàm số có tiệm cận
ngang là Ox, tiệm cận đứng là Oy.
4
HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ
1.2.5 Đồ thị
Đồ thị của hàm số luỹ thừa y = x
α
trên khoảng (0; +∞) ứng vớ i các giá tr ị khác nhau của α (hình
vẽ).
O
y
x
1
1
α > 1
α = 1
0 < α < 1
α = 1
α < 0
1.3 LÔGARIT
1.3.1 Định nghĩa
Cho hai số a, b với a = 1. Số α thoả mãn đẳng thức a
α
= b được g ọi là lôgarit cơ số a của b và kí

log
a
(b
1
b
2
) = log
a
b
1
+ log
a
b
2
;
log
a
b
1
b
2
= log
a
b
1
− log
a
b
2
.

b;
log
a
b
α
= α log
a
b; log
a
b
2β
= 2β. log
a
|b|;
log
a
n
√
b =
1
n
log
a
b.
• Với a, b, c > 0, a = 1, c = 1, ta có
log
a
b =
log
c

1.4 HÀM SỐ M Ũ, HÀ M SỐ LÔGARIT
1.4.1 Hàm số mũ
• Hàm số y = a
x
(a > 0, a = 1) được gọi là hàm sô mũ cơ số a.
• Hàm số y = a
x
có đạo hàm tại mọi x và (a
x
)

= a
x
ln a. Đặc biệt, (e
x
)

= e
x
.
• Các tính chất
a) Tập xác định của hàm số mũ là R.
b) K hi a > 1 hàm số luôn đồng biến.
Khi 0 < a < 1 hàm số luôn nghịch biến.
c) Đồ thị có tiệm cận ngang là Ox và luôn đi qua các điểm ( 0; 1), (1; a) và nằm phía trên
trục hoành.
1.4.2 Hàm số lôgarit
• Hàm số y = log
a
x (a > 0, a = 1) được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

a
b.
1.5.2 Phương trình lôgarit
• Phương trình lôgarit là phương trình chứa ẩn số dưới dấu lôgarit.
• Phương trình lôgarit cơ bản là phương trình có dạng log
a
x = b (a > 0, a = 1).
Phương trình lôgarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất x = a
b
.
1.5.3 Hệ phương trình mũ và lôgarit
Hệ phương trình mũ là hệ phương trình có chứa ít nhất một phương trình mũ.
Hệ phương trình lôgarit là hệ phương trình có chưa ít nhất một phương trình lôgarit.
1.5.4 Bất phương trình mũ và lôgarit
Bất phương trình mũ cơ bản có một trong các dạng
a
x
> b; a
x
≥ b; a
x
< b; a
x
≤ b,
trong đó a > 0, a = 1.
Để giải bất phương trình mũ cơ bản, ta sử dụng tính chất của hàm số mũ. Chẳng hạn giải bất
phương trình a
x
> b ta làm như sau:
Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R, vì a

x ≥ b; log
a
x < b; log
a
x ≤ b,
7
HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ
trong đó a > 0, a = 1.
Để giải bất phương trình lôgarit cơ bản, ta sử dụng tính chất của hàm số lô garit. Chẳng hạn giải
bất phương trình log
a
x > b, ta làm như sau:
Với a > 1, ta có log
a
x > b ⇔ log
a
x > log
a
a
b
⇔ x > a
b
;
Với 0 < a < 1, ta có log
a
x > b ⇔ log
a
x > log
a
a

−4
;
c) C =
a
√
5+3
.a
√
5(
√
5−1)
(a
2
√
2−1
)
2
√
2+1
; d) D =

a
1
2
− b
1
2

2
:

− 2
2
= 121.
b) B = 6
2
+

1
5

3
4

−4
= 6
2
+ 5
3
= 161.
c) C =
a
√
5+3
.a
√
5(
√
5−1)
(a
2

a
8
a
7
= a.
d) Ta có
D =

a
1
2
− b
1
2

2
:

b − 2b

b
a
+
b
2
a

= (
√
a −

=
(
√
a −
√
b)
2
b.

√
a −
√
b
√
a

2
=
(
√
a −
√
b)
2
b.
(
√
a −
√
b)

√
7
.
8
HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ
Lời giải. a) Đưa các căn thức về cùng căn bậc 12, ta có
4
√
6 =
12
√
6
3
=
12
√
216;
3
√
5 =
12
√
5
4
=
12
√
625.
Mà 216 < 625 nên
4

3
√
30.
c) Ta có

π
5

√
10−3
=

π
5

√
10

π
5

3
.
Lại có 0 < π < 5 nên 0 <
π
5
< 1 và
√
10 > 3, do đó


√
10

π
5

3
< 1.
d) So sánh
√
3 + 1 và
√
7, ta có
(
√
3 + 1)
2
− (
√
7)
2
= 3 + 1 + 2
√
3 − 7 = 2
√
3 − 3.
Hơn nữa
(2
√
3)

2

a
−1
2
− a
3
2

, với a = π − 3
√
2;
b) B = (
3
√
a +
3
√
b)

a
2
3
+ b
2
3
− (ab)
1
3


2
=
a
3
− a
1 − a
2
= −a.
Do đó
A = −(π − 3
√
2) = 3
√
2 − π.
9
HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ
b) Rút gọn B, ta có
B =

a
1
3
+ b
1
3
)

a
1
3

= a + b.
Do đó
B = (7 −
√
2) + (
√
2 + 3) = 1 0.
Bài tập tương tự.
Bài tập 2.1. Tính giá trị các biểu thức
a) A = 4
3+
√
2
.2
1−
√
2
.2
−3−
√
2
;
b) B =
12
3+
√
5
4
2+
√

a
3

a
√
a, (a > 0);
b) B =
7

a
b
5

b
a
, (a, b = 0);
c) C =

a
−1
3
+ a
2
3

.a
2
3
.


= a
11
18
;
b) B =

a
b

1
7
.

b
a

1
35
=

a
b

1
7
.

a
b


2
−

a
−1
3

2

= a
2
3
.

a
4
3
− a
−2
3

= a
2
− 1;
d) Ta có
D = 1 + (a −1)[(
√
a + 1)
2
− (

.a
1
4
.
12
√
a
5
với a = 3, 14;
10
HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ
b) B =
a
1
4
− a
9
4
a
1
4
− a
5
4
−
b
−1
2
− b
3

1
8

π
và

1
8

3,14
; d)

1
π

1,4
và π
−
√
2
.
Hướng dẫn. a)
3
√
10 =
15
√
10
5
>

<

1
8

3,14
.
d) Vì
1
π
< 1 và 1, 4 <
√
2 nên

1
π

1,4
> π
−
√
2
.
2.2 BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LUỸ THỪA
Bài tập về hàm số luỹ thừa bao gồm các dạng như tìm t ập xác định, tính đạo hàm, khảo sát vẽ
đồ thị của hàm số luỹ thừa, so sánh các số dựa vào tính đơn điệu của hàm số luỹ thừa. Sau đây
là các ví dụ.
Ví dụ 2.4. Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số
a) y = (x
3

=
π
3
.(x
3
− 8)

.(x
3
− 8)
π
3
−1
=
π
3
.3x
2
.(x
3
− 8)
π
3
−1
= x
2
(x
3
− 8)
π

3
3
.
Ví dụ 2.5. Viết các số sau theo thứ tự tăng dần
a) 0, 3
π
; 0, 3
0,5
; 0, 3
2
3
; 0, 3
3,15
;
b)
√
2
π
; 1, 8
π
;

1
√
2

π
; π
π
.

;
√
2
π
; 1, 8
π
; π
π
.
Bài tập tương tự.
Bài tập 2.5. Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số
a) y = (x
2
− 3x − 4)
1
4
; b) y = (2 − x
2
)
3
5
;
c) y = (3x
2
− 1)
−2
; d) y =
3
√
1 − x.

; 5
−0,7
; 5
1
3
;

1
5

2,2
.
Hướng dẫn. a) y = x
−2
3
luôn nghịch biến; b) y = 5
x
luôn đồng biến.
12
HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ
2.3 BÀI TẬP VỀ LÔGARIT
Bài tập về lôgarit bao gồm các dạng như tính toán các biểu thức lôgarit, so sánh các biểu thức
chứa lôgarit, chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức mũ, lôgarit, Để giải các bài tập này,
chúng ta chỉ cần sử dụng các qui tắc tính toán của lôgarit.
Ví dụ 2.6. Tính toá n các biểu thức
a) A = log
1
25
5
4

5
−2
5
5
4
= −
1
2
.
5
4
. log
5
5 = −
5
8
.
b) B = 9
1
2
log
3
2−2 log
27
3
= 3
log
3
2−
4

D = log
1
3
6
2
− log
1
3
400
1
2
+ log
1
3
(
3
√
45)
3
= log
1
3
36 − log
1
3
20 + log
1
3
45
= log

d) Tính D = log
√
b
a
3
√
b
√
a
biết log
a
b =
√
3.
Nhận xét. Đối với các bài tập dạng này, chúng ta thường phân tích các lôgarit cần tính và các
lôgarit đã cho về dạng lôgarit cơ số nguyên tố. Thông thường, các lôgarit đó có mối liên hệ với
nhau.
Lời giải. a) Chọn 2 làm cơ số, ta có
A = log
6
16 =
log
2
16
log
2
6
=
4
1 = log

3 + x
.
b) Ta có
B =
lg 30
lg 125
=
lg 10 + lg 3
3 lg
10
2
=
1 + lg 3
3(1 − lg 2)
=
1 + a
3(1 − b)
.
c) Ta có
C = log
6
5 + log
6
7 =
1
1
log
2
5
+

5 =
1
3
log
3
5,
suy ra log
3
5 = 3a, do đó
log
2
5 = log
2
3. log 35 = 3ac.
Mặt khác b = log
8
7 = log
2
3
7 =
1
3
log
2
7 nên log
2
7 = 3b. Do đó
log
3
7 =

Từ giả thiết log
a
b =
√
3 suy ra b = a
√
3
. Do đó
√
b
a
= a
√
3
2
−1
;
3
√
b
√
a
= a
√
3
3
−
1
2
= a

3
= −
√
3
3
(với α =
√
3
2
− 1).
Ví dụ 2.8. Tính
a) A =
1
log
2
x
+
1
log
3
x
+ ···+
1
log
2007
x
với x = 2007!;
b) B = lg tan 1
0
+ lg tan 2

+ lg tan 89
0
= lg(tan 1
0
. tan 89
0
) = lg 1 = 0.
Tương tự, ta có
lg tan 2
0
+ lg tan 88
0
= 0;

lg tan 44
0
+ lg tan 46
0
= 0;
lg tan 45
0
= lg 1 = 0.
Do đó
B = (lg tan 1
0
+ lg tan 89
0
) + (lg tan 2
0
+ lg tan 88

2
= 12ab ⇔ (a + 2b)
2
= 16ab.
Do a, b dương nên a + 2b = 4
√
ab. Khi đó, lấy lôgarit cơ số 10 hai vế ta được
lg(a + 2b) = lg 4 +
1
2
lg(ab)
hay
lg(a + 2b) − 2 lg 2 =
1
2
(lg a + lg b).
b) Giả sử a, b, c đều dương và khác 10. Để biểu diễn c theo a, ta rút lg b từ biểu thức a = 10
1
1−lg b
và thế vào biểu thức b = 10
1
1−lg c
(sau khi lấy lôgarit cơ số 10 hai vế). Ta có
a = 10
1
1−lg b
⇒ lg a =
1
1 − lg b
⇒ lg b = 1 −

15
HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ
Ví dụ 2.10. So sánh
a) log
3
2 và log
2
3; b) log
2
3 và log
3
11;
c)
1
2
+ lg 3 và lg 19 − lg 2; d) lg
5 +
√
7
2
và
lg 5 + lg
√
7
2
.
Nhận xét. Thông thường, để so sánh các lôgarit, chúng ta so sánh chúng với một số nguyên nào
đó.
Lời giải. a) Ta có
log

.
Ta so sánh hai số 3
√
10 và
19
2
. Ta có
(3
√
10)
2
= 9.10 = 90 =
360
4
<
361
4
=

19
2

2
,
vì vậy 3
√
10 <
19
2
. Từ đó suy ra

√
7
2
= 5
√
7;

5 +
√
7
2

2
=
32 + 10
√
7
4
= 8 +
5
2
√
7.
Xét hiệu
8 +
5
2
√
7 − 5
√

√
7, và
lg
5 +
√
7
2
>
lg 5 + lg
√
7
2
.
Ví dụ 2.11. (Chứng minh các bất đẳng thức lôgarit)
16
HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ
a) Không dùng máy tính, chứng minh rằng 2 < lo g
2
3 + log
3
2 <
5
2
;
b) Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng
√
ln a +
√
ln b
2

2).
Mặt khác, ta lại có
log
2
3 + log
3
2 <
5
2
⇔ log
2
3 +
1
log
2
3
−
5
2
< 0
⇔ 2 log
2
2
3 − 5 log
2
3 + 2 < 0
⇔ (2 log
2
3 − 1)(log
2

Suy ra
2(ln a + ln b) ≥ ln a + ln b + 2
√
ln a. ln b = (
√
ln a +
√
ln b)
2
.
Mặt khác
a + b
2
≥
√
ab ⇒ ln
a + b
2
≥
1
2
(ln a + ln b).
Từ đó ta có ln
a + b
2
≥
1
4
(
√

2
log
n+1
n(n + 2) < 1
⇔ log
n+1
n + log
n+1
(n + 2) < 2.
17
HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
2 > log
n+1
n + log
n+1
(n + 2) > 2

log
n+1
n. log
n+1
(n + 2).
Do đó ta có 1 > log
n+1
n. log
n+1
(n + 2), và
log
n

5
√
a; d) D = lg log
1
a
3
5

a
√
a.
Đáp số. a) A =
3
2
; b) B =
5
√
25; c) C =
14
5
; d) D = lg 9 − 1.
Bài tập 2.9. Tính
a) A = log
25
15 theo a = log
3
15;
b) B = log
3
√

2(a − 1)
; b) B = 12a −
9
b
; c) C =
2ac + 1
abc + 2c + 1
; d) D =
11 − 3
√
5
4
.
Bài tập 2.10. (Chứng minh các đẳng thức có điều kiện)
a) Cho các số dương a, b, c (c = 1). Chứng minh rằng a
log
c
b
= b
log
c
a
;
b) Cho a = log
12
18, b = log
24
54. Chứng minh rằng ab + 5(a − b) = 1;
c) Cho các số dương a, b thoả mãn a
2

c
b thì b = c
x
nên
b
log
c
a
= (c
x
)
log
c
a
=

c
log
c
a

x
= a
x
= a
log
c
b
.
b) Tính log

=
√
ab. Lôgarit hai vế với cơ số 10.
Bài tập 2.11. So sánh
a) log
3
5 và log
7
4; b) log
0,3
2 và log
5
3;
c) log
2
10 và log
5
50; d)

1
6

log
6
2−
1
2
log
√
6

d)

1
6

log
6
2−
1
2
log
√
6
5
= (6
−1
)
log
6
2−log
6
5
=
5
2
=
3

125
8

(x − 3) − 1 ≥ 0
⇔



x > 3,
x = 3 ≤
1
3
⇔ 3 < x ≤
10
3
.
Vậy tập xác định của hàm số là D =

3;
10
3

.
19
HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ
Ví dụ 2.13. Vẽ đồ thị các hàm số
a) y = 2, 5
x
; b) y = 0, 5
x
;
c) y = lg x; d) y = log
1

b) Hàm số y = 0, 5
x
là hàm số mũ có cơ số nhỏ hơn 1 nên luôn nghịch biến. Đồ thị hàm số đi qua
các điểm (0; 1), (1; 0, 4) (hình vẽ trên). c) Hàm số y = lg x là hàm số lôgarit có cơ số lớn hơn 1 nên
luôn đồng biến. Đồ t hị đi qua các điểm (1; 0), (10; 1). Đồ thị như sau
yy
x
1
O
O
y
x
1
10
1
y = lg x
1
y = log
1
π
x
1
3
d) Hàm số y = log
1
π
x là hàm số lôgarit có cơ số là
1
π
< 1 nên luôn nghịch biến. Đồ thị hàm số đi

Lời giải. Ta có nhận xét rằng nếu a + b = 1 thì
f(a) + f (b) =
4
a
4
a
+ 2
+
4
b
4
b
+ 2
=
4
a
(4
a
+ 2) + 4
b
(4
b
+ 2)
(4
a
+ 2)(4
b
+ 2)
=
4


f

1
2007

+ f

2006
2007

+

f

2
2007

+ f

2005
2007

+ ···+

f

1003
2007


2
− 3x + 2 + 4 − x); d) y = 2
√
|x−3|−|8−x|
+

−log
0,5
(x − 1)
√
x
2
− 2x − 8
.
Đáp số. a) D = (−∞; −4) ∪ (4; +∞); b) D = (1; +∞);
c) Hàm số xác định khi và chỉ khi

x
2
− 3x + 2 ≥ 0,
√
x
2
− 3x + 2 + 4 − x ≥ 1
⇔ x ≤ 1 ∨ x ≥ 2.
Tập xác định là D = (−∞; 1] ∪[2; +∞).
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi




x − 1 ≥ 1,
x < −2 ∨ x > 4
⇔ x ≥
11
2
.
Tập xác định là D =

11
2
; +∞

.
Bài tập 2.13. Hình dưới đây là đồ thị của 4 hàm số
y = log
√
2
x; y = log
1
e
x;
y = log
√
5
x; y = log
1
3
x.
Hãy chỉ rõ đồ thị tương ứng của mỗi hàm số và giải thích.
yy

2
x < log
√
5
x.
Do đó C
1
là đồ thị của hàm số y = log
√
2
x và C
2
là đồ thị của hàm số log
√
5
x.
Tương tự thì C
3
là đồ thị của hàm số y = log
1
e
x và C
4
là đồ thị của hàm số y = log
1
3
x.
Bài tập 2.14. Từ đồ thị hàm số y = 3
x
, hãy vẽ đồ thị các hàm số

− 2 < 0.
Do đó đồ thị hàm số y = |3
x
− 2| bao gồm:
− Phần đồ thị của hàm số y = 3
x
− 2 ứng với 3
x
− 2 ≥ 0 (nằm phía trên trục hoành);
− Phần đồ thị của hàm số y = 3
x
− 2 ứng với 3
x
− 2 < 0 lấy đối xứng qua trục hoành.
d) Ta có y = 2 −3
x
= −(3
x
−2), do đó, đồ thị của hàm số y = 2 −3
x
đối xứng với đồ thị của hàm
số y = 3
x
− 2 qua trục hoành.
Bài tập 2.15. Tìm giá trị lớn nhất, g iá t rị nhỏ nhất của hàm số y = 2
|x|
trên đoạn [−1; 1].
Hướng dẫn. Trên đoạn [−1; 1] ta có
y = 2
|x|

HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ
− Đưa về cùng một cơ số;
− Đặt ẩn phụ;
− Mũ hoá (hoặc lôgarit hoá).
• Phương pháp đồ thị.
• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ và lôgarit.
Ngoài ra, còn một số phương pháp giải khác như phương pháp biến thiên hằng số, sử dụng định
lí Lag range, định lí Rolle, đánh giá, phương pháp hàm số, Sau đây chúng ta sẽ đi vào từng nội
dung cụ thể.
2.5.1 Đưa về phương trình mũ, phương trình lôgarit cơ bản
Đây là phương pháp rất cơ bản, thường được sử dụng. Các cách để đưa về phương trình mũ, lôgarit
cơ bản là đưa về cùng một cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hoá hoặc lôgarit hoá.
a) Đưa về cùng một cơ số
Ví dụ 2.15. Giải các phương tr ình mũ sau
a) 3
x
2
−4x+5
= 9; b) 1, 5
5x−7
=

2
3

x+1
;
c) 2
2x−1
+ 4


−1
= 1, 5
−1
nên phương trình đã cho có dạng
1, 5
5x−7
= 1, 5
−x−1
.
Vậy 5x − 7 = −x − 1 hay x = 1 là nghiệm của phương trình.
c) Phương trình đã cho tương đương với
1
2
.4
x
+ 16.4
x
= 10 ⇔
33
2
.4
x
= 10 ⇔ 4
x
=
20
33
⇔ x = log
4

2
x ⇔
3
2
x = 9 ⇔ x = 6.
23
HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT BÙI QUỸ
Vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm x = 6.
Chú ý. Muốn đưa các lôgarit về cùng một cơ số, ta thường xem mối liên hệ giữa các cơ số và
thường sử dụng các tính chất sau của lôgarit:
a = log
b
b
a
; lo g
a
b =
log
c
b
log
c
a
.
Ví dụ 2.16. G iả i các phương trình lôgarit sau
a) lg x + lg(x + 9) = 1;
b) lo g
2
x + log
4

x > 0,
x + 9 > 0
⇔ x > 0. Phương trình đã cho tương đương với
lg x(x + 9) = lg 10 ⇔ x(x + 9) = 10 ⇔ x = 1 ∨ x = −10.
Vì x > 0 nên phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất là x = 1.
b) Điều kiện x > 0. Đưa về cùng cơ số 2, ta có
log
2
x + log
2
2
x + log
2
3
x = 11 ⇔ log
2
x +
1
2
log
2
x +
1
3
log
2
x = 11 ⇔
11
6
log

5
3
2
x
3
2
=
11
2
⇔ 3 log
5
x + 3.
1
2
log
5
x +
3
2
.
2
3
log
5
x =
11
2
⇔
11
2

log
2
x
log
2
4
=
log
2
x
log
2
20
⇔ log
2
x.

1 +
1
log
2
3
+
1
2
−
1
log
2
20

x = 2
0
= 1.
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Chú ý. Khi giải phương trình lôgarit, ta phải đặt điều kiện để phương tr ình có nghĩa.
Bài tập tương tự.
Bài tập 2.16. Giải các phương trình mũ sau
a) 7
x−1
= 2
x
; b) 8
4
3
x
3
−2x
2
+2
= 4
x
2
+x+1
;
c) 0, 75
2x−3
=

1
1

3
=
4
3
. Đáp số. x = −2.
d) Phương trình tương đương với 5.5
x
− 5
x
= 2.2
x
+ 2
3
.2
x
. Đáp số. x = 1.
Bài tập 2.17. Giải các phương trình lôgarit sau
a) ln(x + 1) + ln x + 3 = ln(x + 7); b) lg x
4
+ lg 4x = 2 + lg x
3
;
c)
lg(
√
x + 1 + 1)
lg
3
√
x − 40

c) 6.4
1
x
− 13.6
1
x
+ 6.9
1
x
= 0; d) 8
x
+ 18
x
= 2.27
x
.
Lời giải. a) Phương trình đã cho tương đương với
2.(2
x
)
2
− 2
3
.2
x
= 64 ⇔ (2
x
)
2
− 4.2