Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
169

Chuyên đề 8:
HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARÍT

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT

TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:


n
n thừa số
a a.a a



(n Z ,n 1,a R)

  


1
a a

a



m
n
m
n
1 1
a
a
a

 

2. Các tính chất :


m n m n
a .a a



m
m n
n
a
a
a




m n n m m.n

3. Hàm số mũ: Dạng :
x
y a
( a > 0 , a

1 )
 Tập xác đònh :
D R

 Tập giá trò :
T R


(
x
a 0 x R  
)
 Tính đơn điệu:
* a > 1 :
x
y a
đồng biến trên
R

* 0 < a < 1 :
x
y a
nghòch biến trên
R


x x
e e

 
' .ln
x x
a a a
 
' . '
u u
e e u

(với u là một hàm số)
 
' . ln . '
u u
a a a u

(với u là một hàm số) a>1
y=a
x

-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y

y=2
x

y=
x






2
1






0
1
0
N
a
a2. Các tính chất : 
a
log 1 0


a
log a 1


M
a
log a M





a a b
log N log b.log N


a
b
a
log N
log N
log b


* Hệ quả:

a
b
1
log b
log a

và
k a
a
1
log N log N
k



R

* 0 < a < 1 :
a
y log x
 nghòch biến trên

R

 Đồ thò của hàm số lôgarít: Minh họa:
u
u
u

(với u là một hàm số)

 
1
log '
ln
a
x
x a

và
 
1
log '
ln
a
x
x a

 
'
log '
.ln

-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
yy=log
2
x
x
y
x
y
f(x)=ln(x)/ln(2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2

173

5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

1. Đònh lý 1: Với 0 < a

1 thì : a
M
= a
N


M = N

2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a
M
< a
N


M > N (nghòch biến)

3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì : a
M
< a
N


M < N (đồng biến )


a m
(1)

m 0
: phương trình (1) vơ nghiệm

m 0
:
x
a
a m x log m
  

1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : a
M
= a
N

(Phương pháp đưa về cùng cơ số)
Ví du 1 : Giải các phương trình sau :
1)
x 1 2x 1
9 27
 


2)
2
x 3x 2
2 4

1)
2x 8 x 5
3 4.3 27 0
 
  

2)
x x x
6.9 13.6 6.4 0  

3)
x x x
5.2 7. 10 2.5
 

4)
x x
( 2 3 ) ( 2 3 ) 4   

5)




x x
5 2 6 5 2 6 10   

6)
322
2


Bài tập rèn luyện:
1)
4)32()32( 
xx
(
1

x
)
2)
xxx
27.2188 
(x=0)
3)
13
250125


xxx
(x=0)
4)
12
21025


xxx
(x=0)
5)
x x

   

4)
x 3 6 x 3 4
2 x 1 2 x 1
x .2 2 x .2 2
   
 
  

5)
 
2
2 2
x 1
x x 1 x
4 2 2 1

 
  

4. Phương pháp 4: Lấy lơgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó
(Phương pháp lơgarít hóa)
Ví dụ : Giải phương trình
1)
2
x 1 x x 2
3 .2 8.4
 


) thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = g(x))
Phương pháp chiều biến thiên hàm số
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 3
x
+ 4
x
= 5
x

2) 2
x
= 1+
x
2
3

3)
x
1
( ) 2x 1
3
 

4)
3 x 2
2 x 8x 14

   

log x m x a  

1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng :
a a
log M log N
 (đồng cơ số)
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2
2 1
2
1
log log (x x 1)
x
  

2)
 
2
log x(x 1) 1 

3)
2 2
log x log (x 1) 1  

Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
 
x
log (x 6) 3

   

 
x 3; x 3 2 3
   
5)
     
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log x 2 3 log 4 x log x 6
2
     

 
x 2; x 1 33
  
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2
2 2
6 4
3
log 2x log x
 

2)
051loglog

2
5x 5
5
log log x 1
x
 

8)
 
 
 
3
log 9 x 2 3
x 2 9 x 2

  

3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,
Ví dụ : Giải phương trình sau :
log x 2.log x 2 log x.log x
7 7
2 2
   Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
176

2 2
log (x x 6) x log (x 2) 4     

2)
 
6
log x
2 6
log x 3 log x
 

3)
 
2 3
log 1 x log x
 
V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
< a
N
(
, ,  
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

3 6x
4x 11
2
x 6x 8

2
2




2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

x x
2x 1 x
1) 9 2.3 3
2) 5 5 4

 
 

Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2x x 2
2 3.(2 ) 32 0

  

2)
x 3 x
2 2 9

 



xxx
(
2

x
)
Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
177

VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:

1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
a a
log M log N
 (
, ,  
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
2 2
log (x x 2) log (x 3)   

2)
2
0,5 0,5
log (4x 11) log (x 6x 8)   


2 3
3
log log x 3 1

3)
2
3x x
log (3 x) 1

 

4)
x
9
x
log (log (3 9)) 1 

5)
 
 
x
x 3
log log 9 72 1 

6)
)12(log12log4)1444(log
2
555

xx

6 x 12 

4)
2
3
1 4
2
log x log x 2 0  

Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
x
x
2
3 2
log (3 2) 2.log 2 3 0

   

2)
2
2x
x
log 64 log 16 3 

3) 2
3log
3)(log
2
2







6)








4)(log)(log
)
3
1
()3(
22
2
yxyx
yxyx 2)



3)










y
yy
x
xx
x
22
24
452
1
23
8)






5)





4loglog2
5)(log
24
22
2
yx
yx

4
xxx  (
622;2  xx
)
3)
)2(loglog
37
 xx
(x=49)
4) )2(loglog
75
 xx (x=5)
5)
072.32.5
35
13



x
x
(x=1)
6)
3
28
12
2
1
log4log232log 




x
x
x
x
(
2,
2
1
 xx
)
9)
xxxx 26log)1(log
2
2
2

(
2,
4
1
 xx
)
10)
x
x
x
4
4










112
2
1
2
1
36
(
1101

xxx
)
4)
0128
8
1
4
1
13




xx
22
loglog2 
(
2
4
1
 x
)
7)
1)93(loglog
9

x
x
( 10log
3
x )
8)
)13(log
1
)3(log
1
2
2
4



x

2
1
2
3 2
log
2
x x
y
x
 


2.
3 8
0,3
2
log ( 1)
2
2 8
x x
x
y
x x
  
 
 
 DẠNG 2: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số

)
 
       
 
 
 
 
  
 
 
 

Khi đó:

       
 
 
 
1 1 1
2 2 2
2
2
1 1
2 2
2
2
2 2
2
1 log x 1 log x 1 log 7 x 1
1
log x 1 log 7 x


Bài 2: Giải phương trình:
     
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log x 2 3 log 4 x +log x 6 (1)
2
    

Bài giải:
Điều kiện:
x 2 0 x 2
6 x 4
4 x 0 x 4
x 2
x 6 0 x 6
 
 
   
 

  
 

 

 
    

log 4 x 2 log 4 x x 6
4 x 2 4 x x 6
x 2 x 8
4 x 2 4 x x 6 x 6x 16 0

4 x 2 4 x x 6
x 1 33
x 2x 32 0
      
      
    
    


   

      



  



    
 
  




  





 
 
 
 


Khi đó:

   
 
 
 
 
 
 
 
2 2 2
2 2
2
2
1 log x 2 log x 5 log 8
log x 2 x 5 log 8
x 2 x 5 8
x 5





   






     






 


  
  


 
     
 





























Vậy nghiệm của phương trình (1) là
x 6
3 17
x





 
 
 
 
 


Khi đó:

   
 
 
 
 
 
 
 
2 2
2
2
1 log x 2 x 5 log 8
x 2 x 5 8
x 3 x 6
x 2 x 5 8 x 3x 18 0

3 17

So với điều kiện ta có nghiệm của pt(1) là
x 3 x 6
3 17
x
2

   








Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
183Bài 5: Giải phương trình:
 
4 2
2x 1
1 1
log x 1 log x 2
log 4 2

    
(1)


  
 
 
 
 

 
 
 
 
  




Khi đó:

       
  
 
 
 
    
2 2 2
2 2
2
1 1 1 1
1 log x 1 log 2x 1 log x 2
2 2 2 2
log x 1 2x 1 log 2 x 2

log 2x log 6 log 4x
4 x 2.3 
(1)
Bài giải:

Điều kiện:
x 0

Khi đó:
 
2
2
2 2 2 2 2
2 1 log x
log 2x log 6 log 4x 1 log x log 6
4 x 2.3 4 x 2.3


    

Đặt
t
2
t log x x 2  
, phương trình (2) trở thành:
Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
184

     
 
 
 
 
 
   
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
 
 
   
 
t
t
3 4
2 9
t 2
3 1
(loai)
2 2


1
x
4
Bài 7: Giải phương trình:
 
3 9x
3
4
2 log x .log 3 1
1 log x
  

(1) Bài giải:
Điều kiện:
3
x 0
x 0
1
9x 1 x
9
log x 1
x 3



3 3 3 3
2 log x 4 2 log x 4
1 1 1 (2)
log 9x 1 log x 2 log x 1 log x
 
     
  

Đặt
3
t log x (t 2;t 1)   
, phương trình (2) trở thành:

2
t 1
2 t 4
1 t 3t 4 0
t 4
2 t 1 t
  


      


 



 Với


Điều kiện:
     
x x
3 1 0 3 1 x 0

Khi đó:
 
   
   
 
 
x x
3 3
1 log 3 - 1 . 1 log 3 1 6

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
185

Đặt:
 
 
x
3
t log 3 1
, pt trở thành:
 


      

Vậy pt(1) có hai nghiệm là  
3 3
28
x log ; x log 10
27Bài 9: Giải phương trình:

x 7
log 7x .log x 1
(1) Bài giải:
Điều kiện:







x 0
x 1

Khi đó:
   
 
    

 

2
2
t 0
t 0
1 1
1 .t 1 t 1
1 1
t t 2 0
2 t
1 .t 1
2 t

 Với
t 1
:
  
7
log x 1 x 7
(thỏa điều kiện)
Vậy pt(1) có nghiệm là
x 7
Bài 10: Giải phương trình:
 
 
 


   
 
 

 




2
1
x 1 x
2
2x x 1 0
1
x
2x 1 0
1
2
x
2
2x 1 1 x 1
x 1
x 1 0 x 1
x 0
x 1 1

Khi đó:



      




2
t 1
2
t 3 t 3t 2 0
t 2
t

 Với
t 1
:
 

       
2x 1
log x 1 1 x 1 2x 1 x 2
(thỏa điều kiện)
 Với
t 2
:
   





x
(1)

Bài giải:
Điều kiện:
 

 
 




2
0 x 1
x 3x 2
0
x 2
x

Khi đó:

 
 
 
 
 
 
 


2 2 x 1
2 x 2 2Bài 12: Giải bất phương trình:
 

 

 
2
0,7 6
x x
log log 0
x 4
(1)

Bài giải:
Điều kiện:
  
 
   
 

 
 
 
     

 

 
 
 
   
 
 
 
 
   
 
   

 
  





2 2
0,7 6 0,7 6
2 2
6 6
2
x x x x
1 log log log 1 log 1
x 4 x 4
x x x x
log log 6 6
x 4 x 4

Điều kiện:


 



  
 
 



 

3
x
4x 3 0
3
4
x
2x 3 0 3
4
x
2

Khi đó:

     
   


 
 
 
 
2
2
2x x
x 2x
1
9 2 3
3
(1)

Bài giải:

Ta có:

  
 
     
 
 
2
2 2 2
2x x
x 2x x 2x x 2x
1
9 2 3 9 2.3 3 0
3

S 1 2;1 2

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
188
Bài 15: Giải bất phương trình:
 
 

    
x x 2
5 5 5
log 4 144 4 log 2 1 log 2 1
(1) Bài giải:
Ta có:

 
 
 
 
 
 





BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải bất phương trình:


 

 

 
1
2
3
2x 3
log log 0
x 1Bài 2: Giải phương trình:

 
  
 
 
x
3
1 6
3 log 9x
log x x

Heát