www.vnmath.com
1
PT-BPT MŨ LÔGARIT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002-2011
***
1. ĐH-D-2011 Giải phương trình
2
21
2
log 8 log 1 1 2 0( )
x
xx xR
2. ĐH-B-2010. Giải hệ phương trình
2
2
log (3 1)
,
423
xx
yx
x
yR
y
xy
5. ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình:
22
22
22
log ( ) 1 log ( )
381
xyxy
x
yxy
6.
*CĐ-2009. Cho 0<a<b<1. Chứng minh BĐT:
22
1
2
32
0
xx
x
log
10.
ĐH-A-07 Giải bất phương trình:
31
3
2log (4 3) log (2 3) 2xx
11.
*ĐH-B-07 Giải phương trình:
21 21 22 0
xx
12. *ĐH-D-07 Giải phương trình:
22
1
15.
Tham khảo 2007. Giải PT:
2
3
3
log ( 1) log (2 1) 2xx
16.
*Tham khảo 2007. Giải PT:
39
3
4
(2 log )log 3 1
1log
x
x
x
17. Tham khảo 2007. Giải BPT:
2
1
1log
2
1
132log
xx2
555
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
22.
Tham khảo 2006
3
18
2
2
log 1 log (3 ) log ( 1) 0xxx
23.
*Tham khảo 2006
12
22
9 10.3 1 0
xx xx
www.vnmath.com
2
24. ĐH-D-2006 CM với mỗi a>0 hệ sau có nghiệm duy nhất
ln(1 ) ln(1 )
xy
ee x y
yxa
yxy
xxyy
28.
Tham khảo 2006 Giải
242
1
2 log x 1 log x log 0
4
29.
*ĐH-B-2005 Giải hệ
xy
log ( x ) log y .
23
93
12 1
39 3
2
2
1
92 3
3
32.
***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0. CMR:
xyz
.24 24 24 33
33.
ĐH-A-2004 Giải HPT:
log (y x) log
y
xy
14
4
22
1
1
25
1( 0)
x
x
xx x
37.
ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số:
ln x
y
x
2
3
x 1;e
38.
***Tham khảo 2004 Giải BPT:
4
2
1162
1
22
42. Tham khảo 2003 Giải BPT
11
15.2 1 2 1 2
x
xx
43. Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm thuộc (0;1):
04
2
1
2
2
mxx loglog
44.
ĐH-D-2003 Giải PT:
2
22
22 3
xx xx
www.vnmath.com
48.
Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:
11
3
1
2
1
031
3
2
2
2
3
xx
kxx
loglog
49. ĐH-B-2002 Giải BPT
52. Tham khảo 2002 Giải PT:
8
42
2
11
log 3 log 1 log 4
24
x
xx
53. ĐH-D-2002 Giải HPT
32
1
25 4
42
22
x
xx
x
yy
y
.2.32log44log
212
2
1
2
1
xx
PT-BPT MŨ LÔGARIT
***
1.
2.
3. ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình:
22
22
22
log ( ) 1 log ( )
381
xyxy
x
yxy
xy
xy
xyxy
22
22
xx
yy
4.
*CĐ-2009. Cho 0<a<b<1. Chứng minh BĐT:
22
ln ln ln lnabba a b
HD: Đưa BĐT về dạng tương đương
22
1
xx
fx
xx
vì lnx<0 và 0<x<1
Suy ra f(x) đồng biến trên (0;1) Mà 0<a<b<1 nên f(a)<f(b). Bài toán được chứng minh.
5.
ĐH-A-2008. Giải phương trình:
22
21 1
log (2 1) log (2 1) 4
xx
xx x
HD: Với điều kiện
1
2
x , PT tương đương:
21 1
log (2 1)( 1) 2log (2 1) 4
xx
xx x
Với t=1 ta có:
21
log ( 1) 1 1 2 1 2
x
xxxx
thỏa ĐK
1
2
x
Với t=2 ta có:
2
21
log ( 1) 2 1 (2 1)
x
xxx
2
450xx
0
5
HD:
2
2
6
0,7 6
2
6
log 0
4
log log 0
4
log 1
4
xx
xx
x
x
xx
x
xx
x
2
6
4
xx
x
438xx
x
xx
x
2
012
42
0
xx
xx
x
22 12 22xx
8. ĐH-A-07 Giải bất phương trình:
31
3
2log (4 3) log (2 3) 2xx
HD: BPT tương đương
2
33
3
4
log (4 3) log (2 3) 2
x
xx
9
23
x
x
x
2
3
4
82190
x
xx
21 21 22 0
xx
HD: Đặt
21
x
t ta được PT:
1
22t
t
2
22 1 0tt 21 21tt
11
x
x
10.
*ĐH-D-07 Giải phương trình:
22
1
log (4 15.2 27) log 0
4.2 3
xx
x
2
4
3
11 30 0
t
tt
Phương trình vô nghiệm t nên phương trình đã cho vô nghiệm x 11. *Tham khảo 2007. Giải BPT:
2
42
log 8 log log 2 0
x
xx
log ( 1) log 2
log 4 2
x
xx
.
HD: ĐK: x>1 Đưa về
22
21
1111
log ( 1) log ( 2)
22log222
x
xx
22 2
log( 1) log(2 1) 1 log( 2)xx x
22
log ( 1)(2 1) log 2( 2)xx x
2
2350xx
5
1
2
xx
1
2
2
xx
.
Do ĐK chỉ nhận x=2
14. *Tham khảo 2007. Giải PT:
39
3
4
(2 log )log 3 1
1log
x
x
x
HD: ĐK x>0, x≠
1
9
www.vnmath.com
6
Đưa về
3
33
(2 )(1 ) 4(2 ) (2 )(1 )tt t tt
2
40tt
117 117
22
tt
Do ĐK chỉ nhận
117
2
t
15.
Tham khảo 2007. Giải BPT:
2
1
1log
2
1
132log
2
2
2
2
2
1
2
(1)(21)
x
xx
2
341
0
(1)(21)
xx
xx
(1)(31)
0
(1)(21)
xx
xx
31
0
11
32
x16.
Tham khảo 2007. Giải BPT:
3x 1 2x x
2 7.2 7.2 2 0
HD:
32
27720(2,0)
x
ttt t t
2
(1)(2 52)0ttt
1
12
2
tt t
01 1xxx
17. *ĐH-A-2006 Giải phương trình
3.8 4.12 18 2.27 0
, t>0 ta có:
32
34 20ttt
2
1
3
tt
Do ĐK ta chỉ nhận
2
3
t
x=1
18.
Tham khảo 2006 Giải PT:
2
2
log 2 2log 4 log 8
xx
x
HD: ĐK x>0, x≠1, x≠
1
2
. PT tương đương với:
24
2
x
x
2
x
19. ĐH-B-2006 Giải BPT:
xx2
555
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
HD: Biến đổi BPT
www.vnmath.com
7
x
x2
55
4 144
log log 5.2 5
16
20. Tham khảo 2006:
3
18
2
2
log 1 log (3 ) log ( 1) 0xxx
HD: ĐK 1<x<3. Biến đổi PT
22 2
log ( 1) log (3 ) log ( 1) 0xxx
2
( 1)(3 )
log 0
1
xx
x
(1)(3)
1
1
xx
x
tt
Ta được
2
10 9 0tt 19tt
22
020xx xx 2101
x
xxx
22.
***ĐH-D-2006 CM với mỗi a>0 hệ sau có nghiệm duy nhất:
ln(1 ) ln(1 )
xy
ee x y
yxa
HD: Biến đổi
ln(1 ) ln(1 ) 0
xa x
ee xa x
yxa
, f(x) liên tục trên (1; )
. Từ hai kết quả trên, f(x)=0 có nghiệm x
0
trên
(1; )
Do () 0, 1fx x
nên f(x)=0 có không quá 1 nghiệm
Kết luận f(x)=0 có nghiệm duy nhất x
0
và HPT có nghiệm duy nhất.(x=x
0
;y=x
0
+a)
23.
ĐH-D-2006 Giải PT:
22
2
24.2240
xx xx x
HD: Đặt
2
x0 1
x
24.
Tham khảo 2006 Giải PT:
xx1
33
log 3 1 log 3 3 6
HD: Đưa về:
xx
33
log 3 1 log 3(3 1) 6
xx
33
log 3 1 1+log 3 1 6
log 10 log
27
xx
25. ***Tham khảo 2006 Giải HPT:
22
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0.
x
yxy
xxyy
HD:
Xét PT thứ nhất ln(1+x)-x=ln(1+y)y
Đặt f(t)=ln(1+t)t (t>1)
1
() 1
11
t
ft
tt
vô nghiệm
Kết luận: hệ có nghiệm (x=0;y=0)
26.
Tham khảo 2006 Giải:
242
1
2 log x 1 log x log 0
4
HD: Đưa về
22
log x 1 log x 2 0.
Đặt t=log
2
x
2
t+t 2 0
t=1 t= 2
1
x=2 x=
4
27.
*ĐH-B-2005 Giải hệ:
log
y
3
12 1
3
1
xy
xy
12 1
yx
www.vnmath.com
9
28. ***ĐH-D-2005 CMR:
12 15 20
345
543
xx x
x
xx
HD: Dùng BĐT Côsi ta có:
12 15 12 15
22.3
54 54
xx xx
x
12 20 12 20
22.4
53 53
xx xx
xx
xx
2
2
2
2
1
92 3
3
HD: Đặt
2
2
3,0
xx
tt
ta có t
2
2t3≤0 1≤t≤3
BPT thành
2
22
33 20
333
24 24 24 32 2 2
xyz
3
3
332 33
(vì x+y+z=0)
31.
ĐH-A-2004 Giải HPT:
log (y x) log
y
xy
14
4
22
1
1
25
HD:
log
yx
xy
4
22
0
1
25
y,yx
y
yx
xy
y
x
2
0
4
3
9
y,yxy,yx
yy
xx
00
44
HD:
log log x x x .
2
2
4
20
π
log x x x
log x x x
22xx x
2
22
xx
xx xxx x
222
2020
202 44
x
x
xx
xx
log log
22
2. 2
x
x
x
HD:
22
13
log log
22
2. 2
x
x
x
22
13
log log
22
22
log 2. log 2
x
x
x
22
13
1
ln ln 1
x
x
xx
(1)ln ln 1xxxx
(1)ln ln(1)0xxxx
Đặt ( ) ( 1)ln ln( 1)
fx x x x x
11
( ) ln ln( 1)
1
fx x x
x
x
2
22
1
() 0
0
lim ( )
x
fx
f(e)=e+1eln(e+1)>0
Vậy có x
0
thuộc (0;e) để f(x
0
)=0 và x
0
là nghiệm duy nhất. 35.
ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số:
ln x
y
x
2
3
x 1;e
HD:
3
3
9
()
fe
e
GTNN là f(1)=0; GTLN là
2
2
4
()
fe
e
36.
***Tham khảo 2004 Giải BPT:
4
2
1162
1
x
x
x
11
1<x<2 thì
1
2230
20
x
x
x
suy ra 1<x<2 không thỏa BPT
x>2 thì
1
2230
20
x
x
x
suy ra x>2 thỏa BPT
Kết luận: nghiệm là x<1, x>2
GTNN là f(0)=1
22
() 1 1 sin 1
22
xx
x
x
yfx e x e
Mà
2
lim 1
2
x
x
x
e
lim
x
fx
HD: Đưa về
3
0, 1
log
1
x
x
tx
t
t
3
2
0, 1
log
1
0
x
x
tx
t
0, 1
1 log 0 log 1
xx
x
x
1
13
3
xx
39. ***Tham khảo 2004 Giải HPT
.yx
xyyx
xyx 1
22
15.2 1 2 1 2
x
xx
HD: Đặt t=2
x
ta được
30 1 1 2tt t
t=1 thỏa BPT
t>1 ta được
30 1 3 1tt
2
1
30 1 9 6 1
t
ttt
2
1
40
t
2
11
1
1
30
28 0
t
t
tt
11
1
1
41.
Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm thuộc (0;1) :
04
2
1
2
2
mxx loglog
HD:
04
2
1
2
2
mxx loglog
2
22
log log 0xxm
2
22
log logmxx
xx
2
2
2
340
xx
t
tt
2
24
xx
2
20xx
12xx
2
5
450
x
t
tt
5
5
x
t
t
2
3
log 1
2
tx
t
2
3
log 3x
3
log 3x
PT ban đầu có nghiệm x thỏa
3
13x khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của f(t) với 12t
Khảo sát hàm số ta được 02m
45.
Tham khảo 2002 Giải PT:
2
2
3
27
16log 3log 0
x
x
xx
www.vnmath.com
13
HD: Với ĐK
11
0, ,
log
2
x
3x
Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:
11
3
1
2
1
031
3
2
2
2
3
xx
kxx
loglog
HD: Xét BPT ta có
HD:
3
log log 9 72 1
x
x
33
33
01 1
log 9 72 0 log 9 72 0
log9 72 log9 72
xx
xx
xx
x
x
1
01
362
9723
93720
x
xx
xx
x
x
1
01
3839
62 3 9
HD:
42
430
log log 0
xy
xy
42
1, 1
43
log log
xy
xy
x
y
19
13
xx
yy
48. Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có nghiệm:
2
11 11
2
923210
xx
aa
Với 1≤x≤1 ta có
1
3
3
t
Ta tìm a để PT
2
93(2)210tata
có nghiệm t thỏa
1
3
3
t
Biến đổi PT
2
961
()
32
tt
aft
t
0 +
f(t) 0 +
- 4
PT có nghiệm khi a≤0 V a≥4
49. Tham khảo 2002 Giải PT:
8
42
2
11
log 3 log 1 log 4
24
x
xx
HD:
8
42
0, 1
4
1
3
xx
x
x
x
01 1
44
11
33
xx
xx xx
323 3xx
50. ĐH-D-2002 Giải HPT
32
1
25 4
42
22
x
xx
x
yy
y
yy
y
32
25 4
2
x
x
yy
y
32
2
540
y
yy
02
14
xx
yy
51. Tham khảo 2002 Giải PHƯƠNG TRÌNH :
32
32
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y
32 3
32 3
0, 1, 0, 1
235
235
xxyy
x
xxyx
yyyxy
2
2
0, 1, 0, 1
2350
2350
x
xy y
xxy
yyx
xy xy
22
0, 1, 0, 1 0, 1, 0, 1
1
8160 88130
x
xy y xxy y
xy y x
xx xx
2
2
x
212
2
1
2
1
23244
xx
21 2
21 2
23.20
442 3.2
x
xx
416
x
2x
51.
212
2.32
x
2
2x
+ 4 – 2.2
2x
+ 12 ≤ 0 - 2
2x
+ 2
4
≤ 0
2
4
≤ 2
2x
2x 4 x 2
Copyright: Tài liệu đại học ©