Chuyªn ®Ị PT-BPT mò vµ Loiarit ¤n tËp líp 12
Chuyªn ®Ị:  PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:
•
n
n thua so
a a.a...a=
123

(n Z ,n 1,a R)
+
∈ ≥ ∈
•
1
a a=

a∀
•
0
a 1=

a 0∀ ≠
•
n
n
1
a
a
−

•
m n m n
a .a a
+
=
•
m
m n
n
a
a
a
−
=
•
m n n m m.n
(a ) (a ) a= =
•
n n n
(a.b) a .b=
•
n
n
n
a a
( )
b
b
=
3. Hàm số mũ: Dạng :

x
y
x
1
0<a<1
y=a
x
y
x
1
Chuyªn ®Ị PT-BPT mò vµ Loiarit ¤n tËp líp 12
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a
≠
1 và N > 0

dn
M
a
log N M a N= ⇔ = Điều kiện có nghóa :
N
a
log
có nghóa khi





1
a a 1 a 2
2
N
log ( ) log N log N
N
= −
•
a a
log N .log N
α
= α
Đặc biệt :
2
a a
log N 2.log N=
3. Công thức đổi cơ số :
•
a a b
log N log b.log N=
•
a
b
a
log N
log N
log b
=
* Hệ quả:

+
R
* 0 < a < 1 :
a
y log x=
nghòch biến trên
+
R
• Đồ thò của hàm số lôgarít:

GV: Ph¹m Xu©n Trung 
21
0<a<1
y=log
a
x
1
x
y
O
a>1
y=log
a
x
1
y
x
O
Chuyªn ®Ị PT-BPT mò vµ Loiarit ¤n tËp líp 12
5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

⇔
M = N
5. Đònh lý 5: Với 0 < a <1 thì : log
a
M < log
a
N
⇔
M >N (nghòch biến)
6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì : log
a
M < log
a
N
⇔
M < N (đồng biến)
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M(x)
= a
N(x)
(đồng cơ số)
Ví dụ : Giải các phương trình sau :

x 10 x 5
x 10 x 15
16 0,125.8
+ +
− −
=

x
x
x x
−
+
− + =
d,
2 1
1
2
3
0,12
5
x
x
x
−
+
−
 
=
 ÷
 ÷
 
e,
( ) ( )
2 1
2
1
2 3 2 3

f x f x
f x f x
f x f x
f x
a a c
a a a c
a a c
a b c
c
c
α β
α β γ
α β
α β γ
α β
α β γ
−
+ =
+ + + =
+ =
+ =
+ =
+ =
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2x 8 x 5
3 4.3 27 0
+ +
− + =
2)

− + − =
Bài tập rèn luyện:
1)
4)32()32(
=−++
xx
(
1
±
x
)
2)
xxx
27.2188
=+
(x=0)
3)
13
250125
+
=+
xxx
(x=0)
4)
12
21025
+
=+
xxx
(x=0)

)
f(x)

Chuyªn ®Ị PT-BPT mò vµ Loiarit ¤n tËp líp 12
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 ...
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1) 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x
2)
0422.42
2
22
=+−−
−+
xxxxx Bài tập rèn luyệnï:
a,
20515.33.12
1
=−+
+
xxx
(
3


∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình
f(x) = g(x))
c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
f(x) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
2 . . .
3 . a+b . a-b
4 . a+b . a-b .
5 a ( )
6
f x g x
f x f x
f x f x
f x f x

2
3
3)
x
1
( ) 2x 1
3
= +
4; 3.25
x-2
+9(3x-10).5
x-2
+3-x=0 5;
2 2 2
log log 3 log 9
2
.3
x
x x x− =
Bài tập rèn luyện:
1)
163.32.2
−=+
xxx
(x=2) 2)
x
x
−=
32
(x=1)

x
log (x 6) 3
2)
x x 1
2 1
2
log (4 4) x log (2 3)
+
+ = − −
3)
)3(log)4(log)1(log
2
1
2
2
1
2
2
xxx
−=++−
(
141;11
+−=−=
xx
)
4;
2 2
2 2 2
log (x 3x 2) log (x 7x 12) 3 log 3+ + + + + = +
GV: Ph¹m Xu©n Trung 

= ⇔ = ⇔ =
 
= ⇔ = ⇔ =
 ÷
 
VÝ dơ : gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau.
a, 2
x
.3
x+1
=12 b;
2
x x-x
x = 10
c;
3
1+log x
2
x = 3 .x
d;
2x 2 x
7 5
5 7=
e;
3
x
x
x+2
.8 = 6
3. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.

+ + + + + =
6;
2
25 5
log (5 ) 1 log 7
7 0
x
x
−
− =
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau :

2 7 2 7
log x 2.log x 2 log x.log x+ = +
Bài tập rèn luyệnï:

)112(log.loglog.2
33
2
9
−+=
xxx
(x=1;x=4)

2 3 2 3
log x log x log x.log x+ =
4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất.
(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

2
2
log (x x 5) 2 x+ − = −
V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
< a
N
(
, ,≤ > ≥
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
x x 1
x 2x
1
3 ( )
3
− −
−
≥
2)
2
x 1
x 2x
1
2
2
−

−
 
≤
 ÷
+
 

2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
GV: Ph¹m Xu©n Trung 
24