Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 1
A. Các kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa và các tính chất của luỹ thừa và lôgarit
2. Tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit
3. Các phơng trình, bất phơng trình cơ bản:
Với m > 0, 0 < a

1 thì:
a
x
= m

x = log
a
m
a
x
> m


log ;( 1)
log ;(0 1)
a
a
x m a
x m a
> >


> < <



B. Một số phơng pháp giải phơng trình, Hệ phơng trình
Bất PHơNG TRìNH mũ, lôgarit
1) Phơng pháp đa về cùng cơ số
Với 0 < a

1 thì:
a
f(x)
= a
g(x)


f(x) = g(x);
a
f(x)
> a
g(x)


f(x) > g(x) nếu a > 1


f(x) < g(x) nếu 0 < a <1
log
a
f(x) = log
a
g(x)



>


>

; nếu a > 0
log
a
f(x) > log
a
g(x)


( ) 0
( ) 0
( ) ( )
f x
g x
f x g x
>


>


<

; nếu 0 < a < 1.
Ví dụ 1. Giải PT: 2

x < <
(2)

log
3
(2x+1) =
2
1
3
1 1
log 2 1 2 0
1 1
x x x
x x
+ = + =


x = 0; x = 2 (Loại)
PT có nghiệm duy nhất x = 0.
Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 2
Ví dụ 3. Giải BPT: log
5
(4
x
+144) 4log
5
2 < 1+ log
5
(2
x-2

1
( 5 2) ( 5 2)
x
x
x


+
+
(4)
LG: Do
1
5 2 ( 5 2)

+ =
, (4)


( )
1
1
1
1
5 2 ( 5 2) 1 0 5 2 1
1
x
x
x
x
x do

x
KQ x

=
ữ

Ví dụ 6. Giải PT:
5
x
-
3
5
x
= 20 (6)
LG: Đkiện x

0, do phơng trình chứa căn, đặt t =
5 1
x


(5)

t -
125
t
-20 = 0

t
2

x
t

>
ữ

. BPT


2
2
0
t t
t

<
Với đkiện t > 0 ta có 0 < t < 2


2
5
2
0 2 log 2
5
x
x

< < >
ữ


t t
t t
t

< <
+ +

>

+
< <

;
( Chú ý: Giải bằng phơng pháp khoảng, không khử mẫu )
Suy ra tập nghiệm của (8) là :
( )
3
1 1
; 1; 4 .
2
2


ữ

Chú ý: Dạng
( )
( )
( )
( )

3 8 6
x
x
x+
=
(9)
LG: Đkiện x

-2 . Lôgarit cơ số 3 hai vế ta có
3
3 3
2log 2
3
log 2 1 log 2 ( 1) 1 0
2 2
x
x x
x x

+ = + + =
ữ
+ +


x = 1 hoặc x = -(1+log
3
2).
Ví dụ 10. Giải BPT:
2
log 4

f(x)
> a
b


f(x)>b ; log
a
f(x) > log
a
b

f(x) > b >0
0<a<1, thì a
f(x)
> a
b


f(x)<b ; log
a
f(x) > log
a
b

0<f(x) < b.
Ví dụ 11. Giải PT: 3
x
= 3 log
5
x (11)

x.
Vậy x =1 là nghiệm duy nhất của phơng trình.
Ví dụ 12. GPT: 3
x
+ 2
x
= 3x +2
LG: Dễ thấy rằng PT có nghiệm x = 0 , x = 1. (PT không có nghiệm duy nhất)
Xét hàm số: f(x) = 3
x
+ 2
x
3x+2

ta có : f(x) = 3
x
ln3 + 2
x
ln2 3
f(x) = 3
x
ln
2
3+2
x
ln
2
2 > 0 với mọi x

R



x - x
0
+
f(x) - 0 +

+ +
f(x)
Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 4
LG: Đkiện x > 0 và 0 < y

2
(2)

3(1+ log
3
x) 3log
3
y = 3

log
3
x = log
3
y

x = y.
Thay x = y vào phơng trình (1) ta có phơng trình (1)


LG: Từ PT(2)

2
x
= y, y > 0; Thế vào PT(1) ta đợc PT :
y
3
-5y
2
+4y = 0

y = 0, y = 1, y = 4
Hệ PT có nghiệm (0; 1) ; (2; 4).
6) Các bài toán tổng hợp (Hay và khó)
Ví dụ 15. (ĐH NT-1996). Tìm nghiệm dơng của PT:
2 2
log 3 log 5
.x x x
+ =
HD: Biến đổi PT về dạng:
2 2 2
log log log
2 3 5 .
x x x
+ =
Đặt t = log
2
x, PT

2

+t-2m-2 = 0 (*)
(16) có nghiệm thuộc
3
1;3
(*) có nghiệm thuộc [1; 2].
Xét hàm số f(t) = t
2
+t trên [1; 2] ta đợc PT (16) có nghiệm


3
1;3
m

[0 ; 2]
Ví dụ 17.(ĐHQGHN-1997) Giải và BL BPT theo tham số a:
log ( )
4
( ) .
a
ax
x ax

(17)


a
4


x

a
-1
.
Với a > 1, Biến đổi nh trên với chú ý cơ số > 1 ta đợc (log
a
x+1)(log
a
x-4)

0
4
1
log 1
0
log 4
a
a
x
x
a
x
x a


(2 2) 2 (2 2) 1 2
t t t t
+ + = +
Nhân cả hai vế với
(2 2)
t
+
sau đó biến đổi ta có: [
(2 2)
t
+
-4
t
][
(2 2)
t
+
-1] = 0

t = 0

x = 1.
Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 5
Ví dụ 19. Giải PT:
3
2 1 3 2
2
8
2 2
log (4 4 4)



3
2 1 3 2
2
2 2 8
8
8
log (4 4 4)
x x
x x
+

+ =


=

+

giải hệ ta có nghiệm của PT là x =
1
2
Ví dụ 20.(ĐH KD - 2006) Chứng minh rằng với a > 0, hệ sau có nghiệm duy nhất:

ln(1 ) ln(1 ) (1)
(2)
x y
e e x y
y x a