Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 1
A. Các kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa và các tính chất của luỹ thừa và lôgarit
2. Tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit
3. Các phơng trình, bất phơng trình cơ bản:
Với m > 0, 0 < a

1 thì:
a
x
= m

x = log
a
m a
x
> m


log ;( 1)
log ;(0 1)
a
a
x m a
x m a
> >


> < <

a


B. Một số phơng pháp giải phơng trình, Hệ phơng trình
Bất PHơNG TRìNH mũ, lôgarit
1) Phơng pháp đa về cùng cơ số
Với 0 < a

1 thì:
a
f(x)
= a
g(x)


f(x) = g(x); a
f(x)
> a
g(x)


f(x) > g(x) nếu a > 1


f(x) < g(x) nếu 0 < a <1
log
a
f(x) = log
a
g(x)



>


>

; nếu a > 1
log
a
f(x) > log
a
g(x)


( ) 0
( ) 0
( ) ( )
f x
g x
f x g x
>


>


<

; nếu 0 < a < 1.
Ví dụ 1. Giải PT: 2
x+1

(2)

log
3
(2x+1) =
2
1
3
1 1
log 2 1 2 0
1 1
x x x
x x
+ = + =


x = 0; x = 2 (Loại)
PT có nghiệm duy nhất x = 0.
Ví dụ 3. Giải BPT: log
5
(4
x
+144) 4log
5
2 < 1+ log
5
(2
x-2
+1) (3)
LG: Đkiện:

x
x


+
+
(4)
Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 2
LG: Do
1
5 2 ( 5 2)

+ =
, (4)


( )
1
1
1
1
5 2 ( 5 2) 1 0 5 2 1
1
x
x
x
x
x do
x



=
ữ

Ví dụ 6. Giải PT:
5
x
-
3
5
x
= 20 (6)
LG: Đkiện x

0, do phơng trình chứa căn, đặt t =
5 1
x


(5)

t -
125
t
-20 = 0

t
2
20t -125 = 0



>
ữ

. BPT


2
2
0
t t
t

<
Với đkiện t > 0 ta có 0 < t < 2


2
5
2
0 2 log 2
5
x
x

< < >
ữ

, (Chú ý do cơ số < 1).
Ví dụ 8. Giải BPT:

t

< <
+ +

>

+
< <

;
Suy ra tập nghiệm của (8) là :
( )
3
1 1
; 1; 4 .
2
2


ữ

* Dạng
( )
( )
( )
( )
f x
f x
A a b B a b c+ + =

=
(9)
LG: Đkiện x

-2 . Lôgarit cơ số 3 hai vế ta có
3
3 3
2log 2
3
log 2 1 log 2 ( 1) 1 0
2 2
x
x x
x x

+ = + + =
ữ
+ +


x = 1 hoặc x = -(1+log
3
2).
Ví dụ 10. Giải BPT:
2
log 4
32
x
x
+



f(x)>b ; log
a
f(x) > log
a
b

f(x) > b >0
0<a<1, thì a
f(x)
> a
b


f(x)<b ; log
a
f(x) > log
a
b

0<f(x) < b.
Ví dụ 11. Giải PT: 3
x
= 3 log
5
x (11)
LG: Ta có x = 1 là một nghiệm của phơng trình (11)
Với x > 1 thì 3
x

x
+ 2
x
= 3x +2
LG: Dễ thấy rằng PT có nghiệm x = 0 , x = 1. (PT không có nghiệm duy nhất)
Xét hàm số: f(x) = 3
x
+ 2
x
3x+2

ta có : f(x) = 3
x
ln3 + 2
x
ln2 3
f(x) = 3
x
ln
2
3+2
x
ln
2
2 > 0 với mọi x

R

hàm số f(x) đồng biến trên R.
Mặt khác hàm số f(x) liên tục trên R và f(-1).f(1) < 0

2
(2)

3(1+ log
3
x) 3log
3
y = 3

log
3
x = log
3
y

x = y.
Thay x = y vào phơng trình (1) ta có phơng trình (1)

(x-1)(2-x) = 0

x = 1 ; x = 2. Từ
đó

HPT có hai nghiệm là (1 ; 1) và (2; 2).
Ví dụ 14 (ĐH KD-2002 ).Giải HPT:
3 2
1
2 5 4 (1)
4 2
(2)

Ví dụ 15. (ĐH NT-1996). Tìm nghiệm dơng của PT:
2 2
log 3 log 5
.x x x
+ =
HD: Biến đổi PT về dạng:
2 2 2
log log log
2 3 5 .
x x x
+ =
Đặt t = log
2
x, PT

2
t
+ 3
t
= 5
t
. Bằng phơng pháp hàm số có nghiệm t = 1

x = 2.
x - x
0
+
f(x) - 0 +

+ +


(*) có nghiệm thuộc [1; 2].
Xét hàm số f(t) = t
2
+t trên [1; 2] ta đợc PT (16) có nghiệm


3
1;3
m

[0 ; 2]
Ví dụ 17.(ĐHQGHN-1997) Giải và BL BPT theo tham số a:
log ( )
4
( ) .
a
ax
x ax

(17)
HD: Điều kiện a > 0, a

1, x > 0.
Với 0 < a < 1. Lấy lôgarit cơ số a hai vế PT

(1+log

x

a
-1
.
Với a > 1, Biến đổi nh trên với chú ý cơ số > 1 ta đợc (log
a
x+1)(log
a
x-4)

0
4
1
log 1
0
log 4
a
a
x
x
a
x
x a



<



t
+
sau đó biến đổi ta có: [
(2 2)
t
+
-4
t
][
(2 2)
t
+
-1] = 0

t
= 0

x = 1.
Ví dụ 19. Giải PT:
3
2 1 3 2
2
8
2 2
log (4 4 4)
x x
x x
+
+ =
+

2 2 8
8
8
log (4 4 4)
x x
x x
+

+ =


=

+

giải hệ ta có nghiệm của PT là x =
1
2
Ví dụ 20.(ĐH KD - 2006) Chứng minh rằng với a > 0, hệ sau có nghiệm duy nhất:

ln(1 ) ln(1 ) (1)
(2)
x y
e e x y
y x a

= + +

=


4
x x
x

+
<
ữ
+

. ĐS: x

(-4; -3)

(8; +

)
Bài 3. (K-D.2008) Giải BPT:
2
1
2
3 2
log 0
x x
x

+

ữ

. ĐS: x

2 2
1
log (4 15.2 27) log 0
4.2 3
x x
x

+ + + =
ữ


. ĐS: x = log
2
3
Bài 7. (K-A.2006) Giải PT: 3.8
x
+4.12
x
-18
x
-2.27
x
= 0. ĐS: x = 1
Bài 8. (K-B.2006) Giải BPT: log
5
(4
x
+144)-4.log
5
2 < 1+ log

=
. ĐS: x= -1; x =2
Bài 11. (K-B.2002) Giải BPT: log
x
(log
3
(9
x
-72))

1. ĐS: log
9
73 < x

2
II. Các bài toán trong đề thi tuyển sinh đại học trớc năm 2002
Bài 1. (HVQHQT-1999) Giải PT:
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x
+ + + + +
+ = +
.ĐS: x

{-5; -1; 1; 2}
Bài 2. (ĐHQG-KD.2000) Giải PT: 8.3
x
+ 3.2
x

+ =
. ĐS: x= 1
Bài 6. (ĐHTL 2000) Giải PT:
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2 0
x x x x
+ + +
+ =
. ĐS: x = -1; x = 2
Bài 7. (ĐHTCKT-1997) Giải PT: 25
x
-2(3-x)5
x
+ 2x -7 = 0. ĐS: x = 1
Bài 8. (ĐH NT-1997) Giải PT: 2
x+1
4
x
= x-1. ĐS: x =1
Bài 9. (ĐHSP HN- 2001) Giải PT: 3
x
+ 5
x
= 6x+2. ĐS: x = 0; x =1
Bài 10. (ĐHNNHN-2000) Cho phơng trình: (m+3).16
x
+ (2m-1).4
x
+m +1 = 0.

.