Chuyên đề : Phơng trình mũ và phơng trình lôgarít
A. Ph ơng trình mũ.
I. Các dạng phơng trình cơ bản thờng gặp
1. Phơng trình dạng a
f(x)
= b ( 1) ( 0 < a

1 )
- Nếu b

0 phơng trình vô nghiệm
- Nếu b > 0 (1)

f(x) = log
a
b
VD
1
: Giải phơng trình : 3
2x -1
= 6 ( 1)
Giải: (1)

2x -1 = log
3
6


2x = 1 + log
3
6

x -1
(1)
Giải :( 1)


5
1
2

x
= 5
-3x + 3


x
2
-1 = -3x + 3


x
2
+ 3x - 4 = 0





=
=
4


b,
( )
2
2
2

+
x
x
x
= ( x -2)
11x - 20
c,
3
1
198
2


+
x
x
x
x
= ( x -3)
2
d, (-4x
2
+ 2x +1)

x - 1
II. Các ph ơng pháp giải ph ơng trình mũ
1. Ph ơng pháp biến đổi đ a về các PT cơ bản
Bài tập: Giải các phơng trình sau
1.
)(2
3535
211
2222
+
=
xxxx
3.
816
5
5
10
10
.125,0

+

+
=
x
x
x
x
2. 18
2x

)
x
+ ( 2 -
3
)
x
= 4 ( ĐHTH.HCM- 94)
2. 125
x
+ 50
x
= 2
3x + 1
( ĐHQGB-98)
3. 25
x
+ 10
x
= 2
2x + 1
( HVNH-98)
4. 8
x
+ 18
x
= 2.27
x
( ĐHQG-97)
5. ( 5 -
21

xxx
(HVQHQT-D-99)
8.
4
3 + 2cosx
- 7.4
1 + cosx
- 2 = 0
9.
(
347 +
)
cosx
+ (
347
)
cosx
= 4 (ĐHLuật-99)
10.
6.4
x
- 13.6
x
+ 6.9
x
= 0 (ĐHBD-A-2001)
11.
3
2x + 1
= 3

+
2
12
x
= 1 (ĐHYH N-2000)
14.
Cho phơng trình : 4
x
- 4m( 2
x
-1) = 0
a. Giải PT với m = 1.
b. Với giá trị nào của m thì PT có nghiệm. (ĐHNN-97)
15.
Cho phơng trình: 4
x
- m.2
x + 1
+ 2m = 0
a. Giải PT khi m = 2
b. Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
sao cho x
1
+ x
2
= 3
16.(ĐH Ngoại thơng-98). Tìm m để PT sau có bốn nghiệm phân biệt:

- 1)
x
= 2
x
a. Giải PT khi a =
4
1
b. Tìm mọi giá trị của a để PT có đúng một nghiệm.
19.(ĐHGTVT-95). CMR không có giá trị nào của tham số m để phơng trình sau có hai nghiệm trái
dấu: m.4
x
+ (2m +3).2
x
- 3m + 5 = 0.
20.(ĐHBK-90) .Xác định tất cả các giá trị của tham số a để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
1
2
2
3
1
2
++=







a

=
xt
loait
25
)(1
- Với t = 5 -2x ta có 3
x
= 5 - 2x (3) .Ta thấy VT(3) là hàm đồng biến trên R còn VP(3) là hàm nghịch biến trên
R , do đó PT(3) có không quá 1 nghiệm.Mặt khác ta thấy x = 1 là nghiệm của (3).Vậy (3) có nghiệm duy nhất x
= 1 do đó PT(1) có nghiệm duy nhất là x = 1.
Bài tập: Giải các PT sau:
1. 25
x
-2.(3 - x).5
x
+ 2x - 7 = 0 ( ĐHTCKT 97)
2. 4
x
+ (2x - 5).2
x
+ 6x - 24 = 0
4. Ph ơng pháp biến đổi đ a về ph ơng trình tích.
VD: Giải phơng trình: 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x
(1) (ĐHQG-D-2000)
Giải: (1)





=
=

3
1
x
x
Bài tập: Giải các PT sau:
1. 12.3
x
+ 3.15
x
- 5
x +1
= 20 (ĐH Huế-D-2001)
2. x
2
.2
x +1
+ 2
23 +x
= x
2
.2
43 +x
+ 2

2
x
( ĐH Kiến trúc TP.HCM-95)
2
3.
(
23
)
x
+ (
23 +
)
x
= (
5
)
x
(HVQHQT-97)
4.
3
x
+ 4
x
= 5
x

5.
x
x
x

xx
x
8.
4
sinx
- 2
1 + sinx
.cos(xy) +
2
y
= 0
B: Phơng trình lôgarit.
I. Các ph ơng trình cơ bản
1. Phơng trình dạng : log
a
f(x) = b (1)
(1)

f(x) = a
b
2. Phơng trình dạng : log
a
f(x) = log
a
g(x) ( 2) (0< a

1)
(2)



>
<

)()(
0)(
1)(0
xhxg
xg
xf
hoặc





=
>
<
)()(
0)(
1)(0
xhxg
xh
xf
4.Phơng trình dạng: log
a
f(x) = log
b
g(x) (0 < a
1

+ 4x + 3) = 1
2. log
3
( x
2
- 5x +6) - log
3
(x - 3) = 0
3. log
3
(3
x
- 8) = 2 - x
4. log
2
(152 + x
3
) = 3log
2
( x + 2)
5. log
2x - 1
12
2
4
+
+
x
x
= 1

9. log
2
(1 +
3
x
) = log
7
x
II. Các ph ơng pháp giải PT lôgarit.
1. Ph ơng pháp đặt ẩn phụ.
VD: Giải phơng trình: log
2
(4
x + 1
+ 4).log
2
(4
x
+ 1) =
8
1
log
2
1
(1
Giải: (1)

log
2
4(4



=
=
3
1
t
t
- Với t = 1

log
2
(4
x
+ 1 ) = 1


4
x
+ 1 = 2


4
x
= 1
0
=
x
- Với t = -3


lgx
= 1000x
2

3.
11
1
11
1
2
lg
3lg
3
2
++

+
=
++
xx
x
x
x

4.
11
3lg
2
2
lg

) + log
3
(3 - x
2
) + log
4
(4 - x
2
) = x
2
- 4x +7
2. 2
2x +1
+ 2
3 - 2x
=
)444(
4
2
3
log
+ xx

3. log
3
(x
2
+ x +1) - log
3
x = 2x - x

+= xxx
(ĐHXD 1998)
4. log
x +3
(3 -
x
x
2
21 +
) =
2
1
( ĐHQG-96)
5. log
2
(x
2
+ 3x + 2) + log
2
(x
2
+ 7x + 12) = 3 + log
2
3 (ĐHQG-A-98)
6. log
5
(5
x
-1).log
25

2
(x
2
- x + 1) + log
2
(x
2
+ x + 1) = log
2
(x
4
+ x
2
+ 1) + log
2
(x
4
- x
2
+ 1)
(HVQHQT-D-2000)
10. lg
4
(x - 1)
2
+ lg
2
(x - 1)
3
= 25 (ĐH Y Hà Nội 2000)

2
2
().22(
2
22
2
22
loglogloglogloglog
=+++
xx
x
x
xx
xx
(ĐHTS-2001)
14. log
2
(log
3
x) = log
3
(log
2
x) (ĐH Ngoại Thơng HN-95)
15. log
2
(x -
1
2


x + 2log
7
x = 2 + log
2
x.log
7
x (HVNH-2001)
19. log
2
(3x - 1) +
2
1
log
)3( +x
= 2 + log
2
(x + 1) (ĐHAN 2001)
20.
3)4(2
loglog
2
2
=+ x
x
(HVCNBCVT-99)
21. log
3x + 7
(9 + 12x + 4x
2
) + log

24.
0.40.14
logloglog
4
3
16
2
2
=+ x
xx
x
xx
(ĐHCS 2001)
25.
2)2(
loglog
2
2
=++
+
xx
x
x
(ĐH Nông nghiệp HN-2001)
26. x.
15.16
22
2
loglog
+=

x
=
(ĐH Bách khoa Hà Nội-99)
30.
2
)3(
log
5
+x
= log
2
x (ĐHTL-99)
31. log
2
(4
x
+ 4) = x -
log
2
1
(2
x + 1
- 3 ) (ĐHCĐ-2001)
32. log
2
(3.2
x
- 1) = 2x + 1 (ĐHĐN-97)
33.
30

xx
x
(ĐH Mỏ-ĐC-2001)
36. log
3
(x
2
+ x + 1) - log
3
x = 2x - x
2
(ĐHNT-D-2000)
36.
xx
x
log
3
log
62
)
log
(
6
=+

37.
xxx
x 329
loglog
.

f(x)
> b (2) ( 0 < a

1)
- Nếu b

0 thì bất phơng trình có tập nghiệm là tập xác định của f(x)
- Nếu



>
>
0
1
b
a
thì (2)

f(x) > log
a
b
- Nếu



>
<<
0
10


0 (ĐHGTVT-96)
4.
222
21212
15.34925
xxxxxx ++
+
( ĐHKT-96)
5. 2
x
+ 2
x +1


3
x
+ 3
x-1
(ĐHQG-96)
6.
12
3
1
.3
3
1
1
12
>



xx
xx
(ĐHBK Hà Nội 97)
5
8. 3
x + 1
– 2
2x + 1
-
12
2
x
< 0 (HVCNBCVT-98)
9.
09.93.83
442
>−−
+++ xxxx
(§HSP – 2000)
10.
1
23
23.2
2
≤
−
−
+6