Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 1
A. Các kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa và các tính chất của luỹ thừa và lôgarit
2. Tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit
3. Các phơng trình, bất phơng trình cơ bản:
Với m > 0, 0 < a

1 thì:
a
x
= m

x = log
a
m a
x
> m


log ;( 1)
log ;(0 1)
a
a
x m a
x m a
> >


> < <

a


B. Một số phơng pháp giải phơng trình, Hệ phơng trình
Bất PHơNG TRìNH mũ, lôgarit
1) Phơng pháp đa về cùng cơ số
Với 0 < a

1 thì:
a
f(x)
= a
g(x)


f(x) = g(x); a
f(x)
> a
g(x)


f(x) > g(x) nếu a > 1


f(x) < g(x) nếu 0 < a <1
log
a
f(x) = log
a
g(x)



>


>

; nếu a > 1
log
a
f(x) > log
a
g(x)


( ) 0
( ) 0
( ) ( )
f x
g x
f x g x
>


>


<

; nếu 0 < a < 1.
Ví dụ 1. Giải PT: 2
x+1

(2)

log
3
(2x+1) =
2
1
3
1 1
log 2 1 2 0
1 1
x x x
x x
+ = + =


x = 0; x = 2 (Loại)
PT có nghiệm duy nhất x = 0.
Ví dụ 3. Giải BPT: log
5
(4
x
+144) 4log
5
2 < 1+ log
5
(2
x-2
+1) (3)
LG: Đkiện:

x
x


+
+
(4)
Nguyễn Trung Kiên GV THPT Minh Khai Hà Nội.
Mail:[email protected]
Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 2
LG: Do
1
5 2 ( 5 2)

+ =
, (4)


( )
1
1
1
1
5 2 ( 5 2) 1 0 5 2 1
1
x
x
x
x
x do

x
KQ x

=
ữ

Ví dụ 6. Giải PT:
5
x
-
3
5
x
= 20 (6)
LG: Đkiện x

0, do phơng trình chứa căn, đặt t =
5 1
x


(5)

t -
125
t
-20 = 0

t
2

x
t

>
ữ

. BPT


2
2
0
t t
t

<
Với đkiện t > 0 ta có 0 < t < 2


2
5
2
0 2 log 2
5
x
x

< < >
ữ


t t
t t
t

< <
+ +

>

+
< <

;
Suy ra tập nghiệm của (8) là :
( )
3
1 1
; 1; 4 .
2
2


ữ

* Dạng
( )
( )
( )
( )
f x

x
x+
=
(9)
LG: Đkiện x

-2 . Lôgarit cơ số 3 hai vế ta có
3
3 3
2log 2
3
log 2 1 log 2 ( 1) 1 0
2 2
x
x x
x x

+ = + + =
ữ
+ +


x = 1 hoặc x = -(1+log
3
2).
Ví dụ 10. Giải BPT:
2
log 4
32
x

Chú ý : a > 1, thì a
f(x)
> a
b


f(x)>b ; log
a
f(x) > log
a
b

f(x) > b >0
0<a<1, thì a
f(x)
> a
b


f(x)<b ; log
a
f(x) > log
a
b

0<f(x) < b.
Ví dụ 11. Giải PT: 3
x
= 3 log
5

5
x.
Vậy x =1 là nghiệm duy nhất của phơng trình.
Ví dụ 12. GPT: 3
x
+ 2
x
= 3x +2
LG: Dễ thấy rằng PT có nghiệm x = 0 , x = 1. (PT không có nghiệm duy nhất)
Xét hàm số: f(x) = 3
x
+ 2
x
3x+2

ta có : f(x) = 3
x
ln3 + 2
x
ln2 3
f(x) = 3
x
ln
2
3+2
x
ln
2
2 > 0 với mọi x




LG: Đkiện x > 0 và 0 < y

2
(2)

3(1+ log
3
x) 3log
3
y = 3

log
3
x = log
3
y

x = y.
Thay x = y vào phơng trình (1) ta có phơng trình (1)

(x-1)(2-x) = 0

x = 1 ; x = 2. Từ
đó

HPT có hai nghiệm là (1 ; 1) và (2; 2).
Ví dụ 14 (ĐH KD-2002 ).Giải HPT:
3 2

+4y = 0

y = 0, y = 1, y = 4 . Hệ PT có nghiệm (0; 1) ; (2; 4).
6) Các bài toán tổng hợp (Hay và khó)
Nguyễn Trung Kiên GV THPT Minh Khai Hà Nội.
Mail:[email protected]
x - x
0
+
f(x) - 0 +

+ +
f(x)
Chuyên đề : Phơng trình, bất phơng trình mũ và lôgarit 4
Ví dụ 15. (ĐH NT-1996). Tìm nghiệm dơng của PT:
2 2
log 3 log 5
.x x x
+ =
HD: Biến đổi PT về dạng:
2 2 2
log log log
2 3 5 .
x x x
+ =
Đặt t = log
2
x, PT

2

+t-2m-2 = 0 (*)
(16) có nghiệm thuộc
3
1;3
(*) có nghiệm thuộc [1; 2].
Xét hàm số f(t) = t
2
+t trên [1; 2] ta đợc PT (16) có nghiệm


3
1;3
m

[0 ; 2]
Ví dụ 17.(ĐHQGHN-1997) Giải và BL BPT theo tham số a:
log ( )
4
( ) .
a
ax
x ax

(17)

4

a
4


x

a
-1
.
Với a > 1, Biến đổi nh trên với chú ý cơ số > 1 ta đợc (log
a
x+1)(log
a
x-4)

0
4
1
log 1
0
log 4
a
a
x
x
a
x
x a

2
(2 2) 2 (2 2) 1 2
t t t t
+ + = +
Nhân cả hai vế với
(2 2)
t
+
sau đó biến đổi ta có: [
(2 2)
t
+
-4
t
][
(2 2)
t
+
-1] = 0

t
= 0

x = 1.
Ví dụ 19. Giải PT:
3
2 1 3 2
2
8
2 2

(19)


3
2 1 3 2
2
2 2 8
8
8
log (4 4 4)
x x
x x
+

+ =


=

+

giải hệ ta có nghiệm của PT là x =
1
2
Ví dụ 20.(ĐH KD - 2006) Chứng minh rằng với a > 0, hệ sau có nghiệm duy nhất:

ln(1 ) ln(1 ) (1)
(2)
x y
e e x y