Chuyên đề: Phương trình
−
Bất phương trình
−
hệ phương trình Mũ_Logarit
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Hàm số mũ
• y=a
x
; TXĐ D=R
• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x
−∞ 0
+∞
x
−∞ 0
+∞
y
+∞
1
−∞
y
+∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x)=3^x
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-15
-14

-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
x
y






=
3
1
II. Hàm số lgarit
• y=log
a
x, ĐK:




-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
y=x
y=3
x
y=log
3
x
f(x)=ln(x )/ln(1/3)
f(x)=(1/3 )^x
f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14
-13

3
1
log
=
y=x
III.Các công thức
1. Công thức lũy thừa :
Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
a
n
a
m
=a
n+m
;
mn
m
n
a
a
a
−
=
;(
n
a
1
=a
−
m

n
n
b
a
b
a
=






;
n
m
n
m
aa =
.
2. Công thức logarit : log
a
b=c⇔a
c
=b (0<a≠1; b>0)
Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x
1
, x
2
>0;

;
xa
x
a
=
log
; log
a
x
α
=
α
log
a
x;
xx
a
a
log
1
log
α
α
=
;(log
a
a
x
=x); log
a

IV. Phương trình và bất phương trình mũ−logarit
1. Phương trình mũ
−
logarit
a. Phương trình mũ :
Đưa về cùng cơ số
+0<a≠1: a
f(x)
=a
g(x)
(1) ⇔ f(x)=g(x).
+ 0<a≠1: a
f(x)
=b ⇔
( )



=
>
bxf
b
a
log
0
.
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0
Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=a
x
(t>0), để đưa về một phương trình đại số

b,với a,b>0; 0<c≠1.
b. P hương trình logarit :
Đưa về cùng cơ số:
+log
a
f(x)=g(x)⇔
( )
( )



=
≠<
xg
axf
a 10
+log
a
f(x)= log
a
g(x)⇔
( ) ( )
[ ]
( ) ( )





=

f(x)
≥a
g(x)
⇔
( ) ( ) ( )
[ ]



≥−−
>
01
0
xgxfa
a
.
Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì: a
f(x)
>a
g(x)
⇔ f(x)>g(x);
a
f(x)
≥a
g(x)
⇔ f(x)≥g(x).
* Nếu 0<a<1 thì: a
f(x)
>a

; log
a
f(x)≥log
a
g(x)⇔
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]





≥−−
>>
≠<
01
0,0
10
xgxfa
xgxf
a
.
Đặt biệt:
+ Nếu a>1 thì: log
a
f(x)>log
a
g(x)⇔
( ) ( )

.
*
* *
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH−BẤT PHƯƠNG
TRÌNH−HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
I. Biến đổi thành tích
Ví dụ 1: Giải phương trình:
( )
( )
2 2 2
2 2
2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0
x x x x x x x x+ − −
− − + = ⇔ − − =
.
Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta
phải phân tích thành tích:
( )
( )
2
2
2 1 . 2 4 0
x x x−
− − =
. Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
( )
( )
2
9 3 3

. Đặt t = log
3
(x+1), ta
có:
( )
2
5 2 6 0 2, 3t x t x t t x+ − − + = ⇒ = = −
⇒ x = 8 và x = 2.
III. Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k
(k∈R) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có
( )
( )f u f v u v= ⇔ =
.
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì
phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Lª ThÞ Ngäc
3
Chuyên đề: Phương trình
−
Bất phương trình
−
hệ phương trình Mũ_Logarit
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng
(a;b) thì
( )
bac ;∈∃
:

, vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch
biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
6 2 5 3
x x x x
+ = +
. Phương trình tương đương
6 5 3 2
x x x x
− = −
,
giả sử phương trình có nghiêm
α
. Khi đó:
αααα
2356 −=−
.
Xét hàm số
( ) ( )
α
α
tttf −+= 1
, với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý
lagrange tồn tại
( )
2;5c∈
sao cho:
( ) ( )
1
' 1

ttf
t
+= 2
là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy
phương trình được viết dưới dạng:
( )
( )
2 2
1 1 1f x f x x x x x x− = − ⇔ − = − ⇔ =
.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
3 2 3 2
x x
x+ = +
. Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1.
Ta cần chứng minh không còn nghiệm nào khác.
Xét hàm số
( ) ( )
2 2
3 2 3 2 '' 3 ln 3 2 ln 2 0
x x x x
f x x f x= + − − ⇒ = + > ⇒
Đồ thị của hàm số này
lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm.
Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình
2
2
2007
1
2007

x
= + −
−
.
Nếu x < −1 thì
( )
02007
1
<−<
−
exf
suy ra hệ phương trình vô nghiệm.
Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x
0
= 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng
minh.
Ví dụ 6: Cho
0
>≥
ba
. Chứng minh rằng
1 1
2 2
2 2
b a
a b
a b
   
+ ≤ +
 ÷  ÷

f x
x
 
+
 ÷
 
=
với x > 0
Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với
0>≥ ba
ta có
( )
bfaf ≤)(
(Đpcm).
IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta th ường phải đưa về phương trình
– hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.
1.Dạng 1: Khác cơ số:
Lª ThÞ Ngäc
4
Chuyên đề: Phương trình
−
Bất phương trình
−
hệ phương trình Mũ_Logarit
Ví dụ: Giải phương trình
7 3
log log ( 2)x x= +
. Đặt t =
7
log 7

2
– 2x – 3 ta có
( )
6 5
log 1 logt t+ =
.
Ví dụ 2: Giải phương trình
( )
6
log
2 6
log 3 log
x
x x+ =
. Đặt
6
logt x=
, phương trình
tương đương
3
6 3 2 3 1
2
t
t t t t
 
+ = ⇔ + =
 ÷
 
.
3. Dạng 3:

   
= − ⇔ + =
 ÷  ÷
   
.
Ví dụ 2: Giải phương trình
( )
42
5log
3
+=
+
x
x
. Đặt t = x+4 phương trình tương đương
( )
t
t
=
+1log
3
2
Ví dụ 3: Giải phương trình
( )
( )
( )
3 3
log 1 log 1
4 1 2 0
x x

f t s act
+
= +
.
Ví dụ: Giải phương trình
1
7
7 6log (6 5) 1
x
x
−
= − +
. Đặt
( )
7
1 log 6 5y x− = −
. Khi đó chuyển thành
hệ
( )
( )
1
1
1 1
1
7
7 6 1 1
7 6 5
7 6 7 6
1 log 6 5
7 6 5

t
f t t
−
= +
suy ra
x=y, Khi đó:
1
7 6 5 0
x
x
−
− + =
. Xét hàm số
( )
567
1
+−=
−
xxg
x
Áp dụng định lý Rôn và nhẩm
nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2.
5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.
Ví dụ: Giải phương trình
1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
x
x x x x− − −
+ =

Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.
( ) ( )
2 3 2 3 4 0
x x
+ + − − =
b.
( ) ( )
2 3 2 3 4
x x
− + + =
c.
( ) ( )
7 4 3 3 2 3 2 0
x x
+ − − + =
d.
( ) ( )
3
3 5 16 3 5 2
x x
x+
+ + − =
e.
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
(ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=−1.
Lª ThÞ Ngäc

3.16 2.8 5.32
x x x
+ =
j.
1 1 1
2.4 6 9
x x x
+ =
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
a.
3 2 3
4 128
5 1
x y
x y
+
− −

=


=


b.
2
( ) 1
5 125
4 1
x y

3 81
x xy y
x y xy
− +

+ = +


=

(ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2),
(−2;−2)
e.
( )
2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y

− + − =


− =


(ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2).
f.
( )

= −


+
=

+

(ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4).
Bài 3: Giải và biện luận phương trình:
a .
( )
2 .2 .2 0
x x
m m m
−
− + + =
. b .
.3 .3 8
x x
m m
−
+ =
.
Bài 4: Cho phương trình
2 2
3 3
log log 1 2 1 0x x m+ + − − =
(m là tham số). (ĐH_Khối A 2002)
a. Giải phương trình khi m=2.

5 5 5
log log 6 log 2x x x= + − +
b.
5 25 0,2
log log log 3x x+ =

c.
( )
2
log 2 5 4 2
x
x x− + =
d.
2
3
lg( 2 3) lg 0
1
x
x x
x
+
+ − + =
−
e. log
2x
−
1
(2x
2
+x−1)+log

Lª ThÞ Ngäc
6
Chuyên đề: Phương trình
−
Bất phương trình
−
hệ phương trình Mũ_Logarit
b.
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
 
+
<
 ÷
+
 
(ĐH_Khối B 2008) ĐS: −4< x < −3, x > 8.
c.
( ) ( )
2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
x x−
+ − < + +
(ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4.
d.