Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.............................................................................................................................................
1. Lũy thừa với số mũ nguyên:.............................................................................................................................................................
Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm:............................................................................................................................................................
So sánh các luỹ thừa.................................................................................................................................................................................................
2. Căn bậc n và luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:..........................................................................................................................................
Căn bậc n:..................................................................................................................................................................................................................
Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:.......................................................................................................................................................................................
Lũy thừa với số mũ thực................................................................................................................................................
1.Khái niệm:.........................................................................................................................................................................................
2. Tính chất:..........................................................................................................................................................................................
3.Ứng dụng vào bài toán thực tế - Tính lãi kép theo định kì:..............................................................................................................
Một số ví dụ:.............................................................................................................................................................................................................
LOGARIT.........................................................................................................................................................................
1.Định nghĩa:........................................................................................................................................................................................
Hệ quả:......................................................................................................................................................................................................................
Công thức đổi cơ số:...............................................................................................................................................................................................
3.Logarit thập phân và ứng dụng:......................................................................................................................................................
Định nghĩa:..............................................................................................................................................................................................................
Tính chất:................................................................................................................................................................................................................
Bài tập:....................................................................................................................................................................................................................
Ứng dụng: ...............................................................................................................................................................................................................
*Tính các phép tính liên quan đến lũy thừa..........................................................................................................................................................
*Tìm số các chữ số của 1số trong hệ thập phân:..................................................................................................................................................
Bài tập:....................................................................................................................................................................................................................
BÀI 4: Số e và Logarit Tự nhiên....................................................................................................................................
1/Khái niệm:.......................................................................................................................................................................................
Bài tập:....................................................................................................................................................................................................................
Lãi kép liên tục và số e:...........................................................................................................................................................................................
2.Logarit tự nhiên:.............................................................................................................................................................................
*ĐN:.........................................................................................................................................................................................................................
*Tính chất: ..............................................................................................................................................................................................................

1.Phương pháp chung :......................................................................................................................................................................
2.Giải các hệ sau ................................................................................................................................................................................
1.Giải dựa vào số mũ:.............................................................................................................................................................................................
2.Giải dựa vào cơ số...............................................................................................................................................................................................
3. Phương pháp đồng nhất .....................................................................................................
Pp1: biến đổi đưa về cùng cơ số, làm mất cơ số, đưa về hệ đại số quen thuộc.................................................................................................
Pp2: dùng pp thế :...................................................................................................................................................................................................
Pp: đặt ẩn phụ ........................................................................................................................................................................................................
Pp: đưa về .............................................................................................................................................................................................................
Pp: dùng khảo sát hàm số......................................................................................................................................................................................
Pp: dùng tính chẵn của ẩn......................................................................................................................................................................................
Pp: điều kiện cần và đủ..........................................................................................................................................................................................
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ...................................................................................................................................................................
1.Kiến thức cơ bản:............................................................................................................................................................................
2.Một số ví dụ một số dạng toán thường gặp:..................................................................................................................................
a.Dạng đưa về cùng cơ số:.....................................................................................................................................................................................
b.Dạng dùng phương pháp đặt ẩn phụ:................................................................................................................................................................
c.Dạng lấy logarit hai vế:........................................................................................................................................................................................
d.Dạng đoán nghiệm:.............................................................................................................................................................................................
B.BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT:......................................................................................................................................................
1.Kiến thức cơ bản:............................................................................................................................................................................
2.Một số ví dụ:...................................................................................................................................................................................
a.Dạng đưa về cùng cơ số:.....................................................................................................................................................................................
b.Dùng phương pháp đặt ẩn phụ:.........................................................................................................................................................................
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
1. Lũy thừa với số mũ nguyên:
Cho số thực a, số nguyên dương n

n
n thuaso

0 n
0 ; 0
(Với n nguyên âm) không có nghĩa.
2) Với
a 0
≠
và n nguyên, ta có:
n
n
1
a
a
−
=
So sánh các luỹ thừa
Cho m, n là những số nguyên. Khi đó:
1) Với a>1 thì
m n
a a> khi và chỉ khi m > n
2) Với 0< a <1 thì
m n
a a> khi và chỉ khi m < n
i. Hệ quả 1:
Với 0 < a < b và m là số nguyên thì:
1)
m m
a b< khi và chỉ khi m > 0
2)
m m
a b> khi và chỉ khi m < 0

= +


= ∈

=


¢
Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:
Định nghĩa 3:
Cho a là 1 số thực dương và r là 1 số hữu tỉ. Giả sử
m
r
n
=
, trong đó m là 1 số nguyên
còn n là 1 số nguyên dương. Khi đó, luỹ thừa của a với số mũ r là số a
r
xác định bởi
m
r m
n
n
a a a= =
.
Ví dụ1: đơn giản các biểu thức sau:
5
5
5

6
2
3
2 2 8
3 3 9
= =
= =
3 3
3 30 & 63+
Ta có :
3 3 3
3 3
3 1
3 30 4 64 63
30 27 3

>

⇒ + > = >

> =


3 3
7 15 & 10 28+ +
Ta có:
3 3
3
7 8 2
7 15 6

3 1 3 1
2
= + − −
= + − −
= + − −
=
Lũy thừa với số mũ thực
1.Khái niệm:
Cho a là số thực dương ,α là một số vô tỉ.
Xét dãy số hữu tỉ r
1
,r
2
,…, r
n
, mà lim r
n
= α
Lũy thừa của a với số mũ α (kí hiệu là a
α
)
n
r
x
a lim a
α
→+∞
⇔ =
Chú ý:
i) Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ âm thì cơ số phải khác 0.

2) B a ( ) a .a a
a
− − +
= = =
Ví dụ 2: Giải phương trình:
4
x x 2+ =
Giải:
4
x x 2+ =
Đặt
4
t x(t 0)= >
phương trình (1) trở thành:
2
t 1
t t 2
t 2
=

+ = ⇔

= −

Vì t >0 nên
4
t 1 x 1 x 1= ⇒ = ⇔ =
Kết luận:
Phương trình có nghiệm x=1
Ví dụ 3: Giải bất phương trình:

0 a 1< ≠
,
b 0>
: số thực
α
để a b
α
= được gọi là logarit cơ số a của b.
Kí hiệu:
a
log b a b
α
α = ⇔ =
Chú ý:
i)
0 a 1< ≠
và
b 0>
.
ii) Do
a 0,
α
> ∀α∈ ⇒¡
không có logarit của số 0 và số âm.
Ví dụ:
2
10
-2
10
log 100 2 vì 10 100;

3
= =
;
( )
( )
3
3 3
2
log 4
log 12 log 4
2 2
9 3 3 4 16.= = = =
SAI [ 12
2
= 144]
2.Tính chất:
a) So sánh 2 logarit cùng cơ số:
Cho
0 a 1
< ≠
,
b,c 0>
. Ta có:

a a
a a
i) Khi a 1 thì log b log c b c;
ii) Khi 0 a 1 thì log b log c b c.
> > ⇔ >
< < > ⇔ <

1) log 4 & log
16
0 0.5 1
1
Do nên log log 4
1
16
4
16
2) log 125 & log 25
5 1
Do nên log 125 log 25
125 25
< <


<

<


>


<

<


[s]

a a
1
i) log log b
b
1
ii) log b log b
n
 
= −
 ÷
 
=
Ví dụ:
( )
5 5 5 5 5 5
5 5
5 5 5
2
5 5
1
log 3 log 12 log 50 log 3 log 2 3 log 50
2
3
log log 50
2 3
1 1
log log 50 log 50.
2 2
log 25 log 5 2
− + = − +

Cho
0 a 1< ≠
,
c 0>
và
0α ≠
, ta có:

a
a
1
log c .log c
α
=
α
→
a
a
log c .log c
α
β
β
=
α
Ví dụ:
3
2
6
3 3
3

log90 log(3 .10) 2log3 1
log 90 1,024
log81 4log3
log 3
+
= = = ≈
b/
e e 10
ln 2 log 2 log 10.log 2 ln10.log 2 0,6931= = = ≈
Bài tập:
Bài 1:
a/Cho a=log3;b=log2. Tính theo a,b giá trị:
125
A log 30=
b/ Cho a=log3;b=log2. Tính theo a,b giá trị:
30
B log 8=
Giải:
a/
125
log30 log3 log10 log3 1 a 1
A log 30
log125 3log5 3(1 log 2) 3(1 b)
+ + +
= = = = =
− −
b/Tương tự:
30
3b
B log 8

x
b
=
b/
2
5
3
1
4
m .n
x
p
=
Ứng dụng:
*Tính các phép tính liên quan đến lũy thừa.
VÍ Dụ1: Tính
3,2
2,1
log
3,2
2,1
=
3,2log 2,1 1,0311≈
3,2 1,0311
2,1 10 10,7424⇒ ≈ ≈
VÍ Dụ2:
Một người gửi 15 triệu đồng vào Ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 quý với lãi
suất 1.65%/năm. Hỏi sau bao lâu người gửi sẽ có ít nhất 20 triệu đồng từ số tiền gửi ban
đầu(Giả sử lãi suất ko thay đổi)?
Giải

(Chữ số)
Bài tập:
Bài 1: 1 số nguyên tố dạng
p
p
M 2 1= −
.
Trong đó p là 1 số nguyên tố (SNT Mersenne).
Euler phát hiện M
31
năm 1750; Lucas phát hiện M
127
năm 1876; M
1398269
được phát hiện
năm 1996. Hỏi nếu viết 3 số đó trong hệ thập phân thì mỗi số có bao nhiêu chữ số?
ĐS: M
31
có 10 CS
M
127
có 39 CS
M
1398269
có 421 CS
Bài 2: Năm 1992, người ta biết số
756839
p 2 1= −
là 1 SNT. Nếu viết trong hệ thập phân,
SNT đó có bao nhiêu chữ số?

1 2 98 99
ln ln ... ln ln
2 3 99 100
+ + + +
:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 2 98 99
ln ln ... ln ln
2 3 99 100
ln1 ln 2 ln 2 ln3 ... ln98 ln99 ln 99 ln100
ln100 ln 4.25
2ln 2 2ln5
2 a b
+ + + +
= − + − + + − + −
= − = −  
 
= − +
= − +
Bài tập:
Bài 1: Cho a=ln2, biểu diễn theo a:
( )
a / ln16;
b / ln 512;
c / ln 0,125 ;
1 1 1 1
d / ln ln ;

+
Bài 3: Chứng minh:
( ) ( ) ( )
7 25
ln 3 2 2 4ln 2 1 ln 2 1 0
16 8
+ − + − − =
Bài 4: Tính giá trị biểu thức:
a/
1
ln e ln
e
+
b/
( )
1 2
5lne 4ln e e
−
+
ĐS:
1
a /
2
b / 5
−
Bài 4: Rút gọn:
a/
( )
2
2 2

r
C A(1 )
m
= +
VÍ Dụ: Cho A=100 triệu đồng;
r =8%=0,08;
N=2.
Tính Số tiền sau 2 năm người đó nhận được theo các định kì sau:
M=1(ĐK năm)
M=2(ĐK 6tháng)
M=4(ĐK quý)
M=12(ĐK tháng)
M=52(ĐK tuần)
M=365(ĐK ngày)
Đáp số: Các giá trị C
m
theo định kì năm đến định kì ngày:
1
2
4
12
52
365
C 116,64
C 116,98
C 117,17
C 117,29
C 117,34
C 117,35
=

 
= + = +
 ÷
 
 ÷
 
 
 
 
Xét:
m
r
x
m x
1 1
lim 1 lim 1 2,718281828...(2)
m
x
r
→+∞ →+∞
 
 ÷
 
+ = +
 ÷
 ÷
 
 ÷
 
;

*Tính chất:
Đầy đủ tính chất của logarit cơ số lớn hơn 1.
*VÍ Dụ : Sự tăng trưởng của 1 loại vi khuẩn tuân theo công thức: S=Ae
rt
, trong đó A là
số lượng vi khuẩn ban đầu, r: tỉ lệ tăng trưởng(r>0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng
ban đầu lượng vi khuẩn là 100 con, sau 5 giờ có 300 con, hỏi :
+sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn?
+bao nhiêu lâu lượng vi khuẩn tăng gấp đôi?
Giải:
a/ Ban đầu lượng vi khuẩn là 100 con, sau 5 giờ có 300 con:
+Áp dụng công thức :
rt
S Ae=
5r
5r
300 100.e
e 3
⇒ =
⇒ =
ln3
r
5
⇒ =
+Vậy sau 10 giờ có
rt
S Ae= =
10r 5r 2 2
100.e 100.(e ) 100.3 900= = =
(con)

thỡ :
x
x 0
e 1
lim 1
x
→
−
=
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thi hàm số y = a
u(x)
có đạo hàm trên J và
( a
u(x)
)’= u’(x) . a
u(x)
. lna
t t
x x
1 1
lim 1 e; lim 1 e
t t
→+∞ →−∞
   
+ = + =
 ÷  ÷
   

Chứng minh :
Đặt


a) Nằm phía trên đường thẳng y = a

b) Nằm phía dưới đường thẳng y = a

2) Vẽ đồ thị hàm số (C)
0.5
y log x=
. Dựa vào đồ thị giải các bất phuơng trình :
a)
0.5
log x
> 0
b) -3
≤
0.5
log x
≤
-1
Đồ thị (C) chính là đồ thị hàm số
2
y log x= −
nên ta có nghiệm kết luận từ đồ thị :

B.Áp dụng hàm số để tính diện tích của hình phẳng
Đề:
6
5
4
3