PHÒNG GD & ĐT QUỲ HỢP
KÌ THI CHỌN GIÁO VIÊN GIỎI HUYỆN THCS
CHU KÌ 2011-2013
Đề thi môn toán; Thời gian làm bài 120 phút
(Không kể thời gian giao đề).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
ĐỀ RA
Câu 1 (4 điểm):
a) (1.5 điểm) Đổi mới phương pháp dạy học môn toán gồm các nội dung cơ bản nào?
b) (2.5 điểm) Việc dạy định lí cần đạt các yêu cầu gì? Nêu các con đường dạy học định lí toán
học ở trường phổ thông? Anh (chị) cần lưu ý gì khi lựa chọn các con đường ấy để dạy định lí
toán học cho học sinh trường THCS? Hãy lấy ví dụ về con đường anh chị đã chọn để dạy một
định lí trong chương trình toán học trung học cơ sở? Vì sao anh (chị) chọn con đường ấy?
Câu 2 (2 điểm): Cho x, y, z là các số thực dương và x.y.z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P,
biết rằng P =
xz2x)2z(
1
yz2z)2y(
1
xy2y)2x(
1
222222
+++
+
+++
+
+++
.
Câu 3 (4 điểm):
a) (2 điểm): Tìm các nghiệm số thực của phương trình


2
2
2
1
4
2
4
1
+−+

đạt giá trị nhỏ nhất, xác định giá trị nhỏ nhất đó?
Câu 5 (6 điểm): Cho đường tròn tâm O, bán kính r. Lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d (d
không cắt đường tròn O) vẽ tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp điểm), OM cắt AB tại N.
1. Chứng minh OM.ON không đổi.
2. Khi điểm M di chuyển trên đường thẳng d.
a) Tìm quỹ tích tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM.
b) Tìm quỹ tích điểm N?
c) Với bài toán trên, khi khoảng cách từ tâm đường tròn (O) tới đường thẳng d bằng
2
r
, quỹ
tích điểm N thay đổi như thế nào?
------------------------------------ Hết đề ------------------------------------------
Hướng dẫn chấm môn toán, kì thi chọn giáo viên giỏi huyện cấpTHCS
Chu kì 2011-2013
Câu Nội dung
Điểm
1
a) Đổi mới PPDH môn toán gồm các nội dung cơ bản sau:
Đối với học sinh: Đổi mới PPDH là học tập một cách tích cực, chủ động , biết phát hiện và giải

0.5
Việc chọn con đường dạy định lí phụ thuộc vào nội dung định lí và điều kiện cụ thể về học
sinh (muốn nói năng lực học tập). Do vậy giáo viên chọn con đường phù hợp với đối tượng học
sinh vẫn được tính điểm tối đa
Biến đổi
xy2y)2x(
22
+++
=
)1xxy(4)1xxy(4)yx(xy24x4yx
222
++≥+++−=++++

với x, y là các số thực dương, x.y.z = 1, dấu “=” chỉ xẩy ra khi x = y = 1.
Tương tự:
yz2z)2y(
22
+++

≥

)1yyz(4
++
; dấu “=” chỉ xẩy ra khi y = z = 1.
(
xz2x)2z
22
+++

≥

1
++
≤
; dấu “=” chỉ xẩy ra khi x = z = 1
Cọng vế theo vế 3 biểu thức trên ta được:
P
≤
4
1
(
1
1
++
xxy
+
1
1
++
yyz
+
1
1
++
zxz
); dấu “=” chỉ xẩy ra khi x =y= z = 1 0.5
Xét:
1
1
++
xxy

=
xzz
xz
xzxyzxyz
xz
++
=
++
1
2
0.5

1
1
++
xxy
+
1
1
++
yyz
+
1
1
++
zxz
=
zxz
z
++

1, P đạt giá trị lớn nhất là
4
1

0.5
3
a)





=−++
=+++
)2(1xyyx
)1(2yxy3x
Điều kiện:



≥+
≥+
0y3x
0yx
(*) 0.25
2.0
Đăt
nyx;my3x
=+=+
; hệ PT trở thành

Thay vào (4) ta có:
2
y2
−
+ y – x =1
↔
y = 2x ; thay vào (2) :
1xx3
=+
0.25
Đặt
x3
= k (k dương), ta có:
03k3k
2
=−+
, giải ra được k
1
=
2
213
−−
<0 (loại) ; k
2
=
2
213
+−
>0 nhận. 0.5


nguyên, đặt x
2
– 5 = a
2
, (a
∈
Z) (3) 0.5
(3)
↔
x
2
- a
2
= 5
↔

)ax)(ax(
−+
= 5,

ax
+
= 5;
ax
−
= 1; suy ra
x
= 3  x =
3
±

0.5
Biến đổi Q =
)xx(196xx
2
2
2
1
4
2
4
1
+−+
=
2
2
2
1
22
2
2
1
xx2)xx(
−+
-
)xx(196
2
2
2
1
+

2
– 2 – 196[4k
2
– 2] 0.5
= [4k
2
– 2]
2
– 2 [4k
2
– 2]98 + 98
2
- 98
2
- 2 0.5
= [(4k
2
– 2) - 98]
2
– (98
2
+ 2)
≥
– (98
2
+ 2). 0.5
Q đạt giá trị nhỏ nhất khi [(4k
2
– 100]
2

= r
2
không đổi 0.25
2 a) Trên OM lấy O’ sao cho OO’ =
O’M,  OO’ = O’M = O’A = O’B; 
O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆
ABM;.
0.25
Gọi giao điểm của d và (O’) là K 
MK
⊥
OK;  OK là khoảng cách từ O
tới đường thẳng d, đặt OK = h.
0.25
Ta có OK không đổi (do tâm O và
đường thẳng d cố định) 0.25
Kẻ O’E//MK, E
∈
OK; kết hợp O’M=O’O (bán kính của đường tròn O’), MK
⊥
OK 
O’E
⊥
OK và EO=EK=
2
1
OK =
2
1

2
==
=
h
r
2
không đổi, nên OH cố định. 0.75
 N thuộc đường tròn đường kính OH =
h
r
2
, trừ điểm O ( trong đó r
2
là bán kính đường
tròn O; h là khoảng cách từ O tới đường thẳng d)
0.5
2c) Khoảng cách từ d tới
(O) theo bài ra: h =
2
r
( hình vẽ bên). Khi đó d cắt
(O) tại L và L’. Xét ra hai
trường hợp:
Khi M chuyển động trên
tia Lx và L’y ta vẽ được các
tiếp tuyến với (O).
Khi M chuyển động trên
đoạn thẳng LL’ thì không vẽ
được tiếp tuyến với (O) trừ
điểm L, L’.