Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
BÀI TẬP LỚN
XỬ LÝ TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN
ĐỀ TÀI:
TÌM HIỂU LÝ THUYẾT VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA BỘ LỌC
KALMAN
Nhóm sinh viên thực hiện:
2.2.3. Nguồn gốc 16
2.2.4. Điều kiện không chệch 17
2.2.5. Hiệp phương sai sai số 19
2.2.6. Độ lời Kalman 20
2.2.7. Tóm tắt các phương trình của bộ lọc Kalman 21
II. ỨNG DỤNG CỦA BỘ LỌC KALMAN 24
III. CÀI ĐẶT THỬ NGHIỆM 26
1. Tao nhiễu Gaussian 26
2. Cài đặt bộ lọc Kalman 27
2.1. Mô phỏng hoạt động của bộ lọc Kalman 27
2.2. Mô phỏng hoạt động của bộ lọc Kalman mở rộng 31
IV. KẾT LUẬN 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO 33
Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 3 LỜI GIỚI THIỆU Ngày nay, nền công nghệ thế giới đang phát triển nhanh chóng và hàng loạt các
giải pháp công nghệ ra đời mỗi năm. Theo đó, các sinh viên ngành công nghệ ngoài việc
tiếp thu các kiến thức ở giảng đường còn phải tìm hiểu nghiên cứu thêm các công nghệ
tiên tiến trên thế giới để có thể đáp ứng được yêu cầu cao của thị trường lao động. Trong
những năm gần đây các loại cảm biến, thiết bị đo lường được sử dụng rộng rãi trong dân
dụng cũng như trong công nghiệp. Thế nhưng nhiều loại thiết bị lại rất nhạy với nhiễu,
vấn đề làm sao để loại nhiễu ra khỏi tín hiệu là một vấn đề thực sự không đơn giản.
Với những ưu điểm vượt trội, tiềm năng ứng dụng của thuật toán Kalman vào
thực tế trong việc áp dụng để lọc nhiễu trong tín hiệu là rất khả quan, vì vậy việc nghiên
cứu để năm rõ và tiến tới làm chủ phương pháp này là rất cần thiết và bổ ích. Ngoài ra
với mong muốn áp dụng và lập trình thuật toán Kalman vào thực tế nên nhóm chúng em
V(x). Nghĩa là giá trị x có thể dao động tùy theo mẫu thử, nó có ít cơ hội để có thể bằng
đúng chính xác giá trị X mà nó đang ước lượng. Mục đích ở đây là ta muốn có thể kiểm
soát sự sai lệch giá trị x và giá trị X.
Một biến ngẫu nhiên luôn dao động xung quanh giá trị kì vọng của nó. Ta muốn là
kì vọng của x phải bằng X. Khi đó ta nói ước lượng là không chệch. Trung bình tích lũy
trong ví dụ về chiều cao trung bình của trẻ 10 tuổi một ước lượng đúng, trong khi ước
Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 5
lượng về tổng số cá trong hồ được tính như trong ví dụ là một ước lượng không đúng, đó
là ước lượng thừa: trung bình tổng số cá ước lượng được luôn lớn hơn tổng số cá có thực
trong hồ.
Ta cũng muốn là khi mẫu thử càng rộng, thì sai lệch giữa x và X càng nhỏ. Khi đó
ta nói ước lượng là hội tụ. Định nghĩa theo ngôn ngữ toán học là như sau:
(x
n
) hội tụ nếu
với mọi số thực dương (xác suất để sai lệch với
giá trị thực cần ước lượng lớn hơn tiến về 0 khi kích cỡ của mẫu thử càng lớn).
Biến ngẫu nhiên dao động quanh giá trị kì vọng của nó. Nếu phương sai V(x) càng
bé, thì sự dao động càng yếu. Vì vậy ta muốn phương sai của ước lượng là nhỏ nhất có
thể. Khi đó ta nói ước lượng là hiệu quả.
Cuối cùng, trong quá trình điều tra, có thể xuất hiện một giá trị “bất thường” (ví dụ
có trẻ 10 tuổi nhưng cao 1,80 m). Ta muốn giá trị bất thường này không ảnh hưởng quá
Nếu là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là
thì kỳ vọng
của là:
- Tính chất
i.
- Ý nghĩa: Kỳ vọng của một đại lượng ngẫu nhiên chính là giá trị trung bình
(theo xác suất) của đại lượng ngẫu nhiên đó. Nó là điểm trung tâm của phân phối mà các
giá trị cụ thể của X sẽ tập trung quanh đó.
1.4. Phương sai (Variance)
Định nghĩa: Phương sai (trung bình bình phương độ lệch) của đại lượng ngẫu
nhiên X, ký hiệu
hay
được xác định bởi công thức:
Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là
thì:
Trong thực tế ta thường tính phương sai bằng công thức:
;
iii. Nếu X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập thì:
Ý nghĩa: là độ lệch khỏi giá trị trung bình. Do đó phương sai
gọi là
trung bình bình phương độ lệch. Nên phương sai phản ánh mức độ phân tán của các giá
Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 7
trong đó
lần lượt là kỳ vọng của X, Y.
Một công thức tương đương của hiệp phương sai:
Ý nghĩa của hiệp phương sai là sự biến thiên cùng nhau của 2 biến ngẫu nhiên:
-
Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 8
-
1.7. Ma trận hiệp phương sai
Như chúng ta vừa trình bày, hiệp phương sai là đại lượng tính toán sự tương quan
giữa 2 biến ngẫu nhiên.
Vậy giả sử chúng ta có một vector biến ngẫu nhiên có 3 phần tử
. Nếu ta
muốn tính toán sự tương quan giữa tất cả các cặp biến ngẫu nhiên thì ta phải tính tất cả 3
hiệp phương sai
Quan sát trên đường chéo của ma trận hiệp phương sai (i=j) ta thấy tại đó là các
phương sai, vì
1.8. Phân phối chuẩn (phân phối Gaussian)
Trong thực tế, người ta thường sử dụng phân phối xác suất có tên là phân phối
chuẩn (normal distribution) hay phân phối Gaussian.
Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Gaussian khi nó có hàm mật độ
là hàm Gaussian, ký hiệu là gọi là X có phân phối chuẩn với tham số .
Khi đó hàm mật độ của X là:
Hình 1.1: Đồ thị của một số phân phối chuẩn
Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 10
1.9. Ước lượng của trung bình và phương sai
Ta chọn ngẫu nhiên n cá thể trong một dân số gồm N cá thể. Ta quan tâm đến đặc
trưng định lượng Y của dân số với trung bình
và phương sai V(Y). Trong mẫu đó, đặc
trưng Y có trung bình và phương sai đo được lần lượt là và
.
Lưu ý là các giá trị và σ
2
thay đổi tùy theo mẫu thử, do đó chúng là các biến ngẫu nhiên
với trung bình và phương sai riêng khác nhau.
Ước lượng trung bình của Y:
Thông thường trung bình của Y, tức là
trong trường hợp lấy mẫu có hoàn lại
trong trường hợp lấy mẫu không hoàn lại
Trong trường hợp mẫu lớn, phép tính có hoàn lại và phép tính không hoàn lại là
như nhau, vì
xấp xỉ bằng 1. Vì vậy trong trường hợp tổng quát ước lượng đúng của
V(Y) là:
được gọi là phương sai tích lũy của Y.
1.10. Phương pháp bình phương tối thiểu
Trong toán học, phương pháp bình phương tối thiểu, còn gọi là bình phương nhỏ
nhất hay bình phương trung bình tối thiểu, là một phương pháp tối ưu hóa để lựa chọn
Nội dung của phương pháp là tìm giá trị của các tham số p
j
sao cho biểu thức sau
đạt cực tiểu:
Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 12
Nội dung này giải thích tại sao tên của phương pháp là bình phương tối thiểu.
Đôi khi thay vì tìm giá trị nhỏ nhất của tổng bình phương, người ta có thể tìm giá
trị nhỏ nhất của bình phương trung bình:
với hệ số nhiễu ε là biến ngẫu nhiên có giá trị kỳ vọng bằng 0.
Trong biểu thức của hồi quy tuyến tính x được đo chính xác, chỉ có y chịu nhiễu loạn ε.
Thêm nữa, hàm f tuyến tính với các tham số p
j
. Nếu f không tuyến tính với các tham số,
ta có hồi quy phi tuyến, một bài toán phức tạp hơn nhiều hồi quy tuyến tính.
2. Bộ lọc Kalman
2.1. Giới thiệu chung về bộ lọc Kalman
Được đề xuất từ năm 1960 bởi giáo sư Kalman để thu thập và kết hợp linh động
các thông tin từ cảm biến thành phần. Một khi phương trình định hướng và mẫu thống kê
nhiễu trên mỗi cảm biến được biết và xác định, bộ lọc Kalman sẽ cho ước lượng giá trị
tối ưu (chính xác do đã được loại sai số, nhiễu) như là đang sử dụng một tín hiệu “tinh
khiết” và có độ phân bổ không đổi. Trong hệ thống này, tín hiệu cảm biến vào bộ lọc
gồm hai tín hiệu: từ cảm biến góc (inclinometer) và cảm biến vận tốc góc (gyro). Tín hiệu
đầu ra của bộ lọc là tín hiệu của inclinometer và gyro đã được loại nhiễu nhờ hai nguồn
tín hiệu hỗ trợ và xử lý lẫn nhau trong bộ lọc, thông qua quan hệ (vận tốc góc = đạo
hàm/vi phân của giá trị góc.
Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 13
Bô lọc Kalman đơn giản là thuật toán xử lý dữ liệu hồi quy tối ưu. Có nhiều cách
xác định tối ưu, phụ thuộc tiêu chuẩn lựa chọn trình thông số đánh giá. Nó cho thấy rằng
bộ lọc Kalman tối ưu đối với chi tiết cụ thể trong bất kỳ tiêu chuẩn có nghĩa nào. Một
khía cạnh của sự tối ưu này là bộ lọc Kalman hợp nhất tất cả thông tin được cung cấp tới
nó. Nó xử lý tất cả giá trị sẵn có, ngoại trừ độ sai số, ước lượng giá trị hiện thời của
những giá trị quan tâm, với cách sử dụng hiểu biết động học thiết bị giá trị và hệ thống,
mô tả số liệu thống kê của hệ thống nhiễu, gồm nhiễu ồn, nhiễu đo và sự không chắc
chắn trong mô hình động học, và những thông tin bất kỳ về điều kiện ban đầu của giá trị
Trong đó
là trạng thái tại thời điểm k,
là vector điều khiển đầu vào,
là hệ
thống cộng hay nhiễu quá trình – thường là nhiễu Gaussian trắng cộng (AWGN) ,
là
ma trận chuyển đổi đầu vào và
là ma trận chuyển trạng thái.
Ngoài ra chúng ta giả sử rằng, khả năng quan sát trạng thái được thực hiện thông
qua một hệ thống đo lường có thể được biểu diễn bởi một phương trình tuyến tính như
sau
Đưa ra những giả định trên với mục đích để xác định, đưa ra tập giá trị quan sát
, bộ lọc ước lượng ở thời điểm tạo ra một ước lượng tối ưu của trạng
thái
mà chúng ta ký hiệu bởi
, tối thiểu hóa kỳ vọng của hàm tổn thất bình
phương lỗi.
là
. Đó được gọi là một bước trước dự đoán hay đơn giản là dự đoán. Bây
giờ, giải pháp để tối thiểu hóa phương trình (2.7) là kỳ vọng của trạng thái ở thời điểm
được ước định dựa trên quan sát ở thời điểm . Như vậy,
Khi đó trạng thái dự đoán được cho bởi
Khi sử dụng trong thực tế, nhiễu quá trình có giá trị trung bình là 0 và
đã được
biết chính xác.
tìm
. Chúng ta giả sử rằng ước lượng là tổng trọng số tuyến tính của dự đoán và
quan sát mới và có thể được mô tả bởi phương trình,
Trong đó
và
là những ma trận hiệu chỉnh bù hay ma trận độ lời (của
các kích thước khác nhau). Vấn đề của chúng ta bây giờ là tìm
và
để tối thiểu
hóa điều kiện ước lượng trung bình bình phương sai số. Sai số dự đoán được cho bởi
Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 18
Do đó kết hợp phương trình (2.13) và (2.14)
Trong đó được gọi là độ lời của bộ lọc Kalman (Kalman gain).
có thể được hiểu như một quan sát hay đo lường dự đoán
là độ lệch đo lường thể hiện sự sai khác giữa giá trị đo lường
và
ước lượng của nó
, được biểu diễn bởi
Vì vậy hiệp phương sai của ước lượng điều chỉnh đã được biểu diễn qua hiệp
phương sai dự đoán
, nhiễu đo lường
và ma trận độ lời Kalman
2.2.6. Độ lời Kalman
Mục tiêu của chúng ta là làm sao để tối thiểu hóa trung bình bình phương sai số
ước lượng có điều kiện với độ lời Kalman .
Kết hợp (2.23) và (2.24) và lấy vi phân ma trận độ lời và đặt kết quả bằng 0 ta
được
Cùng với phương trình 2.16, định nghĩa một ước lượng tối ưu tuyến tính trung
bình bình phương sai số.
Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 21
Từ (2.26) ta có
Kết hợp (2.23) và (2.27)
2.2.7. Tóm tắt các phương trình của bộ lọc Kalman
Đo lường dự đoán:
Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 22
Prediction
(1)
(4)
(5)
(6)
Độ lời Kalman:
Trạng thái ước lượng điều chỉnh:
Hiệp phương sai ước lượng điều chỉnh:
Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 23
Cùng với các điều kiện ban đầu trong ước lượng và ma trận hiệp phương sai lỗi
của nó (phương trình 2.6) đã định nhĩa một giải thuật rời rạc hóa về thời gian và đệ quy
để xác định hiệp phương sai ước lượng tuyến tính tối thiểu được gọi là bộ lọc Kalman.
Lý thuyết và các ứng dụng của bộ lọc Kalman Page 24
II. ỨNG DỤNG CỦA BỘ LỌC KALMAN
Bởi vì bộ lọc Kalman giải quyết một số vấn đề cơ bản là lọc nhiễu và tối ưu cho
các ước lượng nên nó được ứng dụng rất rộng rãi. Ngày nay Kalman được ứng dụng
nhiều trong các ô tô tự lái có khả năng thay thế con người vận hành xe, một chương trình
máy tính được cài sẵn bộ lọc Kalman sẽ có nhiệm vụ điều khiển xe. Những chiếc xe này
thậm chí còn được giới thiệu là an toàn hơn xe lái bởi con người trong một số trường hợp.
Một ứng dụng khác, có thể chúng ta không thích thú lắm, đó là các tên lửa không
đối không (air-to-air missile: AAM). Đó là các tên lửa dẫn hướng việc bắn từ một máy
bay để tiêu diệt máy bay khác. Tên lửa dẫn hướng hoạt động theo nguyên lý phát hiện
mục tiêu (thông thường bằng rada hoặc hồng ngoại, đôi khi cũng sử dụng Lazer hoặc
quang học) sau đó tự động dẫn đến mục tiêu nhờ quá trình ước lượng của Kalman [3].
Ngoài ra bộ lọc Kalman còn được áp dụng nhiều vào hệ thống theo dõi mục tiêu di
động trong mạng cảm biến không dây. Do nhiễu đo lường trên các cảm biến nên kết quả
thu được thường không chính xác, có sai số lớn so với thực tế. Bộ lọc Kalman được áp
dụng để lọc nhiễu, dự đoán, ước lượng trạng thái của mục tiêu như vị trí, tốc độ và quỹ
đạo. Nhờ có quá trình dự đoán và điều chỉnh của bộ lọc Kalman đã góp phần quan trọng
vào việc quản lý trạng thái các cảm biến làm giảm thiểu năng lượng tiêu thụ cũng như
tăng chất lượng theo dõi và kéo dài thời gian sống của mạng [4].
Một số ứng dụng được liệt kê từ bài viết Kalman Filter trên Wikipedia [5]:
Lái tự động máy bay (Autopilot)
Ước lượng trạng thái sạc của pin (Battery state of charge (SoC) estimation)
Copyright: Tài liệu đại học ©