bộ giáo dục và đào tạo viện hàn lâm khoa học
và công nghệ vn
viện vật lý
trần đình thám
vật chất tối trong một số mô hình 3-3-1
mở rộng
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 62 44 01 03
luận án tiến sĩ vật lý
Người hướng dẫn khoa học
GS. TS. Đặng Văn Soa
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến GS. TS. Đặng Văn Soa đã hướng dẫn
tôi học tập, nghiên cứu trong suốt thời gian làm nghiên cứu sinh và giúp
tôi hoàn thành luận án này. Xin cảm ơn GS. TS. Hoàng Ngọc Long,
TS. Phùng Văn Đồng, TS. Đỗ Thị Hương, TS. Lê Thọ Huệ, ThS. Cao
Hoàng Nam - Viện Vật lý và TS. Nguyễn Huy Thảo, TS. Hà Thanh
Hùng - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và có nhiều đóng
góp đối với kết quả của luận án.
Tôi xin cảm ơn Trường Đại học Phạm Văn Đồng nơi tôi đang công
tác đã có những hỗ trợ và động viên cần thiết trong thời gian tôi làm
nghiên cứu sinh. Xin cảm ơn Viện Vật lý là cơ sở đào tạo đã tạo điều
kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong quá trình làm nghiên cứu sinh và bảo
vệ luận án.
Cuối cùng, tôi xin dành sự biết ơn sâu sắc tới gia đình đã động viên,
ủng hộ và hỗ trợ vô điều kiện về mọi mặt để tôi có thể yên tâm nghiên
cứu và bảo vệ thành công luận án này.
ii
Lời cam đoan
Luận án này là kết quả mà bản thân tôi đã thực hiện trong thời gian

2.2.1 Tổng quan về mô hình . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Đối xứng Peccei-Quinn và axion . . . . . . . . . . 35
2.2.3 Quá trình rã của axion thành hai photon . . . . . 37
2.3 Tiết diện tán xạ của quá trình chuyển hóa photon-axion
trong trường điện từ ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Yếu tố ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2 Sự chuyển hóa trong điện trường tĩnh . . . . . . . 40
2.3.3 Sự chuyển hóa trong từ trường tĩnh . . . . . . . . 42
2.3.4 Sự chuyển hóa trong ống dẫn sóng . . . . . . . . 45
2.4 Tóm tắt kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
iv
3 Vật chất tối trong mô hình 3-3-1-1 và thực nghiệm tìm
kiếm 50
3.1 Mô hình 3-3-1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1 Fermion trung hòa và các hạt lepton sai . . . . . 50
3.1.2 Đối xứng chuẩn 3-3-1-1 và W -parity . . . . . . . 55
3.1.3 Thế vô hướng và khối lượng . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Vật chất tối và thực nghiệm tìm kiếm . . . . . . . . . . 66
3.2.1 Mật độ tàn dư của boson chuẩn X
0
. . . . . . . . 67
3.2.2 Mật độ tàn dư của fermion trung hòa N
R
. . . . . 68
3.2.3 Thực nghiệm tìm kiếm vật chất tối N
R
. . . . . . 70
3.3 Tóm tắt kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Kết luận 74
4.1 Các kết quả chính của luận án . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.3 Tích B của các đa tuyến trong mô hình. . . . . . . . . . 54
3.4 Các đa tuyến trong mô hình 3-3-1-1 với tích N tương ứng. 56
3.5 R-parity của các hạt trong mô hình 3-3-1-1 gồm hai loại
là các hạt lepton sai và các hạt thông thường. . . . . . . 58
vii
Danh sách hình vẽ
2.1 Tiết diện tán xạ toàn phần (cm
2
) của quá trình chuyển
hóa photon thành axion trong điện trường tĩnh ứng với
xung lượng q = 10
−4
÷ 10
−3
eV . Đồ thị trên vẽ với 300
điểm và đồ thị dưới vẽ với 3000 điểm. . . . . . . . . . . . 43
2.2 Tiết diện tán xạ toàn phần (cm
2
) của quá trình chuyển
hóa photon thành axion trong từ trường tĩnh ứng với xung
lượng q = 10
−4
÷ 10
−3
eV . Đồ thị trên vẽ với 300 điểm và
đồ thị dưới vẽ với 3000 điểm. . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Tiết diện tán xạ toàn phần (cm
2
) của quá trình chuyển
hóa photon thành axion trong ống dẫn sóng với xung

Các ngôi sao này không có sự liên hệ với hệ thống các sao trong Vũ trụ,
chúng được gọi là MACHO (Massive astrophysical compact halo object).
Các ứng cử viên cho dạng DM này là các ngôi sao nơtron hay hố đen.
Dạng thứ hai của DM là dạng vật chất không bắt nguồn từ các dạng vật
chất thông thường, chúng được gọi là non-baryonic DM. Các ứng cử viên
cho non-baryonic DM được cho là các hạt WIMPs (weakly interacting
massive particles), là các hạt có khối lượng nhưng tương tác rất yếu với
vật chất thông thường (các hạt chỉ có tương tác hấp dẫn mà không có
các tương tác khác). Các nhà thiên văn học chủ yếu nghiên cứu các ứng
cử viên của DM là baryonic DM, trong khi đó các nhà vật lý hạt cơ bản
thì tìm kiếm DM là các hạt WIMPs. Trong luận án này, chúng tôi tập
trung nghiên cứu DM dựa trên quan điểm của vật lý hạt cơ bản.
Trên quan điểm của vật lý hạt cơ bản, các hạt DM là các hạt trung
hòa, không bị rã hoặc thời gian sống của chúng phải đủ lớn (tức là
thời gian sống của DM phải lớn hơn tuổi của Vũ trụ). Hiện tại, các hạt
1
WIMPs chưa được tìm thấy trong các máy gia tốc và cũng chưa có bằng
chứng nào cho ta xác định các thông tin về spin cũng như khối lượng của
chúng. Chính vì vậy, nghiên cứu bản chất của DM và tìm kiếm chúng
là một trong những vấn đề đã và đang được các nhà khoa học trên thế
giới, kể cả các nhà vật lý lý thuyết và thực nghiệm quan tâm.
Mặt khác, mô hình lý thuyết mô tả các tương tác của các hạt cơ bản
trong Vũ trụ được thực nghiệm ủng hộ nhất hiện nay là mô hình chuẩn
(Standard Model - SM). Tuy nhiên, trong SM không tồn tại ứng cử viên
thỏa mãn tính chất của DM. Do đó, chúng ta cần phải mở rộng SM để
chúng xuất hiện các ứng cử viên của DM. Do tính chất về spin của DM
là không xác định và phổ khối lượng của DM là rộng nên các ứng cử
viên của DM là rất phong phú. Chúng có thể là hạt vô hướng, hạt véc
tơ hay hạt fermion.
Chúng tôi muốn nhấn mạnh, khi mở rộng SM thì vùng không gian

phát hiện axion trong thực nghiệm.
• Đặc điểm của mô hình 3-3-1-1.
• Vai trò DM của fermion trung hòa trong mô hình 3-3-1-1 và thực
nghiệm tìm kiếm.
Phương pháp nghiên cứu
• Lý thuyết trường lượng tử.
• Lý thuyết nhóm.
• Sử dụng quy tắc Feyman để tính biên độ tán xạ và bề rộng rã.
• Sử dụng các dữ liệu thực nghiệm mới nhất được công bố trên tạp
chí Particle Data Group.
• Dùng phần mềm Matlab R2008a để tính số và vẽ đồ thị.
Đóng góp của luận án
Những kết quả nghiên cứu của luận án là bằng chứng quan trọng góp
phần khẳng định sự tồn tại ứng cử viên cho DM là axion và fermion
trung hòa trong các mô hình mở rộng mô hình chuẩn có giả thiết thêm
một số đối xứng mới. Đề xuất phương án có lợi nhất để tìm kiếm ứng
cử viên cho vật chất tối trong thực nghiệm.
3
Bố cục của luận án
Trong luận án này ngoài phần mở đầu và phụ lục, nội dung chính
được chúng tôi trình bày trong 4 chương:
Chương 1: Giới thiệu tổng quan về vật chất tối và sự mở rộng của mô
hình chuẩn.
Chương 2: Trình bày lý thuyết chung về vấn đề strong-CP và nguồn
gốc xuất hiện axion thông qua quá trình phá vỡ đối xứng Peccei-Quinn
để giải quyết vấn đề strong-CP. Tiếp theo, chúng tôi xét cụ thể cho mô
hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải và khảo sát vai trò ứng cử viên
vật chất tối của axion trong mô hình này, nghiên cứu tính bền của axion
thông qua quá trình rã của nó thành hai photon và nghiên cứu sự chuyển
hóa photon thành axion trong trường điện từ ngoài bao gồm điện trường

hằng số thì vận tốc v
2
sẽ giảm tỉ lệ nghịch với khoảng cách. Tuy nhiên,
các phép đo từ thực nghiệm [2] đã chứng tỏ vận tốc v bên ngoài thiên
hà vẫn là hằng số. Nghĩa là, khối lượng sẽ phụ thuộc vào khoảng cách
bên ngoài thiên hà M ∝ r. Điều này chứng tỏ tồn tại một dạng vật chất
mà chúng ta không nhìn thấy bên ngoài thiên hà.
Một bằng chứng thứ hai về DM là thấu kính hấp dẫn. Các nhà vật lý
thiên văn đã dùng thấu kính hấp dẫn để tìm kiếm DM. Thấu kính hấp
dẫn là hiện tượng ánh sáng sẽ bị gẫy khúc khi mà tia sáng đi qua các
vật thể có khối lượng lớn. Chính vì vậy, khi ánh sáng đi qua hố đen hoặc
các ngôi sao nơtron (vật thể là ứng cử viên baryonic DM) thì ánh sáng
bị gẫy khúc. Các nhà thiên văn học đã nghiên cứu các bức ảnh chụp bầu
trời về hiệu ứng sáng chứng tỏ sự gẫy khúc của ánh sáng trong không
gian Vũ trụ. Từ những số liệu thực nghiệm đó, chứng tỏ sự tồn tại của
các vật thể trong Vũ trụ mà chúng ta không quan sát được. Chúng ta
5
gọi chúng là DM.
Sự xuất hiện của các tia X phát ra từ các đám khí nóng trong các
thiên hà Elip chứng tỏ sự tồn tại của DM. Dựa trên các mô hình đẳng
nhiệt với nhiệt độ kT = 3keV , Fabricant và Gorenstein đã tiên đoán
tổng khối lượng từ tâm thiên hà đến bán kính 392 kpc là 5.8 ×10
13
M

với M

là khối lượng Mặt Trời. Tuy nhiên, khối lượng khí nóng chỉ cỡ
2.8 × 10
12

• Vật chất tối ấm (warm dark matter) là những hạt DM có tính chất
6
trung gian giữa vật chất tối nóng và vật chất tối lạnh.
Trước đây, các ứng cử viên hàng đầu cho vật chất tối lạnh là các hạt
có khối lượng và không tương tác với vật chất thông thường. Người ta
cũng cho rằng, phần năng lượng bị mất đi trong các máy gia tốc chính
là tín hiệu của DM. Tuy nhiên, khoa học hiện nay đã mở rộng đáng kể
danh sách các ứng cử viên và cung cấp nhiều dấu hiệu mới có thể tìm
kiếm DM. Các số liệu thực nghiệm về tìm kiếm DM một cách gián tiếp
cho thấy phổ khối lượng của vật chất tối lạnh là rất rộng. Các thông tin
về spin của vật chất tối lạnh cũng không được xác định. Chính vì vậy,
các ứng cử viên của vật chất tối lạnh là rất phong phú. Do đó, trong
luận án này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu các ứng cử viên của vật
chất tối lạnh. Chi tiết, chúng tôi sẽ nghiên cứu các điều kiện cần thiết
để đảm bảo hạt trung hòa là bền. Các ứng cử viên của DM chúng tôi
khảo sát cũng phong phú. Chúng có thể là hạt vô hướng và cũng có thể
là hạt fermion. Chúng tôi tập trung chủ yếu khảo sát một ứng cử viên
của WIMPs là hạt nhẹ (cỡ eV ) và một ứng cử viên của WIMPs là hạt
nặng (cỡ TeV ).
Chúng tôi muốn nhấn mạnh, một trong những điều kiện quan trọng
của DM là hạt trung hòa và bền vững. Mặt khác, trong lý thuyết hạt
cơ bản, mô hình thành công nhất hiện nay là SM, khi mà hầu hết các
tiên đoán của nó đã được thực nghiệm khẳng định ở vùng năng lượng
≤200 GeV. Theo đó, phổ hạt trong SM gồm các fermion có spin
1
2
, các
boson chuẩn spin 1 và boson Higgs spin 0. Fermion là các hạt cấu tạo
nên vật chất thông thường gồm các quark (up, down, charm, strange,
top, bottom), ba thế hệ lepton mang điện (electron, muon, tauon) và

Ngoài vấn đề DM, SM còn chứa một số vấn đề khác cần phải được
giải quyết xuất phát từ các dữ liệu thực nghiệm đã có hiện nay như vấn
đề khối lượng và sự dao động của các neutrino, sự phân bậc thang năng
lượng phá vỡ đối xứng điện yếu với thang Plank, vấn đề vi phạm CP
trong tương tác mạnh (strong-CP), sự lượng tử hóa điện tích của các
hạt, giải thích số thế hệ fermion, sự không thống nhất ba hằng số tương
tác, chưa giải thích được các quá trình vật lý xảy ra ở vùng năng lượng
cao hơn 200 GeV, Các bằng chứng trên, chứng tỏ chúng ta cần phải
mở rộng SM.
Trong luận án này, chúng tôi tập trung vào hướng nghiên cứu mở
rộng SM để giải quyết vấn đề DM. Trước tiên, chúng tôi quan tâm đến
sự xuất hiện của DM gắn liền với việc giải quyết bài toán strong-CP.
Chúng tôi sẽ chứng minh có sự tồn tại của DM thông qua cơ chế phá
vỡ đối xứng Peccei-Quinn. Như chúng ta đã biết, Lagrangian của sắc
động lực học lượng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) tồn tại một
số hạng vi phạm CP có dạng
L =
θ
16π
2
F
aµν

F
a
µν
, (1.2)
với

F

hướng nhẹ được gọi là axion [8] và việc axion xuất hiện trong lý thuyết
như thế nào được trình bày chi tiết ở chương 2. Hiện nay, khối lượng
axion được giới hạn bởi thực nghiệm [9], các giới hạn được đưa ra bởi
thiên văn học và vũ trụ học [10], phạm vi giới hạn trong khoảng từ 10
−6
eV cho đến 10
−3
eV. Nếu axion có khối lượng gần giới hạn dưới cỡ 10
−5
eV thì nó sẽ là ứng cử viên cho DM. Nếu axion trong Vũ trụ đóng góp
một tỷ lệ nào đó vào DM chúng có thể được phát hiện bởi các máy dò
axion [11]. Hiện nay thực nghiệm vẫn đang tìm kiếm axion sinh ra từ
Mặt trời [12] và axion tàn dư từ thời kỳ Vũ trụ sớm [13].
Ngoài axion vẫn còn có các ứng cử viên khác cho DM xuất hiện trong
các mô hình mở rộng SM đang được nghiên cứu hiện nay như bạn đồng
hành siêu đối xứng nhẹ nhất trong các mô hình siêu đối xứng (Lightest
Supersymmetric Particle - LSP), axino bạn đồng hành siêu đối xứng
của axion [14, 15, 16, 17], gravitino bạn đồng hành siêu đối xứng của
hạt truyền tương tác hấp dẫn graviton, một số hạt mới xuất hiện trong
các mô hình 3-3-1 [21] hay mô hình thêm chiều [18], Trong luận án
này, chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu DM là axion và fermion trung
hòa trong các mô hình 3-3-1 có thêm một số đối xứng mới. Đây là lớp
các mô hình mở rộng SM theo hướng mở rộng nhóm đối xứng điện yếu
SU(2)
L

U(1)
Y
của SM. Cụ thể, nhóm này được mở rộng thành nhóm
SU(3)

không thể đảm bảo đúng đắn ở mọi bậc của khai triển nhiễu loạn. Chính
vì vậy, chúng ta cần phải đưa thêm vào các đối xứng mới để loại bỏ các
tương tác không mong muốn. Đối xứng đưa vào có thể là đối xứng gián
đoạn hoặc đối xứng liên tục. Trong luận án này, chúng tôi sẽ khảo sát
cả hai cách đưa thêm đối xứng vào các mô hình 3-3-1. Từ đó, chúng tôi
chứng tỏ sự tồn tại của DM. Cụ thể:
Trong chương 2 chúng tôi sẽ nghiên cứu chi tiết nguồn gốc và vai trò
DM của axion trong mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải gắn với
đối xứng Z
11
⊗ Z
2
. Nhìn chung các đối xứng gián đoạn được đưa vào
nhằm mục đích loại bỏ các số hạng tương tác không mong muốn nhưng
vẫn giữ lại được các số hạng sinh khối lượng cho các hạt phù hợp với
thực nghiệm. Theo [21], các mô hình có phổ hạt càng phong phú như lớp
mô hình 3-3-1 thì càng có khả năng tồn tại đối xứng Z
N
phù hợp với N
có giá trị lớn. Người ta chọn N có giá trị lớn để loại bỏ nhiều nhất có thể
các số hạng phức tạp và không cần thiết trong Lagrangian. Tuy nhiên,
với trường hợp Z
13
thì người ta phải xây dựng phổ fermion phức tạp
hơn để đảm bảo tồn tại đối xứng Peccei-Quinn một cách tự nhiên trong
mô hình. Vì vậy, đối xứng Z
11
được chọn là phù hợp nhất. ở đây chúng
tôi lần lượt gán các tích Z
11






ν
L
e
L
ν
c
R





hoặc





ν
L
e
L
N
c
R

2
nữa. Một vấn đề khác đó là, số lepton bị vi phạm do tương tác
hiệu dụng 5 chiều đặc trưng cho khối lượng neutrino.
Trong [27], sự sắp xếp các hạt mới làm mất đi đặc tính bilepton của
chúng và đối xứng số lepton không loại bỏ được các tương tác không
mong muốn. Vì vậy, đối xứng Z
2
đã được đưa vào bằng tay, trong đó các
11
tích Z
2
được gán để loại bỏ các số hạng không mong muốn. Đối xứng
này được xem như một cách giải quyết tính ổn định của DM [27]. Tuy
nhiên, vì Z
2
tác dụng lên các đa tuyến của mô hình phải bị phá vỡ một
cách tự phát bởi trung bình chân không của Higgs, nên không có lý do
nào giải thích tại sao các hạt DM vô hướng không mang số lepton lại
không thể nhận trung bình chân không và phân rã. Ngoài ra, trong [27],
một đối xứng liên tục U(1)
G
tác dụng lên các hạt thành phần, không
giao hoán với đối xứng chuẩn tương tự như tích lepton trước đây được
sử dụng thay cho đối xứng Z
2
nhằm mô tả DM. Chúng ta nhớ rằng,
các tương tác của boson chuẩn với fermion, vô hướng hoặc tự tương tác
giữa các boson chuẩn là các hệ quả và bị giới hạn bởi chính đối xứng
chuẩn. Chúng luôn luôn tồn tại mà không bị loại bỏ hoặc thêm vào bởi
các tương tác khác. Để chặn các tương tác và chân không không mong

G
. Chúng ta cần
phải nhấn mạnh rằng, trong số các đối xứng liên tục đã phân tích thì
tích lepton có lẽ là tự nhiên nhất bởi các lý do sau: (i) tất cả các tương
tác không mong muốn trong các mô hình 3-3-1 thông thường sẽ bị loại
bỏ bởi chúng vi phạm số lepton [30]; (ii) đối xứng gián đoạn đặc trưng
cho sự bền của DM chẳng hạn như số lepton hoặc baryon có thể bị phá
vỡ theo nhiều cách đảm bảo sinh khối lượng phù hợp cho neutrino và
bất đối xứng baryon. Chúng ta sẽ thấy rằng, cách làm trên tương tự với
việc mở rộng lý thuyết SU(5) thành lý thuyết SO(10) với tích B − L
trở thành tích chuẩn định xứ. Trong luận án này, tích lepton sẽ được sử
dụng khác so với đối xứng U(1)
G
.
Bằng cách khảo sát tính chất số lepton không tầm thường và W -
parity (tương tự như R-parity trong siêu đối xứng) trong một mô hình
3-3-1 cụ thể [23], chúng tôi chỉ ra được lý thuyết có thể chứa các ứng cử
viên cho DM một cách tự nhiên. Để chi tiết hơn, chúng tôi xét mô hình
3-3-1 với fermion trung hòa (N
R
), là mô hình khác với mô hình trong
tài liệu [27]. Các fermion trung hòa này không mang số lepton như đã
được nghiên cứu trước đây trong mở rộng seesaw TeV của SM [31] và
trong mô hình 3-3-1 với các đối xứng vị [23]. Chúng tôi khảo sát đối
xứng số lepton, động học của nó và các đối xứng khác, mà kết quả dẫn
đến một mô hình 3-3-1-1 mới. Chúng tôi chứng tỏ rằng tồn tại một đối
xứng dư không bị phá vỡ (độc lập dị thường) của mô hình 3-3-1-1 có cơ
chế giống như đối xứng R-parity trong siêu đối xứng, ở đó dưới đối xứng
này hầu hết các hạt mới đều mang tích lẻ. Điều thú vị là mô hình có thể
chứa rất nhiều loại ứng cử viên cho DM, chẳng hạn như đơn tuyến vô

PQ
. Từ đó người ta đưa ra được một số hướng giải quyết vấn
đề strong-CP. Ví dụ, nếu trường fermion có khối lượng bằng không, thì
người ta có thể tùy ý định nghĩa lại pha của trường để đảm bảo cho đóng
góp toàn phần θ luôn bằng không với mọi đóng góp bất kỳ từ instantons.
Tuy nhiên, thực nghiệm đã cho thấy rằng các quark luôn có khối lượng
nên cách xử lý trên không hợp lý. Một hướng giải quyết khác, được cho
là hợp lý nhất hiện nay do Peccei-Quinn đề xuất năm 1977 [32]. Theo
đó, từ giả thiết lý thuyết ban đầu chứa các fermion không khối lượng,
Peccei-Quinn đưa vào các trường vô hướng sinh khối lượng cho các quark
thông qua phá vỡ đối xứng U(1)
PQ
. Tiếp theo, sử dụng hai điều kiện lý
thuyết phải thỏa mãn là điều kiện cực tiểu thế của trường vô hướng và
điều kiện thực của ma trận khối lượng quark, người ta thu được tổng
đóng góp từ instantons và định nghĩa lại pha của trường quark luôn
bằng không. Nói cách khác, khi đó lý thuyết thỏa mãn CP bảo toàn và
vấn đề strong-CP được giải quyết trọn vẹn. Một điều thú vị khác đối với
lý thuyết trên được Weinberg phát hiện là sự phá vỡ đối xứng U(1)
PQ
có liên quan đến sự xuất hiện của một hạt có khối lượng rất nhẹ gọi là
axion [33]. Hạt này được xem là một trong các ứng cử viên cho DM và
15
hiện nay đang được thực nghiệm rất quan tâm và tìm kiếm.
ở đây chúng tôi không đi vào xây dựng và tính toán chi tiết một mô
hình cụ thể và thực tế nào mà chỉ tập trung vào các vấn đề cơ bản sau
đây:
• Giải thích rõ hơn sự xuất hiện các nguồn vi phạm CP, minh họa
tính toán trong một mô hình đơn giản nhất.
• Giải thích lại sự khử số hạng vi phạm CP theo hướng giải quyết


I
2
0
0 −I
2


, (2.2)
q
D
(x) =


q
q
∗


, (2.3)
trong đó, q,
q là hai biểu diễn spinor Weyl phân cực trái hai thành phần.
Xét số hạng động năng của fermion:
L
fermion
= iq
D
(x)γ
µ
D

µ
= ∂
µ
− iA
µ
, (2.7)
với A
µ
= A
a
µ
T
a
, A
a
µ
là các trường chuẩn tương ứng với các vi tử T
a
của
đại số Lie tương ứng với nhóm chuẩn.
Với lý thuyết cổ điển, theo định lý Noether, xét đối xứng pha định
xứ α(x) của L
fermion
có dạng:
q
D
(x) → q

D
(x) = −e

µ
D
µ
q
D
.
⇒ S

=

d
4
xL

fermion
=

d
4
xi
q

D
γ
µ
D
µ
q

D

= −γ
µ
γ
5
ta suy ra được:
e
−iα(x)γ
5
γ
µ
= (cos α − iγ
5
sin α)γ
µ
= cos αγ
µ
− iγ
5
γ
µ
sin α
= cos αγ
µ
+ iγ
µ
γ
5
sin α
= γ
µ

(x)

− iA
µ
e
−iα(x)γ
5
q
D
(x)
= (∂
µ
e
−iα(x)γ
5
)q
D
(x) + e
−iα(x)γ
5
∂
µ
q
D
(x)
− iA
µ
e
−iα(x)γ
5

D
(x)γ
µ
e
iα(x)γ
5
×

e
−iα(x)γ
5
(−i∂
µ
α(x)γ
5
) q
D
(x) + e
−iα(x)γ
5
D
µ
q
D
(x)

=

d
4