14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
1 CHỦ ĐỀ 10 : MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
PHẦN A: PHƢƠNG TRÌNH
Dạng I: Phƣơng pháp biến đổi trực tiếp
Sau khi tìm tập xác định của phương trình ta dùng phép bình phương hoặc lập phương hai vế
của phương trình ta được phương trình tương đương howacj phương trình hệ quả. Giải phương
trình này ta tìm được nghiệm thuộc tập xá định.
Ví dụ 1 : Giải phương trình
5 1 3 2 1 0x x x
1
Giải
Điều kiện :
1x
Phương trình
1
5 1 3 2 1 5 1 3 2 2 3 2 1 1x x x x x x x x
Giải
Phương trình
2
3 3 3 3 3
3
1 3 2 1 3 1 3 1 3 3 2x x x x x x x x x x
33
33
3 1 3 1 3 3 6 1 2 3 2x x x x x x x x x
* 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
2
2
2 8 3 4x x x
. Đáp số:
4x
,
7x
.
3.
10 3 4 2 2x x x
. Đáp số: Phương trình vô nghiệm.
4.
33
1 1 2xx
. Đáp số:
0x
.
Dạng II: Phƣơng pháp đặt ẩn phụ
Nhiều phương trình nếu dùng phương pháp biến đổi trực tiếp thì lời giải phức tạp hoặc không đi
đến kết quả. Để khắc phục tình trang đó ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ. Phương pháp
đặt ẩn phụ gồn các bước cơ bản sau:
Bước 1: Đặt ẩn phụ, xác định điều kiện của ẩn phụ.
Bước 2: Chuyển phương trình đã cho về phương trình ẩn phụ. Giải phương trình ẩn phụ tìm
nghiệm thích hợp.
Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn phụ.
Ta thường gặp các dạng đặt ẩn phụ cơ bản sau đây:
Ví dụ 1 : Giải phương trình
2
3 1 4 4 3 2x x x x
2
t
t t t t
t
2
2 4 3 2 2t x x x
(Thỏa mãn).
Vậy nghiệm của phương trình là:
2x
.
Chú ý: Dạng tổng quát của ví dụ 1 là phương trình:
a cx b cx d a cx b cx m
(với
, , , ,a b c d m
là hằng số
,0dc
).
Cách giải: Đặt
t a cx b cx
với
0t
2x
.
Vậy nghiệm của phương trình là:
2x
.
Chú ý: Dạng tổng quát của phương trình
2
là phương trình:
20m f x g x n f x g x m f x g x k
với
22
0mn
Cách giải : Đặt
t f x g x
.
*
Do
2x
không phải là nghiệm
20x
, chia 2 vế phương trình
*
ta được :
22
2 4 2 4
2 3 2 0
22
x x x x
xx
. Đặt
2
24
2
xx
t
x
Chú ý: Dạng tổng quát của phương trình
3
là :
a.f . . . 0x b g x c f x g x
với
0abc
.
Cách giải :
- Nếu
00f x g x
, kiểm tra trực tiếp.
- Nếu
00
g x g x
f x a b c
f x f x
, đặt
gx
t
0t
2
9xt
. Khi đó ta có phương trình:
2
6 3 3 32t t t
*
Với
3t
thì
*
2
4 73
12 32 0
8 25
tx
tx
tx
,với
, , ,a b c m
là hằng số,
0a
.
Cách giải :
t x b
,
0t
.
Bài tập : Giải các phương trình sau
1.
22
3 21 18 2 7 7 2x x x x
HD: Đặt
2
77t x x
, với
0t
. Đáp số :
6x
,
1x
.
2.
1 4 1 4 5x x x x
.
5.
2 3 3
2 2 5 1x x x
HD:
2
22
2
11
2 1 2 1 5 1 1 2 2 5
11
x x x
x x x x x x
x x x
.
Đặt
2
1
1
xx
t
x
tt
. Đáp số :
3x
,
1x
.
Loại 2 : Dùng ẩn phụ đƣa về phƣơng trình tích
Ví dụ 1 : Giải phương trình
23
2 2 5 1x x x
1
Giải
14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
6
Điều kiện :
1x
22
2
2( ) 5 2 2 0
2
uv
v u uv u v v u
vu
.
Với :
22
2 1 2 1 4 5 3 0u v x x x x x
Vô nghiệm.
Với :
22
2 2 1 1 5 3 0v u x x x x x
5 37
2
x
.
Vậy nghiệm của phương trình là:
,
0v
. Đáp số:
3 2 7x
,
61 11137
18
x
.
2.
24
7 10 14 5 4x x x
HD:
2 2 2 2
( 2 2) 5 ( 2 2)( 2 2) 6( 2 2) 0x x x x x x x x
.
Đặt:Đặt
2
22u x x
0u
;
2
22v x x
,
0v
. Đáp số:
57
, Khi đó phương trình
1
trở thành :
22
1 2 2 1 2 1 0 1 2 0x t t x t x t x x t t
2
1
t
tx
.
Với :
22
2 2 3 2 2 1 0 1 2t x x x x x
.
Với :
2
1 2 3 1t x x x x
Phương trình vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình là:
12x
.
Ví dụ 2 : Giải phương trình
23
2
1 6 3
13
2
x
tx
x
tx
.
Với :
2
2
2
6 40
2 3 3 2 3
3
8
8 12 1 0
x
.
Vậy nghiệm của phương trình là :
6 40
8
x
,
1x
.
Bài tập : Giải các phương trình sau
1.
22
3 1 3 1x x x x 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
8
HD: Đặt
2
1tx
. Đáp số :
22x
.
2.
HD:
2
2 2 2 2
2 4 2 2 8 4 2 4 2 2 8 4x x x x x x x x
22
5 8 16 4 2 2 4 0x x x x
*
. Đặt
2
22
4
24
2
t
t x x
, thay vào
phương trình
*
được :
, với
0v
, ta có hệ phương trình
32
238
5 3 8
uv
uv
*
**
Từ
*
82
3
u
v
, thay vào
Điều kiện:
1
4
1
x
x
, Đặt :
2
2
4 5 1
21
x x u
x x v
, với
0
0
.
Vậy nghiệm của phương trình là:
0x
,
56
65
x
.
Ví dụ 3 : Giải phương trình
32
3
3 3 3 5 1 3x x x x
Trừ vế theo vế của hai phương trình ta được :
22
1 1 1 1 3 0x y x x y y
3
32
1 3 5 3 4 0 1x y x x x x x
,
2x
.
Vậy nghiệm của phương trình là :
1x
,
2x
.
Bài tập : Giải các phương trình sau
1.
22
4 5 1 4 5 7 3x x x x
Đáp số :
5 13
8
x
HD: Đặt
32
2 1 ,xu
2
4
17 xv
. Đáp số :
1x
.
4.
2
2 3 1 1x x x 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
10
HD: Đặt:
22
2
12
13
1
x a a b
a ab a
xb
2
2
2 3 3 1
2 3 2 1
yx
x y x
Đáp số:
15 97
8
x
,
11 73
8
x
.
6.
Giải
Điều kiện:
11x
Đặt :
sin ;
22
x t t
, ta có phương trình :
1 cos sin 1 2cost t t
3 3 2
2 os 2cos sin sin
2 2 2 2 2
t t t t
c
(vì
;
22
t
Vậy nghiệm của phương trình là :
1x
,
1
2
x
.
Bài tập : Giải các phương trình sau
1.
33
22
1 1 1 1 2 1x x x x
14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
2 os 0;x c t t
. Đáp số :
0x
.
3.
2
3
2
9
x
x
x
HD: Đặt
3
0; ,
cos 2
x t t
t
. Đáp số :
32x
AB
33
33
22
3
AB
AB
A AB B
;
33
33
22
3
AB
AB
A AB B
3
3
3
Giải
Điều kiện:
5
2
x
. Khi đó hương trình
2
1 2 5 1 2 1 2 2 9 0x x x
2 3 2 3
2 3 3 0
2 5 1 1 1
xx
xx
xx
11
2 3 3 0
2 5 1 1 1
xx
xx
*
Với :
5
2
x
ta có :
11
33
2 5 1 1 1
x
xx
nên phương trình
*
vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình là :
3x
.
Ví dụ 2 : Giải phương trình
22
12 5 3 5x x x
2
Giải
22
2
22
30
12 4 5 3
x
xx
xx
*
2 2 2 2
5 2 2 2 2
30
3
12 4 5 3 12 4 5 3
x x x x
x
x x x x
( 5 1 2) 9 2 2 3 5x x x x 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
13
2
3
3
51
1
1 2 5
5 1 2
9 2 9 4
x
x
xx
x
xx
9 2 9 4
x
x x x
x
xx
.
Vậy nghiệm của phương trình là :
1x
.
Ví dụ 4 : Giải phương trình
2
3
3 1 2 19 8 2 5x x x x
4
Giải
Điềukiện:
1
xx
xx
xx
x x x x
22
2
2
3
3
1 2 14
20
1 3 1
2 2 19 8 (19 8)
x
x x x x
xx
x x x x
với
1
3
x
.
Vậy nghiệm của phương trình là :
0x
,
1x
.
Ví dụ 5 : Giải phương trình
22
2 9 2 1 4x x x x x
5
Giải
Ta thấy :
22
2 9 2 1 2 4x x x x x 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
8
2 9 2 1 4
7
x
x x x x
x x x
x
x x x x x
Thử lại thỏa mãn phương trình
5
Vậy phương trình có 2 nghiệm
8
0;
Bài tập : Giải các phương trình sau
1.
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x
HD:
31
5 3 1 0
3 1 6 1
xx
xx
. Đáp số:
5x
.
2.
3 2 2 2 6x x x
3 2 5
4 4 2 4 4 4
x
xx
xx
. Đáp số:
3x
.
4.
2
2 3 4 3 5 9 6 13x x x x 14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
Biên soạn : Nguyễn Đăng Dũng- GV chuyên SP-Chuyên gia luyện thi Đại Học.
15
HD:
2
23
10
3 4 2 5 9 3
xx
x x x x
. Đáp số:
1x
.
Dạng IV: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số và bất đẳng thức
Nhiều khi ta gặp các phương trình mà dùng phương pháp : biến đổi trực tiếp, đặt ẩn phụ hay
nhân liên hợp thì cách giải sẽ phức tạp hoặc không đi đến kết quả cuối cùng. Khi đó phương
pháp dùng hàm số và bất đẳng thức lại tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn, việc tìm nghiệm
sẽ dễ dàng hơn rất nhiều.
Loại 1 : Dùng tính đơn diệu của hàm số
Cho hàm số
y f x
đơn điệu trên
D
khi đó ta có các kết quả sau :
f x m
có nghiệm duy nhất.
f x f y x y
.
3
3
1 1 1 3 1 3 1x x x x
. Xét hàm
số đặc trưng :
3
f t t t
với
0t
,
2
' 3 1 0f t t
ft
: là hàm đồng biến trên
0;
.
Ta có :
1 3 1f x f x
2
0
1 3 1 0
1
3 2 9 3 4 2 1 1 0x x x x x
2
Giải
Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là :
1
0
2
x
, khi đó
Phương trình
22
2 3 2 3 3 2 1 2 1 3 2x x x x
.
Xét hàm
2
23f t t t
với
0t
x
.
Ví dụ 3 : Giải phương trình
3 2 2 3 3
2 10 17 8 2 5x x x x x x
3
Giải
Nhận xét
0x
không phải là nghiệm của phương trình
3
nên chia hai vế cho
3
x
ta được :
3
2 3 2
10 17 8 5
2 2 1
x x x x
. Đặt
1
y
x
17 97
17 97
16
12
8 17 6 0
17 97 17 97
16 12
y
x
y y y
yx
.
2.
68
6
32xx
Đáp số:
3
2
x
.
3.
2
21
2 1 3 2
2
x
xx
HD: Xét hàm số
2
21
2 1 3 2
nên phương
trình đã cho có tối đa 2 nghiệm. Đáp số:
1
2
x
,
3
2
x
.
4.
32
3
15 78 144 5 2 9x x x x
HD:
3
3
5 5 5 2 9 5 2 9x x x x
. Đáp số:
4x
,
11 5
2
x
.
.
Loại 2 : Dùng bất đẳng thức
Xét phương trình
f x g x
xác định trên
D
nếu
f x h x
g x h x
, với
xD
thì
f x h x
f x g x
g x h x
18
u v u v
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
u
và
v
cùng hướng.
Ví dụ 1 : Giải phương trình
2
4 6 10 27x x x x
1
Giải
Điều kiện :
46x
. Theo Cô Si ta có:
4 1 3
4 4 1
22
xx
xx
;
5x
.
Vậy nghiệm của phương trình là :
5x
.
Ví dụ 2 : Giải phương trình
2 2 2
19 7 22 28 13 43 37 3 3 3x x x x x x x
2
Giải
Nhận xét :
2
A A A
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0A
.
Ta có:
2
2
1 75 75 5 3
19
2 4 4 2
x x x
19 7 22 28 13 43 37 3 3 3 2
22
x x x x x x x x
3 3 3x
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
1
0
2
2 1 0
1
30
2
7
20
2
x
x
x
x
x
1;1ux
,
1 ;1vx
2;2uv
2
11ux
,
2
11ux
,
22uv
. Phương trình
3
trở
thành
u v u v
khi
u
và
v
cùng hướng
11
0
11
xx
3.
2 2 2 2
17 1
13 6 10 5 13 17 48 36 36 8 21
22
x x x x x x x x
HD:
3
6
2
VT x
;
3
6
2
VP x
. Đáp số :
3
2
x
.
4.
2
1 3 2 1x x x x
HD: Xét :
1;1ux
Đáp số:
1
2
x
.
PHẦN B: BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Dạng I: Phƣơng pháp biến đổi trực tiếp
Ta thực hiện theo các bước sau đây
Bước 1: Tìm tập xác định của bất phương trình.
Bước 2: Bình phương, lập phương bất phương trình đã cho biến đổi, ta được bất phương
trình đơn giản hơn và tìm được nghiệm của bất phương trình này.
Bước 3: Kết hợp tập xác định suy ra nghiệm của bất phương trình.
Chú ý : Các bất phương trình cơ bản
2
0
0
gx
f x g x f x
f x g x
0f x g x f x g x
Ví dụ 1 : Giải bất phương trình
5 2 3 2x x x
1
Giải
Điều kiện :
5
2
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2 6 0
x
x
x
x
xx
2;2D
.
Ví dụ 2 : Giải bất phương trình
5 1 1 2 4x x x
2
Giải
Điều kiện :
2*x
, bất phương trình
2 5 1 2 4 1x x x
2
20
5 1 3 5 2 1 2 4 1 2 4 2
1 2 4 2
x
x x x x x x x
x x x
x
xx
. Đáp số:
10 34x
.
2.
3 2 8 7x x x
. Đáp số :
45
67
x
x
.
3.
1
31
2
xx
. Đáp số :
8 31
1
5.
2
51 2
1
1
xx
x
. Đáp số:
1 1 52
1 52 5
x
x
.
Dạng II: Phƣơng pháp nhân liên hợp
Ta cần chứ ý các công thức sau:
AB
AB
AB
AB
A AB B
.
Ví dụ 2 : Giải bất phương trình
2
2
2
21
3 9 2
x
x
x
1
Giải
Điều kiện :
9
9 2 0
2
9 2 3
0
xx
x x x x
x
7
9 2 4 9 2 16
2
x x x
. Kết hợp với
*
ta được tập nghiệm của bất phương
trình là:
97
;0 0;
22
D
.
Ví dụ 2 : Giải bất phương trình
14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http:// Baigiangtoanhoc.com.
22
* 1 1 2 1 1 2 1 4 1 1x x x x x x
luôn
đúng.
Nếu
0x
thì
* 1 1 2xx
vô lí vì
1 1 2xx
luôn đúng.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
0;1D
.
Bài tập : Giải các bất phương trình sau
1.
2
4
11
x
x
x
. Đáp số:
18x
.
4.
21x x x
. Đáp số:
2 3 3
3
x
.
5.
2
1 2 1
29
x
x
x
. Đáp số:
45
0
8
x
.
Dạng III: Phƣơng pháp đặt ẩn phụ
Ta thực hiên theo các bước sau
Bước 1: Chọn ẩn phụ thích hợp, tìm điều kiện của ẩn phụ.
Bước 2: Chuyển bất phương trình đã cho về bất phương trình ẩn phụ, giải bất phương
Đặt
7 7 7 6x x t
với
0t
, ta có bất phương trình
2
182 0 13t t t
2
6
6
12
7
7 7 7 6 13
12
1183 7098
49 7 42 84 7
x
x
xx
x
x x x
2
Giải
Điều kiện :
0x
Đặt
11
2 . 2
22
t x x
xx
2t
;
22
11
1 2 2 2
42
t x x t
xx
Ta có :
22
2
1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là :
33
0; 2 2;
22
D
.
14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học 2013
3 2 2 1 2
4
x
x
22
22
2 4 2
os 7 sin
2 2 1 os 2 2 2sin sin 14sin 32sin 17 0
44
c t t
c t t t t t
2
2
sin 1 sin 2sin 17 0t t t
luôn đúng với
.
2.
13
1
2
xx
xx
. Đáp số:
10
12
x
x
.
3.
4
2
1 3 2 3 2 2x x x x
. HD: Đặt
1; 3u x v x
. Đáp số:
5x
.
Dạng IV: Phƣơng pháp chia tập xác định
Bất phương trình có tập xác định
D
, việc giải bất phương trình trên tập
D
gặp khó
khăn, khi đó ta chia
1 2 3
n
D D D D D
.
Copyright: Tài liệu đại học ©