Chuyên đề 9
Số Phức
§1. Dạng Đại Số Của Số Phức
9.1. Thực hiện các phép tính sau
a)
(2 − 3i) (1 + i)
4 + i
.
b) 4 − 3i +
5 + 4i
3 + 6i
. c)
2 − i
1 + 4i
+
3 + 2i
1 − 2i
.
d)
(1 + i)
2
(2i)
3
−2 + i
. e)
2i(2 + 3i)
2
3 + 4i
.
f)
1

45
= 4 − 3i +
39
45
−
18
45
i =
33
15
−
17
5
i.
c)
2 − i
1 + 4i
+
3 + 2i
1 − 2i
=
(2 − i)(1 − 4i)
(1 + 4i)(1 − 4i)
+
(3 + 2i)(1 + 2i)
(1 − 2i)(1 + 2i)
=
−2 − 9i
17
+

2i(2 + 3i)
2
3 + 4i
=
2i(−5 + 12i)
3 + 4i
=
(−24 − 10i)(3 − 4i)
(3 + 4i)(3 − 4i)
=
−112 + 66i
25
= −
112
25
+
66
25
i.
f)
1
(1 + i) (4 − 3i)
=
1
7 + i
=
7 − i
(7 + i)(7 − i)
=
7

f) z =
1
2i

i
7
−
1
i
7

.
Lời giải.
a) z = (1 + i)
2
− (1 − i)
2
= 2i + 2i = 4i ⇒ phần thực là 0; phần ảo là 4.
b) z = i
2011
= (i
2
)
1005
i = −i ⇒ phần thực là 0; phần ảo là −1.
c) z = (1 + i)
2012
=

(1 + i)

(1 + i)
2
(1 − i)(1 + i)
= −2 ⇒ phần thực là −2; phần ảo là 0.
e) z =

2
1 − i

99
= (1 + i)
99
= (2i)
49
(1 + i) = 2
49
(i
2
)
24
(−1 + i) = −2
49
+ 2
49
i ⇒ phần thực −2
49
; phần ảo 2
49
.
f) z =

+ |z| − 2i.
c) w =
z + i
iz −1
.
Lời giải.
a) Ta có u = (x + iy)
2
− 2(x + iy) + 4i = x
2
− y
2
− 2x + (2xy −2y + 4)i
Suy ra phần thực là x
2
− y
2
− 2x; phần ảo là 2xy −2y + 4.
b) Ta có v = (x + iy)
2
+

x
2
+ y
2
− 2i = x
2
− y
2

2
= −
2xy
x
2
+ (y + 1)
2
+
y
2
− x
2
− 1
x
2
+ (y + 1)
2
i
Suy ra phần thực là
(x − iy + i)(−1 − y −xi)
(1 + y)
2
+ x
2
; phần ảo là −
2xy
x
2
+ (y + 1)
2


1 + i
√
3
1 + i

3
.
Lời giải.
a) Ta có (1 + i)
2
(2 − i) z = 8 + i + (1 + 2i) z ⇔ (2 + 4i) z = 8 + i + (1 + 2i) z ⇔ (1 + 2i) z = 8 + i
⇔ z =
8 + i
1 + 2i
⇔ z =
(8 + i)(1 − 2i)
(1 + 2i)(1 − 2i)
⇔ z =
10 − 15i
5
⇔ z = 2−3i.
Phần thực là 2; phần ảo là −3.
b) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi. Ta có
(2 − 3i) z + (4 + i) ¯z = −(1 + 3i)
2
⇔ (2 −3i) (a + bi) + (4 + i) (a −bi) = 8 −6i
⇔ 6a + 4b −(2a + 2b)i = 8 − 6i ⇔

6a + 4b = 8

√
2
Phần thực là 5; phần ảo là −
√
2.
d) Ta có z =

1 + i
√
3
1 + i

3
=

1 + i
√
3

2

1 + i
√
3

(1 + i)
2
(1 + i)
=


2
là số thuần ảo.
e)

z + i
z −i

4
= 1.
f) (B-09) |z −(2 + i)| =
√
10 và z.z = 25.
Lời giải.
a) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi. Ta có
z −(2 + 3i) ¯z = 1 −9i ⇔ a + bi − (2 + 3i)(a − bi) = 1 − 9i ⇔ −a −3b −(3a −3b)i = 1 − 9i
⇔

−a − 3b = 1
3a − 3b = 9
⇔

a = 2
b = −1
Vậy z = 2 − i.
b) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R, z = 0) ⇒ z = a − bi. Ta có
z −
5 + i
√
3
z

3

a = −1
b = −
√
3
Vậy z = 2 − i
√
3 hoặc z = −1 −i
√
3.
c) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi. Ta có
z
2
= |z|
2
+ ¯z ⇔ (a + bi)
2
= a
2
+ b
2
+ a − bi ⇔ a + 2b
2
− (2ab + b)i = 0
⇔

a + 2b
2
= 0

Vậy z = 0, z = −
1
2
+
1
2
i hoặc z = −
1
2
−
1
2
i.
d) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z
2
= a
2
− b
2
+ 2abi. Theo giả thiết ta có

√
a
2
+ b
2
=
√
2
a

2
+ (z −i)
2

(z + i)
2
− (z −i)
2

= 0
⇔

z
2
+ 2iz + i
2
+ z
2
− 2iz + i
2

(z + i + z − i) (z + i −z + i) = 0
⇔

2z
2
− 2

.2z.2i = 0 ⇔


a
2
+ b
2
− 4a − 2b = 5
a
2
+ b
2
= 25
⇔

b = 10 −2a
a
2
+ b
2
= 25
⇔





a = 5
b = 0

a = 3
b = 4
Vậy z = 5 hoặc z = 3 + 4i.

2
− i + a − bi + 1 − ai + bi
2
− i = 2 −2i
⇔ 3a − 3b + (a + b)i = 2 ⇔

3a − 3b = 2
a + b = 0
⇔

a =
1
3
b = −
1
3
⇒ z =
1
3
−
1
3
i
Vậy |z| =

1
9
+
1
9

Lời giải.
a)
2 + i
1 − i
z =
−1 + 3i
2 + i
⇔ z =
(−1 + 3i)(1 − i)
(2 + i)
2
⇔ z =
2 + 4i
3 + 4i
⇔ z =
(2 + 4i)(3 − 4i)
(3 + 4i)(3 − 4i)
⇔ z =
22
25
+
4
25
i.
3
b) ((2 + i) ¯z + 3 + i)

iz +
1
2i

i
z =
1
2
.
c) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi. Ta có
z + 2¯z = 2 − 4i ⇔ a + bi + 2(a − bi) = 2 − 4i ⇔ 3a − bi = 2 −4i ⇔

3a = 2
b = 4
⇔

a =
2
3
b = 4
Vậy z =
2
3
+ 4i.
d) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi. Ta có
z
2
+ ¯z = 0 ⇔ (a + bi)
2
+ a − bi = 0 ⇔ a
2
− b
2
+ (2ab − b)i = 0 ⇔

2
−
1
2
i.
e) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ |z| =
√
a
2
+ b
2
. Ta có:
z
2
+ |z| = 0 ⇔ (a + bi)
2
+

a
2
+ b
2
= 0 ⇔ a
2
− b
2
+

a
2

2
= 0 (1)

a = 0
b = 0
Với a = 0 thay vào (1) ta có: −b
2
+
√
b
2
= 0 ⇔

b = 0
b = ±1
⇒

z = 0
z = ±i
.
Với b = 0 thay vào (1) ta có: a
2
+
√
a
2
= 0 ⇔ a = 0 ⇒ z = 0.
Vậy z = 0 và z = ±i.
f) Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a − bi. Ta có
z + 2¯z = (1 + 5i)

−2 + 2i
√
3

1 + i
√
3

1 − i
= −
8
1 − i
= −4 − 4i ⇒ z = −4 + 4i.
Khi đó ¯z + iz = −4 − 4i + i(−4 + 4i) = −8 − 8i. Vậy |¯z + iz| =
√
64 + 64 = 8
√
2.
9.9. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (1 − i) z = 1 − 2i. Tìm môđun của số phức
z
1 + z
.
Lời giải. Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) ⇒ z = a −bi. Ta có
z + (1 −i) ¯z = 1 − 2i ⇔ a + bi + (1 − i)(a − bi) = 1 − 2i
⇔ a + bi + a −bi −ai + bi
2
= 1 − 2i
⇔ 2a −b −ai = 1 − 2i ⇔

2a − b = 1



=

1
36
+
25
36
=
√
26
6
.
9.10. (D-2012) Cho số phức z thỏa mãn (2 + i) z +
2 (1 + 2i)
1 + i
= 7 + 8i. Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i.
Lời giải. Ta có (2 + i) z +
2 (1 + 2i)
1 + i
= 7 + 8i ⇔ (2 + i) z + 3 + i = 7 + 8i ⇔ z =
4 + 7i
2 + i
⇔ z = 3 + 2i.
Suy ra w = z + 1 + i = 3 + 2i + 1 + i = 4 + 3i. Vậy |w| =
√
16 + 9 = 5.
4
Chuyên đề 9. Số Phức




z −1
z −i




= 1,




z −2i
z + i




= 1.
Lời giải. Gọi z = a + bi (a, b ∈ R). Ta có






z−1
z−i

2
= a
2
+ (b + 1)
2
⇔ a = b =
1
2
Vậy z =
1
2
+
1
2
i.
9.13. Tìm số phức z thỏa mãn |z| = |z −2 − 2i| và
z −2i
z −2
là số thuần ảo.
Lời giải. Gọi z = a + bi (a, b ∈ R). Ta có
|z| = |z −2 − 2i| ⇔ |a + bi| = |a + bi − 2 − 2i| ⇔ a
2
+ b
2
= (a − 2)
2
+ (b − 2)
2
⇔ a = 2 − b ⇒ z = 2 − b + bi
Khi đó

5b
2
+ 4b + 1 =


√
5b +
2
√
5

2
+
1
5
≥
1
√
5
.
Dấu bằng xảy ra ⇔
√
5b +
2
√
5
= 0 ⇔ b = −
2
5
. Vậy z = −

m + m
3
+

1 + m
2

i
(1 − m
2
)
2
+ 4m
2
=
m
1 + m
2
+
1
1 + m
2
i.
a) z.¯z =
1
2
⇔
m
2
(1 + m

m
1 + m
2
+
1
1 + m
2
i − i




≤
1
4
⇔




m
1 + m
2
−
m
2
1 + m
2
i



z
2
− (z)
2



= 4. e) (D-09) |z −(3 −4i)| = 2. f) |z −i| = |(1 + i) z|.
5
Lời giải.
a) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) ⇒ z = x − yi. Ta có
|z + ¯z + 3| = 4 ⇔ |x + yi + x −yi + 3| = 4 ⇔ |2x + 3| = 4 ⇔

x =
1
2
x = −
7
2
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hai đường thẳng x =
1
2
và x = −
7
2
.
b) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) ⇒ z = x − yi. Ta có
|z − ¯z + 1 − i| = 2 ⇔ |x + yi − x + yi + 1 − i| = 2 ⇔ |1 + (2y − 1)i| = 2
⇔ 1 + 4y

d) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) ⇒ z = x − yi. Ta có



z
2
− (¯z)
2



= 4 ⇔



(x + yi)
2
− (x − yi)
2



= 4 ⇔ |xyi| = 1 ⇔ y = ±
1
x
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hai hypebol y = ±
1
x
.
e) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R). Ta có

z
z−i



= 3.
Lời giải.
a) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R). Ta có
|z −1 + i| = 2 ⇔ |x + yi − 1 + i| = 2 ⇔ |x −1 + (y + 1)i| = 2 ⇔ (x −1)
2
+ (y + 1)
2
= 4
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1; −1) và bán kính R = 2.
b) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R). Ta có
|2 + z| = |i −z| ⇔ |2 + x + yi| = |i − x − yi| ⇔ (x + 2)
2
+ y
2
= x
2
+ (y −1)
2
⇔ 4x + 2y + 3 = 0
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0.
c) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R). Ta có
|2 + z| > |z − 2| ⇔ |2 + x + yi| > |x + yi − 2| ⇔ (x + 2)
2
+ y
2

2
).
e) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R). Ta có
|z −4i| + |z + 4i| = 10 ⇔ |x + yi − 4i| + |x + yi + 4i| = 10 ⇔

x
2
+ (y −4)
2
+

x
2
+ (y + 4)
2
= 10 (1)
Đặt F
1
(0; −4) và F
2
(0; 4). Với M(x;y) bất kỳ ta có F
1
M =

x
2
+ (y + 4)
2
, F
2



= 3 ⇔ |x + yi| = 3 |x + yi − i| ⇔ x
2
+ y
2
= 9

x
2
+ (y −1)
2

⇔ x
2
+ y
2
−
9
4
y +
9
8
= 0
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I

0;
9
8



1
10
;
7
10

.
9.19. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (1 + i) z − 2, biết |z −3| = 2.
Lời giải. Ta có w = (1 + i) z −2 ⇔ z =
w + 2
1 − i
.
Từ đó suy ra |z −3| = 2 ⇔




w + 2
1 − i
− 3




= 2 ⇔ |w + 2 − 3 + 3i| = 2 |1 − i| ⇔ |w −1 + 3i| = 2 |1 − i|.
Gọi w = x + yi (x, y ∈ R). Ta có
|w −1 + 3i| = 2 |1 − i| ⇔ |x + yi − 1 + 3i| = 2 |1 −i| ⇔ (x − 1)
2
+ (y + 3)

B

C

ta có G (2; 1) và G

(2; 1).
Vậy hai tam giác ABC và A

B

C

có cùng trọng tâm.
9.21. Gọi M, M

theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z khác 0 và z

=
1+i
2
z. Chứng minh
tam giác OMM

vuông cân.
Lời giải. Ta có OM = |z|; OM

= |z

| =

|z| =
|z|
√
2
.
Khi đó OM

= MM

và OM
2
+ MM
2
= OM
2
, do đó tam giác OM M

vuông cân tại M

.
9.22. Cho A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số phức z
0
, z
1
khác 0 thoả mãn đẳng
thức z
2
0
+ z
2

1
(z
0
− z
1
) ⇔
|z
0
|
2
|z
1
|
= |z
0
− z
1
| (1).
Lại có z
2
0
+ z
2
1
= z
0
z
1
⇔ z
2

Từ (1) và (2) ta có:
|z
0
|
2
|z
1
|
=
|z
1
|
2
|z
0
|
⇔ |z
0
|
3
= |z
1
|
3
⇔ |z
0
| = |z
1
|.
Với |z

5. f) z = −1 −2i
√
6.
Lời giải.
a) Ta có z = 5 − 12i = (3 − 2i)
2
, suy ra z có hai căn bậc hai là ±(3 −2i).
b) Ta có z = −24 + 10i = (1 + 5i)
2
, suy ra z có hai căn bậc hai là ±(1 + 5i).
c) Ta có z = 1 + 4i
√
3 = (2 +
√
3i)
2
, suy ra z có hai căn bậc hai là ±(2 +
√
3i).
d) Ta có z = 17 + 20i
√
2 = (5 + 2
√
2i)
2
, suy ra z có hai căn bậc hai là ±(5 + 2
√
2i).
e) Ta có z = 4 + 6i
√

+ 2z −1 = 0.
e) z
4
+ z
2
− 6 = 0. f) z
4
+ 7z
2
+ 12 = 0.
Lời giải.
a) Ta có ∆

= 1 − 2 = −1 < 0. Phương trình có hai nghiệm z = 1 ± i.
b) Ta có ∆ = 9 − 36 = −27 < 0. Phương trình có hai nghiệm z =
3 ± 3i
√
3
2
.
c) Ta có ∆ = 25 − 32 = −7 < 0. Phương trình có hai nghiệm z =
5 ± i
√
7
4
.
d) Ta có ∆

= 1 − 3 = −2 < 0. Phương trình có hai nghiệm z =
1 ± i


z
2
= −3
z
2
= −4
⇔

z = ±i
√
3
z = ±2i
.
9.25. Ký hiệu z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình 2z
2
− 2z + 1 = 0. Tính giá trị biểu phức A =
1
z
2
1
+
1
z
2
2

−
2
i
= 0.
9.26. (A-09) Gọi z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình z
2
+ 2z + 10 = 0. Tính A = |z
1
|
2
+ |z
2
|
2
.
Lời giải. Ta có ∆

= 1 − 10 = −9 < 0. Phương trình có hai nghiệm z
1,2
= −1 ± 3i.
Khi đó A = |z
1
|
2
+ |z
2

Lời giải. Ta có ∆

= 1 − (1 + i) = −2i = (1 −i)
2
. Phương trình có hai nghiệm z = i hoặc z = 2 − i.
Khi đó |z
1
| + |z
2
| = |i|+ |2 −i| = 1 +
√
5.
9.28. Cho z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình z
2
− (i + 2) z + i = 0. Tính




z
1
z
2
+
z
2

1




=




z
2
1
+ z
2
2
z
1
z
2




=










=
|3 + 2i|
|i|
=
√
13.
9.29. Giải các phương trình sau trên tập hợp các số phức
a) iz
2
− 2 (1 − i) z −4 = 0. b) z
2
− (5 − i) z + 8 −i = 0.
c) (D-2012) z
2
+ 3 (1 + i) z + 5i = 0.
d)

iz + 3
z −2i

2
− 3

iz + 3
z −2i




z =
2
i
z =
−2i
i
⇔

z = −2i
z = −2
.
b) Ta có ∆ = (5 − i)
2
− 4(8 − i) = −8 − 6i = (1 −3i)
2
.
Phương trình có hai nghiệm



z =
5 − i + 1 − 3i
2
z =
5 − i − 1 + 3i
2
⇔


iz + 3
z −2i
= 4
⇔

iz + 3 = −z + 2i
iz + 3 = 4z −8i
⇔



z =
−3 + 2i
1 + i
z =
3 + 8i
4 − i
⇔



z =
(−3 + 2i)(1 − i)
2
z =
(3 + 8i)(4 + i)
17
⇔



3
.
f) Ta có phương trình tương đương
8z
3
(z + 1) = z + 1 ⇔ (z + 1)

8z
3
− 1

= 0 ⇔ (z + 1) (2z −1)

4z
2
+ 2z + 1

= 0 ⇔





z = −1
z =
1
2
z =
−1 ± i
√

2
+ 7

z
2
− z

+ 1 = 0.
e)

z
2
+ z

2
+ 4

z
2
+ z

− 12 = 0. f)

z
2
+ 3z + 6

2
+ 2z


+ 1 = 0 ⇔ z
2
=
−7 ± 3
√
5
2
⇔ z = ±i

7 ∓ 3
√
5
2
c) Ta có phương trình tương đương
(z −i)

z
2
+ 1

(z −i)

z
2
+ iz −1

= 0 ⇔


z = i

− z + 1 = −3
z
2
− z + 1 =
2
3
⇔



z =
1 ± i
√
15
2
z =
3 ± i
√
3
6
e) Ta có phương trình tương đương

z
2
+ z = 2
z
2
+ z = −6
⇔


+3z+6
z
= 1
z
2
+3z+6
z
= −3
⇔

z
2
+ 2z + 6 = 0
z
2
+ 6z + 6 = 0
⇔

z = −1 ±i
√
5
z = −3 ±
√
3
9
9.31. Giải các phương trình sau trên tập hợp các số phức
a) z
3
− 2 (1 + i) z
2

2
− (1 + 2i)z −1 + i

= 0 ⇔

z = 1
z
2
− (1 + 2i)z −1 + i = 0
⇔


z = 1
z = i
z = 1 + i
b) Ta có phương trình tương đương
(z −1)

z
3
− 3z
2
+ 4z −12

= 0 ⇔ (z −1) (z −3)

z
2
+ 4


z

+
5
2
= 0 ⇔ z −
1
z
=
1
2
±
3
2
i
⇔ 2z
2
− (1 ± 3i) z −2 = 0 ⇔

z = 1 ±i
z = −
1
2
±
1
2
i
d) Ta có phương trình tương đương
z
4



2 +
√
3

2
+ 1 =

8 + 4
√
3 =
√
6 +
√
2.
Gọi acgumen của z là ϕ ta có

cos ϕ =
2+
√
3
√
6+
√
2
sin ϕ =
1
√
6+


.
Căn bậc hai của z là w = ±2

cos
π
3
+ i sin
π
3

= ±2

1
2
+
√
3
2
i

= ±

1 + i
√
3

.
9.34. (B-2012) Gọi z
1


1
2
+
√
3
2
i

= 2

cos
π
3
+ i sin
π
3

và z
2
= −1 + i
√
3 = 2

−
1
2
+
√
3


√
3 + i

6
.
e) z =
(1 + i)
10

√
3 + i

9
.
f) w = z
2000
+
1
z
2000
, biết z +
1
z
= 1.
10
Chuyên đề 9. Số Phức
Lời giải.
a) z = 1 + i =
√


1
2
−
√
3
2
i

√
2

1
√
2
+
1
√
2
i

=
√
2
cos

−
π
3



1 − i
√
3

(1 + i) = 2

1
2
−
√
3
2
i

√
2

1
√
2
+
1
√
2
i

= 2
√
2

+ i sin

−
π
12

.
d) z =

√
2

1
√
2
−
1
√
2
i

4

2

√
3
2
+
1

e) z =

√
2

1
√
2
+
1
√
2
i

10

2

√
3
2
+
1
2
i

9
=
32


+ i sin
3π
2

=
1
16
(cos π + i sin π).
f) Ta có z +
1
z
⇔ z
2
− z + 1 = 0 ⇔ z =
1
2
±
√
3
2
i ⇔ z = cos

±
π
3

+ i sin

±
π

π
3

+ i sin

±
π
3

2000
= cos

±
2000π
3

+ i sin

±
2000π
3

+
1
cos

±
2000π
3


= −
1
2
+
√
3
2
i −
1
2
−
√
3
2
i = −1 = cos π + i sin π
9.36. Tính
a) z =

i
1 + i

2004
. b) z =

1 + i
√
2

365
. c) z =

4
+ i sin
π
4


2004
=

1
√
2

cos
π
4
+ i sin
π
4


2004
=
1
2
1002

cos
2004π
4

= cos
365π
4
+ i sin
365π
4
= cos
5π
4
+ i sin
5π
4
= −
1
√
2
−
1
√
2
i.
c) Ta có z =


5 + 3i
√
3

1 + 2i
√

+ i sin
42π
3

= 2
21
(cos 14π + i sin 14π) = 2
21
.
9.37. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
a) z = cos
π
4
− i sin
π
4
. b) z = −sin
π
8
− i cos
π
8
.
c) z = cos ϕ −i sin ϕ.
d) z = sin ϕ + 2isin
2
ϕ
2
.
e) z = cos ϕ + i (1 + sin ϕ).


+ i sin

−
π
4

.
b) z = −sin
π
8
− i cos
π
8
= sin

−
7π
8

+ i cos

−
7π
8

= cos
11π
8
+ i sin


cos
ϕ
2
+ i sin
ϕ
2

.
11
Với sin
ϕ
2
< 0 thì z có dạng lượng giác z = −2 sin
ϕ
2

cos

ϕ
2
+ π

+ i sin

ϕ
2
+ π

.

+ i sin

ϕ
2
+
π
4

.
Với sin

ϕ
2
+
π
4

= 0 thì z = 0 nên có dạng lượng giác không xác định.
Với sin

ϕ
2
+
π
4

> 0 thì z có dạng lượng giác z = 2 sin

ϕ
2


ϕ
2
+
π
4


cos

ϕ
2
+
5π
4

+ i sin

ϕ
2
+
5π
4

.
f) z =

cos
π
3

3

+ i sin

−
π
3


cos
5π
2
+ i sin
5π
2

cos
7π
3
+ i sin
7π
3

= 128

cos
9π
2
+ i sin
9π

2
. Theo giả thiết ta có ϕ
1
= ϕ
2
+
π
2
.
Do đó

cos ϕ
1
= −sin ϕ
2
cos ϕ
2
= sin ϕ
1
⇔



−1
√
1+y
2
= −
y
√

2

9 + y
2

⇔

y ≥ 0
y
4
= 9
⇔ y =
√
3.
Vậy z = 1 + i
√
3.
9.39. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
z −2
z + 2
có một acgumen bằng
π
3
.
Lời giải. Trường hợp z = −2 thì
z −2
z + 2
không xác định.
Trường hợp z = 2 thì
z −2

nên w = x
2
+ y
2
− 4 + 4yi có một acgumen bằng
π
3
.
Do đó ta có

x
2
+y
2
−4
|w|
= cos
π
3
4y
|w|
= sin
π
3
⇔

x
2
+y
2

2
√
3

, bán kính R =
4
√
3
.
Ta có tập hợp các điểm cần tìm là cung tròn (C) nằm phía trên trục hoành, không kể giao điểm với trục hoành.
9.40. Cho số phức z có môđun bằng 1. Biết một acgumen của z là ϕ, tìm một acgumen của mỗi số phức sau
a) w = 2z
2
.
b) w = −
1
2z
.
c) w = −z
2
z.
d) w = z + z.
e) w = z
2
+ z. f) w = z
2
+ z.
Lời giải.
a) Ta có w = 2z
2

+ (cos ϕ + i sin ϕ) = (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) + (cos ϕ + i sin ϕ)
= 2 cos
3ϕ
2
cos
ϕ
2
+ 2i cos
ϕ
2
= 2 cos
ϕ
2

cos
3ϕ
2
+ i sin
3ϕ
2

.
Nếu cos
ϕ
2
> 0 thì w = 2 cos
ϕ
2

cos

3ϕ
2
+ π.
Nếu cos
ϕ
2
= 0 thì w = 0 nên w có acgumen không xác định.
f) Ta có w = (cos ϕ + i sin ϕ)
2
+ (cos (−ϕ) + i sin (−ϕ)) = (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) + (cos (−ϕ) + i sin (−ϕ))
= 2 cos
3ϕ
2
cos
ϕ
2
+ 2i sin
ϕ
2
cos
3ϕ
2
= 2 cos
3ϕ
2

cos
ϕ
2
+ i sin


ϕ
2
+ π

+ i sin

ϕ
2
+ π

nên w có một acgumen là
ϕ
2
+ π.
Nếu cos
ϕ
2
= 0 thì w = 0 nên w có acgumen không xác định.
9.41. Tính tổng S
n
= (1 + i)
n
+ (1 − i)
n
. Từ đó suy ra S
2012
.
Lời giải. Ta có S
n

n
= 2.2
n
2
. cos
nπ
4
.
Từ đó suy ra S
2012
= 2.2
1006
. cos
2012π
4
= 2
1007
cos (503π) = −2
1007
.
13