Chương V
- 102 -
Chương 5
THIẾT KẾ BỘ LỌC TƯƠNG TỰ
Các kỹ thuật phân tích hệ thống đã trình bày trong các chương trước có thể áp dụng cho rất
nhiều hệ thống, chẳng hạn như hệ thống điều khiển, hệ thống thông tin, Một hệ thống
tương tự rất quan trọng và thông dụng là bộ lọc (filter).
Nói chung, bộ lọc cho một số thành phần tần số trong tín hiệu vào đi qua và ngăn không cho
các thành phần tần số khác đi qua. Ta sẽ
sử dụng các công cụ phân tích đã học trong các
chương trước để phân tích và thiết kế bộ lọc.
Trong chương này, ta sẽ trình bày sơ lược các khái niệm liên quan đến bộ lọc, phân tích bộ
lọc trong miền thời gian, tần số và dùng phép biến đổi Laplace.
Nội dung chính chương này gồm:
- Bộ lọc lý tưởng
- Xấp xỉ hóa bộ lọc lý tưởng kiểu Butterworth
- Thiết kế bộ lọc Butterworth
5.1 BỘ LỌC LÝ TƯỞNG
5.1.1 Truyền dẫn lý tưởng
Trước khi đi thảo luận về bộ lọc, ta xét một hệ thống thực hiện truyền dẫn tín hiệu mà không
làm thay đổi dạng của tín hiệu. Hệ thống như vậy được gọi là hệ thống truyền dẫn lý tưởng
hay là truyền dẫn không méo (distortionless transmission).
Ta định nghĩa hệ thống truyền dẫn không méo là hệ thống cho tín hiệu đi qua mà không làm
thay đổi tín hiệu, ngoại trừ khuếch đại biên độ và trễ thời gian.
Hệ số khuếch đại (hay độ lợi) có thể nhỏ hơn một. Trong trường hợp này, ta nói hệ thống làm
suy giảm tín hiệu (signal attenuation). Một hệ thống truyền dẫn không méo sẽ giữ lại tất cả
thông tin trong tín hiệu, ngoại trừ biên độ và vị trí tín hiệu trên trục thời gian. Trong nhiều
trường hợp, biên
độ và vị trí thời gian không quan trọng đối với nội dung thông tin trong tín
hiệu.
Tín hiệu ra của một hệ thống truyền dẫn không méo có độ lợi K và độ trễ thời gian

- 103 - Hệ thống truyền dẫn không méo có đáp ứng biên độ là hằng số với mọi tần số và đáp ứng pha
là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Độ dốc của đáp ứng pha là τπ
−
2, tỷ lệ với thời gian
trễ của một tín hiệu khi đi qua hệ thống. Hệ thống truyền dẫn không méo có trễ pha và trễ
nhóm là một hằng số.
Hệ thống truyền dẫn vật lý có đáp ứng biên độ và đáp ứng pha như hình vẽ sau:

Trong hình vẽ này, ta thấy sự truyền dẫn không méo chỉ xuất hiện nếu tín hiệu vào có tần số
thấp hơn f
1
(Hz). Trong dải tần này, đáp ứng biên độ xấp xỉ là hằng số và đáp ứng pha xấp xỉ
là đường thẳng đi qua gốc. Tín hiệu có tần số lớn hơn dải tần này sẽ bị méo biên độ và méo
pha.
5.1.2 Bộ lọc lý tưởng
Ta xét một tín hiệu thu có chứa một bản tin và nhiễu cộng. Để giảm nhiễu cộng, ta phải cho
tín hiệu thu đi qua một bộ lọc. Bộ lọc này phải được thiết kế sao cho chỉ cho phép các thành
phần tần số trong dải phổ của bản tin đi qua và ngăn không cho các thành phần tần số nằm
ngoài dải tần của bản tin đi qua mà không gây méo tín hiệu. Bộ lọc như vậy được gọ
i là bộ
lọc lý tưởng (ideal filter)
Dải tần số của tín hiệu mà bộ lọc cho đi qua gọi là dải thông (passband) và dải tần số mà bộ
lọc không cho đi qua gọi là
dải chắn (stopband). Tần số giới hạn giữa dải thông và dải chắn
gọi là
tần số cắt (cutoff frequency). Tùy vào bản chất của bộ lọc mà ta phân bộ lọc ra làm bốn
loại chính. Đó là

B2
f
K)f(H
Đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng:
{
}
[
]
)t(B2csinBK2)f(HFT)t(h
1
L
τ−==
−

Bộ lọc thông thấp lý tưởng không phải là hệ thống nhân quả vì h
L
(t) khác 0 khi t < 0. Điều
này ngụ ý rằng ta phải biết tín hiệu ra ở tất cả các thời điểm tương lai để tạo ra tín hiệu ra của
bộ lọc ở một thời điểm nào đó bất kỳ. Do đó, ta không thể thực hiện được bộ lọc thông thấp
lý tưởng trong thực tế.


⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
∏∏
f2j
00
B
e
B
ff
B

Chương V
- 106 -
3. Bộ lọc thông cao lý tưởng
Bộ lọc thông cao lý tưởng cho tất cả các thành phần tần số lớn hơn B (Hz) đi qua không méo
và ngăn hoàn toàn các thành phần tần số thấp hơn B (Hz).
Lập luận tương tự như trên, ta thấy đáp ứng tần số của bộ lọc thông cao lý tưởng là: Đáp ứng xung của bộ lọc thông cao lý tưởng: Bộ lọc thông cao lý tưởng không phải là hệ thống nhân quả.

+ B/2.
Lập luận tương tự như trên, ta thấy đáp ứng tần số của bộ lọc chắn dải lý tưởng là: Đáp ứng xung của bộ lọc chắn dải lý tưởng: Bộ lọc chắn dải lý tưởng không phải là hệ thống nhân quả.


)j(H)j(H)j(H)j(H|)j(H|
*2
ω−ω=ωω=ω
Ta có thể viết lại:
ω=
−=ω
js
2
)s(H)s(H|)j(H|
với H(s) là hàm truyền đạt của bộ lọc. Các điểm cực và không của H(-s) là đảo dấu của các
điểm cực và không của H(s). Do đó, các điểm cực và không của tích H(s).H(-s) xuất hiện
thành từng cặp đối xứng qua gốc.
Vì tính đối xứng của các điểm cực và không nên:
[]
[]
)sp(s)p(
)sz(s)z(
C)s(H).s(H
k
n
1k
k
i
m
1i
i
−−−
−−−
=−
∏

22
i
)sp(
)sz(
C)s(H).s(H

Như vậy, s chỉ xuất hiện với số mũ chẵn trong tích H(s).H(-s). Do đó ta có thể viết lại:
22
s
2
|)j(H|)s(H)s(H
ω−=
ω=−
Bây giờ ta phân chia tích H(s).H(-s) ra để xác định H(s). Có nhiều cách phân chia. Ta có thể
chia cho H(s) giữ hằng số
C và một nửa số điểm cực và không, và H(-s) giữ hằng số
Cvà một nửa số điểm cực và không đối xứng.
Đáp ứng tần số chỉ tồn tại đối với hệ ổn định, do đó H(s).H(-s) không chứa các điểm cực nằm
trên trục ảo và phải chọn các cực của H(s) nằm bên trái mặt phẳng s. Các điểm cực còn lại là
đảo dấu của các điểm cực đã chọn thì phân cho H(-s).
Về các đi
ểm không thì không có một ràng buộc nào để lựa chọn. Tuy nhiên, ta thường chọn
các điểm không của H(s) không nằm bên phải mặt phẳng s. Sự lựa chọn này tạo ra một hệ
thống có trễ pha nhỏ nhất.
Tóm lại, ta nên phân chia tích H(s).H(-s) ra như sau:
[]
[]
⎥
⎥
⎥

=
=
=
=
n
1k
k
m
1i
i
n
1k
k
m
1i
i
)sp(
)sz(
C
s)p(
s)z(
C)s(H).s(H
Như vậy, hàm truyền đạt của hệ thống ổn định có trễ pha nhỏ nhất là:
[]
[]
∏
∏
∏
∏
=

42
2
25.025.725
5.75.7
|)j(H|
ω+ω+
ω+
=ω
Tìm hàm truyền đạt của bộ lọc ổn định pha tối thiểu tương ứng với đáp ứng biên độ trên.
Chương V
- 110 - 5.2.2 Xấp xỉ Butterworth thông thấp
Đây là phương pháp xấp xỉ đáp ứng biên độ của một bộ lọc thông thấp lý tưởng. Bộ lọc kết

bằng 0 tại
0=ω càng tốt. Đáp ứng biên độ có 2n – 1 đạo hàm bằng 0 tại 0=ω và vì vậy, nó
trở nên bằng phẳng hơn khi bậc tăng lên. Chương V
- 111 -
2. Hàm truyền đạt của bộ lọc thông thấp Butterworth


)j(H
LL
ω . Ta dùng biến
L
ω
thay cho
ω
là để tránh nhầm lẫn khi thay biến
tần số.
Phương trình thay đổi biến đối với lọc thông cao là:
ωωω=ω
ω=ω
/
LLH
chcL
)j(H)j(H
ở đây
c
ω là tần số cắt của bộ lọc thông thấp,
ch
ω
là tần số cắt của bộ lọc thông cao.
Phương trình thay đổi biến đối với lọc thông dải là:
)(/)(
LLB
lulu
2
cL
)j(H)j(H
ω−ωωωω−ωω=ω
Chương V
- 113 -
c
ω
. Tần số này được xác định bởi băng
thông yêu cầu.
Bước thứ hai là lựa chọn bậc của bộ lọc. Ta thường chọn bậc của bộ lọc từ độ lợi tại một tần
số cụ thể
1
ω nào đó trong dải chắn. Các đường cong biểu diễn độ lợi thay đổi theo tần số với
các bậc bộ lọc khác nhau thường được dùng để xác định bậc của bộ lọc.
Bước thứ ba là tính chọn các hệ số của mẫu số của hàm truyền đạt:
n
N
1n
N1nN10
0
NN
ssb sbb
a
)s(H
++++
=
−
−

ở đây ta dùng chữ N là để ký hiệu cho bộ lọc chuẩn hóa.
Bước thứ tư là chọn hệ số a
0
, chọn sao cho bộ lọc có độ lợi lớn nhất.
Bước cuối cùng, ta thay đổi thang tần số để có được bộ lọc có tần số cắt thỏa yêu cầu:
n

Chương V
- 115 -