Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
CHƯƠNG I. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN VỀ MA TRẬN
+ Phép cộng hai ma trận: Cho hai ma trận A = (a
ij
)
mxn
và B = (b
ij
)
mxn

Khi đó C = A + B = (a
ij
+ b
ij
)
mxn
+ Phép nhân 1 số với Ma trận: Cho Ma trận A = (a
ij
)
mxn
khi đó k.A = (k.a
ij
)
mxn
+ Phép nhân 2 Ma trận
Ma trận A được gọi là tương thích với ma trận B nếu số cột của ma trận A
bằng số hàng của ma trận B
Cho ma trận A = [a
ij

.
Như vậy nếu A = [a
ij
]
mxn
thì A
T
= [a
ji
]
nxm
.
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1.
1. Cộng hai ma trận A = và B =
2. Nhân ma trận A = với λ = 3
Giải. 1. Theo định nghĩa ta có A + B =
1 5 2 6 6 8
3 7 4 8 10 12
+ +
   
=
   
+ +
   

2. λ.A = 3. = =
Ví dụ 2. Trong trường hợp nào thì:
1. Có thể nhân bên phải một ma trận hàng với một ma trận cột ?
2. Có thể nhân bên phải một ma trận cột với một ma trận hàng ?

1
b
1
+ a
2
b
2
+ …+ a
n
b
n
] = c
2. Ma trận cột có kích thước (m x 1) ma trận hàng có kích thước (1 x n) nên
phép nhân này luôn thực hiện được, và kết quả là

1
2
.
.
m
a
a
a
 
 
 
 
 
 
 

=
Tương tự, B.A = . =
Ví dụ 4.
1. Cho ma trận A = , tìm mọi ma trận X sao cho AX = XA
2. Tìm mọi ma trận giao hoán với ma trận A =
3. Tính tích
Giải.
1. Vì A là ma trận vuông cấp 2 nên để tích AX và XA xác định thì X cũng là
ma trận cấp 2. Giả sử X = ; a, b, c, d ∈ R, khi đó
2
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
A.X = . =
X.A = =
Vì A.X = X.A nên b = 0, a = d, do đó X = ∀a,c ∈ R
2. Tương tự câu 1, Giả sử X = ; a, b, c, d ∈ R, khi đó
A.X = . =
X.A = . =
Vì A.X = X.A ⇒ ⇔ (b ∈ R)
Vậy X = (b ∈ R)
3. Dễ dàng thấy rằng = . Từ ví dụ này suy ra rằng nếu A.B = O thì không
nhất thiết ma trận A = O hoặc B = O
Ví dụ 5. Tìm ma trận lũy thừa của ma trận
A =
Giải.
Ta có A
2
= . =
A
3
=A

- Định thức cấp 1, cấp 2 và cấp 3 được tính theo các công thức
= a
11
.a
22
- a
21
.a
12
= a
11
.a
22
.a
33
+ a
12
.a
23
.a
31
+ a
13
.a
32
.a
21
- a
13
.a

dòng i, cột j của định thức A.
* Sử dụng các tính chất của định thức để biến đổi định thức đã cho thành định
thức tam giác, khi đó detA = a
11
.a
22
a
nn
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1.
1, Tính số nghịch thế trong hoán vị (5, 3, 1, 6, 4, 2)
4
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
2, Với những giá trị nào của i và j thì số hạng a
51
a
1j
a
2j
a
43
a
32
của định thức cấp 5
có dấu trừ.
Giải.
1, Các bước để tính nghịch thế
- Tính xem có bao nhiêu số đứng trước số 1 (giả sử có k
1
số) rồi gạch bỏ số 1

a
51
+ Giả sử i = 4, j= 5 ⇒ inv(45231) = 8, do đó với I = 4, j = 5 số hạng đã cho có
dấu (+)
+ Giả sử I = 5, j = 4 ⇒ inv(45231) = 9, do đó số hạng đã cho có dấu (-). Vậy
số hạng đã cho có dấu (-) khi I = 5, j = 4
Ví dụ 2. Tính các định thức sau đây
1, ∆
1
= ; 2, ∆
2
=
3, ∆
3
= ; 4, ∆
4
=
Giải.
1, Tính ∆
1
bằng cách khai triển theo hàng hoặc theo cột, ở đây ta khai triển
theo hàng 1
∆
1
= (-1)
1+4
.a
14
= (-1)
5

5
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
∆
3
= =
= h
2
-h
1
→ h
2
’ = = 1.(-1)
2+2
= -1
4, Tương tự câu 3 ta có
∆
4
= = = a
13
.A
13
= 1.(-1)
3
=
= (-1)
5
. = -264
Như vậy từ việc tính định thức cấp 5 ta đã biến đổi để đưa về định thức cấp 3,
việc tính định thức cấp 3 có thể dùng cách biến đổi như trên hoặc áp dung quy tắc
sarrus.

thức cùng dạng với ∆
1
nhưng cấp n. Do vậy định thức ∆
n+1
có thể biểu diễn bởi hệ
thức truy hồi sau:
∆
n+1
= a
n
.(-1)
n
(-1)
n
+x∆
n
Để thu được biểu thức tổng quát∆
n+1
ta xét ∆
1
và ∆
2

∆
1
= a
0
; ∆
2
= = a

Giả sử đã chứng minh ∆
n
= a
0
x
n-1
+ …+ a
n-1
khi đó
∆
n+1
= a
n
.(-1)
n
(-1)
n
+x∆
n
= a
n
+ x∆
n
= a
0
x
n
+ a
1
x

3,4
= ± 3)
b, = 0. (ĐS. x
1
= 6; x
2
= 5)
c, = 0. (ĐS. x
1
= 2; x
2
= 3; x
3
= 4)

7
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
DẠNG 3: HẠNG CỦA MA TRẬN

* Các Phương pháp tìm hạng của ma trận
+ Phương pháp 1. Dựa vào định nghĩa, gồm các bước sau
B
1
: Tìm một định thức con nào đó khác 0, giả sử đó là định thức ∆
r
≠ 0.
B
2
: Tính tiếp các định thức con ∆
r+1

(2)
= = -1 ≠ 0.
Như vậy có một định thức ∆
3
(2)
≠ 0, ta tính định thức cấp 4 bao ∆
3
(2)
, ta có
∆
4
(1)
= = 0.
Vậy r(A) = 3
Ví dụ 2. Tìm r(A) nếu
A =
Giải. Áp dụng phương pháp 1, hiển nhiên ma trận A có định thức con
∆
2
= = -2 ≠ 0.
Các định thức con bao ∆
2
gồm:
∆
2
(1)
= = 0; ∆
2
(2)
= = 0; ∆

2, B = =
= =
Đây là ma trận hình thang có số dòng khác 0 là 3, vậy r(A) = 3.

3, C = = - (Đổi chỗ hàng 2 và hàng 3).
= - =
Vậy r(A) = 2.
4, D = =
= =
Vậy r(A) = 3.
BÀI TẬP
Tìm hạng các ma trận sau
1. A = . (ĐS. r(A) = 2) 2. A = . (ĐS r(A) = 1)
3. A = . (ĐS r(A) = 2) 4. A = . (ĐS r(A) = 2)
5. A = . (ĐS r(A) = 2) 6. A = . (ĐS r(A) = 1)
7. A = . (ĐS r(A) = 3) 8. A = . (ĐS r(A) = 5
9. A = . (ĐS r(A) = 3) 10. . (ĐS r(A) = 4)
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tìm hạng của các ma trận sau:
11. A = . (ĐS r(A) = 2) 12. A = . (ĐS r(A) = 3)
9
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
13. A = . (ĐS r(A) = 3)
14. A = . (ĐS r(A) = 4)
15. Với giá trị nào của a thì ma trận A = có hạng bằng 1. (ĐS a = )
16. Với giá trị nào của a thì ma trận A = có hạng bằng 3. (ĐS a ≠ 2)
DẠNG 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
* Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa, gồm các bước sau
B
1

CÁC VÍ DỤ.
Ví dụ 1. Tìm ma trận nghịch đảo đối với các ma trận sau:
1. A = . 2. A =
Giải:
1. Ta có detA = 10 ≠ 0. Do đó ma trận A có ma trận nghịch đảo, phần bù đại số
của các phần tử là
a
11
= -5; a
12
= 15; a
13
= 25; a
21
= 1; a
22
= 3; a
23
= 9; a
31
= 4; a
32
= -8; a
33
= -14
Vậy A
-1
= =
2. Ta có det(A) = h
3

-1
= (detA)
-1
2. Nếu A và B không suy biến thì AB cũng không suy biến và (A.B)
-1
= B
-1
.A
-1
3.(A
-1
)
-1
= A.
4. (A
T
)
-1
= (A
-1
)
T
.
Giải:
1.Áp dụng công thức tính định thức của tích hai ma trận cùng cấp A và B ta có
detA.B = detA.detB
Vì A.A
-1
= E ⇒ detA.A
-1

Vậy B
-1
A
-1
là ma trận nghịch đảo của AB.
3. Ta thấy (A
-1
)
-1
là ma trận duy nhất mà tích của nó nhân với A
-1
bằng E vậy
(A
-1
)
-1
= A
4. Để chứng minh (A
T
)
-1
= (A
-1
)
T
ta xét đẳng thức A.A
-1
= E, áp dụng tính chất
của ma trận chuyển vị ta có
(A.A

2. Ta có thể nhân ma trận E - A với E + A + A, nếu là ma trận nghịch đảo nhau
thì kết quả là E.
Thật vậy (E - A).(E + A + A) = E - A + A - A + A - A = E - A = E
(Vì A = 0)
Ví dụ 5. Tìm ma trận nghịch đảo với ma trận A =
Giải:
Để tồn tại ma trận nghịch đảo detA = ad - bc ≠ 0. Với giả thiết đó ta có
A
11
= d; A
12
= -b; A
21
= -c; A
22
= a. Do đó A
-1
=
Từ ví dụ này ta rút ra quy tắc tìm ma trận nghịch đảo của ma trận cấp 2:
Ma trận nghịch đảo của ma trận cấp 2 bằng tích của nghịch đảo của định thức với ma
trận mà đường chéo chính là hoán vị của hai phần tử trên đường chéo chính, còn
phần tử trên đường chéo thứ hai cũng chính là hoán vị của đường chéo thứ hai nhưng
đổi dấu.
Ví dụ 6.
1, Giả sử A là ma trận không suy biến, hãy giải các phương trình ma trận sau:
AX = B, YA = B.
2, Áp dụng câu 1 giải các phương trình nếu A = ; B = .
Giải:
1, Nhân bên trái hai vế của phương trình AX = B với A
-1

(ĐS: X = )
5.X.A - 2B = E trong đó
A = , B =
(ĐS: X = ).
Bài 4. Chứng minh rằng các ma trận A + E và A - E không suy biến và nghịch đảo
nhau nếu A = 0
Bài 5. Chứng minh rằng A + E và A + E - A không suy biến và nghịch đảo nhau nếu
A = 0
Bài 6. Chứng minh rằng nếu A,B, C là những ma trận không suy biến thì A.B.C và
13
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
C
-1
.B
-1
.A
-1
là nghịch đảo nhau.
Dạng 5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
* Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
- PP ma trận: Vì detA ≠ 0 nên tồn tại ma trận nghịch đảo A
-1
, từ hệ AX = H
ta có A
-1
.AX = A
-1
.H ⇒ EX = X = A
-1
.H

Ta có A
-1
= , do đó = .
Thực hiện phép nhân ma trận ở vế phải ta được x
1
= 2, x
2
= 3, x
3
= -1.
2. Ta có A = ⇒ A
-1
= , H =
14
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
tương tự câu 1 ta có phương trình (2) có nghiệm duy nhất X = A
-1
.H
và = . ⇒ x
1
= 8, x
2
= 12, x
3
= -1.
Ví dụ 2. Áp dụng quy tắc cramer, giải các hệ phương trình sau.
1. 2.
Giải:
1. Áp dụng công thức cramer ta có x
j

1
=

= 2, x
2
=

= -1,
x
3
=

= 0, x
4
=

= -2.
Ví dụ 3. Áp dụng phương pháp Gauss giải các hệ phương trình sau
1. 2.
Giải:
1. Lập ma trận mở rộng và thực hiện các phép biến đổi.
= → h
3
-5h
2
→h
3
’
→
Từ đó suy ra ⇒ x

= -2, x
3
= 2, x
4
= 1.
Ví dụ 4. Giải và biện luận theo a số nghiệm của hệ

15
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
Giải: Ta có
A = ⇒ detA = (a + 2)(a - 1)
2

= D
Tương tự detA
1
= detA
2
= detA
3
= (a - 1)
2

+ Nếu D ≠ 0 ⇔ a ≠ -2, a ≠ 1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất và theo
công thức cramer ta có x
1
= x
2
= x
3


Giải:
Vì số phương trình bé hơn số ẩn nên tập nghiệm của hệ phương trình là
vô hạn. Vì hạng của ma trận của hệ bằng 2 vì có = 6 ≠ 0 nên hệ đã cho tương đương
với hệ
⇒ x
1
=
,
x
3
= x
4
.
Vậy tập nghiệm của hệ là { ; a; b; b/ ∀ a, b ∈ R}
BÀI TẬP
Bài 1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:
1. (ĐS: x
1
= 9; x
2
= 2; x
3
= 2)
2. (ĐS: x
1
= x

1
= 0; x
2
= 1; x
3
= -1; x
4
= 2)
7. (ĐS: x
1
= -19; x
2
= 26; x
3
= 11; x
4
= -5)
8. (ĐS: x
1
= -1; x
2
= 1; x
3
= -1; x
4
= 1)
9. (ĐS: x
1
= ; x
2

1
tùy ý)
2. . (ĐS: x
1
=

; x
2
=

; x
3
tùy ý)
3. . (ĐS: x
1
= ; x
2
= ; x
3
; x
4
∈ R)
4. . (ĐS: x
1
= 1; x
2
= 2; x
3
= 3)
5. . (ĐS: Hệ vô nghiệm)

Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
3. = =
= = .
4. Ta có = = -
= - = + = +
⇒ = ( + ) = + =
Ví dụ 2. Tìm (n ∈ N)
Giải: Ta có =
=
= [1 + (x + 1) + + (x
n-1
+x
n-2
+ +x + 1)] = 1 + 2 + + n =
Ví dụ 3. Tính các giới hạn
1. 2.
3. 4.
Giải:
1. Ta có = = (x
4
+ x
3
+ x
2
+ x + 1) = 5
2. = = = 0.
3. = = =
4. = = =
BÀI TẬP
Tính các giới hạn sau:

x
x
e
x
→ ∞
+ =
;
0
log (1 )
1
lim
ln
a
x
x
x a
→
+
=
;
0
1
lim ln
x
x
a
a
x
→
−

3. = [ ] = 1 1 =
BÀI TẬP
Tính giới hạn các hàm số sau:
1. (ĐS: - ∞) 2. ( - tan
2
x) (ĐS: )
3. x.cotx (ĐS: 1) 4. (1 - x) tanx (ĐS: )
5. (5x + 1)tan (ĐS: 10) 6. (x + 4)sin (ĐS: 3)
7. (ĐS: 7)
HD: Áp dụng công thức = =

Ta có
1- cosx.cos2x.cos3x = 1 - cosx + cosx - cosx.cos2x + cosx.cos2x - cosx.cos2x.cos3x
= (1 - cosx) + cosx(1 - cos2x) + cosx.cos2x(1 - cos3x)
8. . (ĐS: - ) 9. (1 + cos2x).tanx (ĐS: 0)
10. (ĐS: 6)
DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ (VCB)
VÀ VÔ CÙNG LỚN (VCL)
+ Phương pháp:
-Xét xem hàm số cần tìm giới hạn là đại lượng VCB hay VCL khi x → a
- Nếu α(x) là VCB thì α(x) = 0, nếu α(x) là VCL thì α(x) = ∞
Ngoài ra trong quá trình tính giới hạn ta có thể dùng các VCB tương đương thay
thế. Khi x → 0 ta có bảng VCB tương đương sau:
21
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng

2
sinx log (1 )
ln
t anx ln(1+x) x

Giải:
Vì sin2x và sinx là các đại lượng VCB khi x → 0 nên sin2x τ 2x, sinx τ x
⇒ = = 2
Ví dụ 3. Tính
Giải:
Vì 4x
2
- 7x + 2 và x
2
+ 1 là các đại lượng VCL khi x → ∞ nên 4x
2
- 7x + 2 τ 4x
2

và x
2
+ 1 τ x
2
Khi đó =

= 4

Ví dụ 4. Tính
Giải: Ta có - 1 và - 1 là đại lượng VCB khi x → 0 khi đó
- 1 τ x và - 1 τ x ⇒ = (x:x) =
DẠNG 5: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG (U
(x)
)
V(x)
Phương pháp:

3. (sinx) (ĐS: -1) 4. (tanx) (ĐS: -1)
5. (cosx) (ĐS: e) 6. (cos3x) (ĐS: e)
7. (ĐS: 1) 8. (ĐS: e)
DẠNG 6: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Phương pháp:
+ Tính giới hạn
( )
x a
Lim f x
→
.
+ Tính f(a).
Nếu
( )
x a
Lim f x
→
= f(a) thì hàm số liên tục tại a. ngược lại hàm số gián đoạn tại a.
Khi hàm số gián đoạn tại a ta có:
+ Nếu tồn tại
( )
x a
Lim f x
−
→
và
( )
x a
Lim f x
+

Xét f(x) = (1 + ) = 2 = f(0)
Vậy hàm số liên tục bên phải tại x = 0
Xét f(x) = (1 + ) = 0 ≠ f(0)
Vậy hàm số không liên tục bên trái tại x = 0.

Ví dụ 3.
24
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
Cho hàm số f(x) = chưa xác định tại x = 0, hãy xác định f(0) để f(x) liên tục tại x
= 0.
Giải:
Ta có f(x) = = = =
Vậy để hàm số liên tục tại x = 0 thì f(0) = f(x) =
Ví dụ 4. Cho hàm số f(x) xác định như sau
f(x) = Chứng tỏ rằng f(x) liên tục [0; 4]
Giải:
Ta thấy f(x) liên tục trên [0; 4], ta cần chứng minh f(x) liên tục bên trái của x = 4.
Xét f(x) = = = = f(4)
Vậy f(x) liên tục bên trái tại x = 4 ⇒ f(x) liên tục trên [0; 4]
Ví dụ 5. Cho hàm số
f(x) = Chứng tỏ rằng hàm số không liên tục tại x =1
Giải:
Ta có f(x) = = ∞ ≠ 1 = f(1)
Vậy hàm số không liên tục tại x = 1
BÀI TẬP
Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số
f(x) = tại điểm x = 2. (ĐS: Hàm không liên tục tại x = 2)
Bài 2. Tìm điểm gián đoạn của các hàm số
a, f(x) = b, f(x) =
Bài 3. Cho hàm số