THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam
1
 Giáo viên: cô Trịnh Thị Thanh Bình
Thành viên thực hiện:
• Đào Ngọc Sáng
• Trần Ngọc Sơn
• Nguyễn Chí Thanh (nhóm trưởng)
• Nguyễn Phương Thảo
• Phạm Thị Minh Thu
• Đinh Trường Thịnh
2
Lời nói đầu
Tọa độ có thể nói là một báu vật dành cho rất nhiều ngành khoa học,
trong đó có toán học. Trong địa lý, tọa độ dùng để xác định vị trí của sự vật
hay hiện tượng nào đó. Trong vật lý, nó lại được dùng để theo dõi quan hệ
của các đại lượng vật lý… Còn đối với toán học, tọa độ không chỉ được
dùng để xác định giá trị của hàm số với các giá trị của biến số, mà nó còn
có thể được dùng để chứng minh các đặc tính hình học, tìm ra cực trị …
v…v. Như vậy có thể thấy tọa độ có ý nghĩa vô cùng to lớn với các ngành
khoa học nói chung và toán học nói riêng.
Trong chuyên đề này, chúng em xin giới thiệu các phương pháp
chứng minh, tính toán toán học sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng, hay nói các khác là hệ trục tọa độ Oxy. Trong chương trình lớp 10,
chúng ta tìm hiểu sâu hơn về đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ, tìm hiểu
về các đường cong như đường tròn, đường elip, hypebol và parabol.
Như trong chương trình học ở cấp trung học cơ sở, chúng ta được
biết phương trình của đường thẳng có dạng
y ax b= +
. Hay đường Parabol
có dạng
2

( ; )M x y

và có vectơ pháp tuyến
( ; )n a b
r
là:
0 0
( ) ( ) 0a x x b y y− + − =

Phương trình tổng quát có dạng
0ax by c+ + =
Như vậy phương trình
y ax b= +
ta
được học ở lớp dưới chỉ là trường
hợp cụ thể của phương trình
đường thẳng
Các trường hợp đặc biệt của phương trình đường thẳng:
( ) ( )
: by 0d Oy d c⊥ ⇔ + =
( )
d
đi qua O(0;0)
( )
0d ax by⇔ + =
( )
d
đi qua
( )
;0A a

( ) ( )
: 0d Ox d ax c
⊥ ⇔ + =
Xét 2 đường thẳng
( )
1 1 1 1
0d a x b y c+ + =
và
( )
2 2 2 2
0d a x b y c+ + =
Tính
1 2 2 1
D a b a b= −
,
1 2 2 1x
D b c b c= −
,
1 2 2 1y
D c a c a= −
1 2
;d d
cắt nhau
0D
⇔ ≠
. Tọa độ giao điểm là
( ; )
x
D
Dy

trùng nhau
x y
D D D⇔ = =
Chú ý: Ta có phương pháp xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng
Cho 2 đường thẳng và , nếu thì
cắt
trùng
5
Các dạng toán về phương trình tổng quát của đường
thẳng:
Dạng1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG
THẲNG
Giải: a) Đường cao AH đi qua điểm
(3;2)A
và vuông góc
( )
2 ; 3BC −
uuur
nên có phương
trình là:
( ) ( )
2 – 3 3 – 2 0x y− + =

2 3 0x y⇔ − + =
Đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến là
n
BC
uuuur
( 2;3)= −
và đi qua điểm

= (- 2 ;-1)
nên có phương trình tổng quát là
5
2( 0) 1(y ) 0 4 – 2 +5 0.
2
x x y− − − − = ⇔ =
d) Gọi D(x ; y) là tọa độ của chân đường phân giác trong . Theo tính chất của phân giác
ta có :
DB AB
AC
DC
= −
uuur
uuur
Mà
2 2 2 2
2 1 5; 4 2 2 5AB AC= + = = + =
nên suy ra
1
2
2
DB
DB DC
DC
= − ⇔ = −
uuur
uuur uuur
uuur
1
2(1 ) 1

hoàn toàn có thể xác định tất cả các điểm và đường liên quan đến tam giác
Ví dụ 1: Cho có , và . Viết phương trình tổng quát của
Đường cao AH và đường thẳng BC
Trung trực của AB
Đường trung bình ứng với AC
Đường phân giác trong của góc A
6
Gọi A(a ; 0) và B(0 ; b) với a > 0 ,
b > 0 , phương trình đường thẳng
cần tìm có dạng:
1
x y
a b
+ =

(phương trình đoạn chắn) .
Vì đường thẳng qua M(3; 2) nên
3 2
1
a b
+ =
(1)
a)
12 12OA OB a b+ = ⇔ + =
12a b
⇔ + =
(vì a;b >0)
12a b
⇔ = −
(2)

= ⇒ =
phương trình cần tìm là
1
4 8
x y
+ =
b) Diện tích tam giác AOB là
1 1 24
. 12
2 2
OAOB ab a
b
= = ⇔ =
(3)
Từ (1) và (3) suy ra
2
3 2
1 16 8 4
24
b
b b b
b
+ = ⇔ + = ⇔ =

6a
=> =
ta có phương trình là
1
6 4
x y

− + =

Hai đường thẳng cắt nhau
1m
D
m
+
⇔ =

2
3
−
−

3( 1) 2 3 0m m m= − + + = − − ≠
3m
⇔ ≠ −
Ta có:
2
3
x
D
−
=
−

1
2.1 3( 1) 3 1
1
m

m
y
D m
− −

= =


+

− +

= =

+

b) Ta có:
3( 3) 8 8
3
3 3
8
3
3
m
x
m m
y m
m
− + +
= = − +

x y x y− + = − + =
Phương trình tham số của đường thẳng
Vectơ chỉ phương
Định nghĩa: vectơ
u
r
khác
0
r
có giá song song hoặc trùng với đường thẳng
∆
gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng
∆
Từ đó ta suy ra: VTPT và VTCP của 1 đường thẳng có giá vuông góc với
nhau
Ta có tính chất: Nếu
( ; )n a b
r
là VTPT của đường thẳng
d
thì
( ; )u b a−
r
hoặc
( ; a)u b −
r
là VTCP của đường thẳng
d
Phương trình tham số của đường thẳng
Xét đường thẳng

có VTCP
u
r
( )
1 2
;a a
là
0 0
1 2
x x y y
a a
− −
=
Ta cũng có phương pháp xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng thông
qua phương trình tham số
v
r
O
∆
9
1
∆
đi qua
1 1
1 1 1
1 1
( ; ): ( )
x x a t
M x y t
y y b t

uur
thì
1 2
( ) ( ) I∆ ∆ =I
Nếu
1 1 1 2 2 2
( ; ) ( ; )v a b v a b= / / = / /
ur uur
1 2 2 1
1 2
1 2 1 1 2 1
0
( ) ( ) 0
a b a b
M M
a y y b x x
− =

⇔

− − − ≠

thì
1 2
( )∆ )/ /(∆
Nếu
1 2 2 1
1 1 1 2 2 2 1 2
1 2 1 1 2 1
0


10( 3) 3( 4) 0 10 3 18 0x y x y− + + = ⇔ + + =
b) Đường cao BH có phương trình tham số là
3 4
4
x t
y t
= +


= − +

Từ đó ta suy ra phương trình chính tắc
3 4
4 1
x y− +
=
Suy ra phương trình tổng quát là
1( 3) 4( 4) 0 4 19x y x y− − + = ⇔ − − =
0
c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là
1 3 0 4
3 3 3
2 4 6 4
3 3 3
A B C
G
A B C
G
x x x

d = −
uur
nên vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là
(7; 3)−
Phương trình tham số của đường thẳng là
4
7
3
4
3
3
x t
y t

= +




= −


Phương trình chính tắc của đường thẳng là
4 4
3 3
7 3
x y− −
=
Từ đây ta suy ra phương trình tổng quát là
4 4

23
13
t
t
=


⇔
−

=

TH1:
1 (1;4)t M= ⇒
TH2:
23 85 56
( ; )
13 13 13
t M
− −
= ⇒
b) Giả sử d và d’ cắt nhau
Tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng có phương trình tính tham số là:
( 1)(3 2 t) m(1 3t) 3m 5 0m + − + + − − =
( 2) 2 0m t m⇔ − + − =
Nếu
2m
=
phương trình đúng
t

và
(0; )C c Oy= ∆ I
( ) : 1( 0)
x y
bc
b c
⇒ ∆ + = ≠

(phương trình đoạn chắn)
3 1
(3;1) ( ) 1.(1)M
b c
∈ ∆ ⇒ + =
. Tam giác ABC cân tại A
2 2
AB AC⇔ =
2 2
2 2 4
( 2) 4 4 ( 2)
2 2
b c b c
b c
b c b c
− = + = +
 
⇔ − + = + + ⇔ ⇔
 
− = − − = −
 
Với

( 1; 3)A − −
a) Giả sử 2 đường cao là
( ):5 3 25 0;( ) :3 8 12 0BH x y CK x y+ − = + − =
. Hãy
viết phương trình cạnh BC
b) Giả sử đường trung trực của AB là
( ) :3 2 4 0x y∆ + − =
và
(4; 2)G −
là
trọng tâm tam giác ABC. Xác định tọa độ các đỉnh B, C
Giải: a)
( ) ( )AB CK⊥
và đi qua
( 1; 3)A − −
nên phương trình
8 3 1 0x y− − =
( ) ( )AC BH⊥
đi qua
( 1; 3)A − −
nên AC có phương trình là
3 5 12 0x y− − =
( ) ( )B BH AB∈ I
nên tọa độ B là nghiệm của hệ
8 3 1 0
(2;5)
5 3 25 0
x y
B
x y

, đi qua điểm
( 1; 3)A − −
( ) : 2( 1) 3( 3) 0 : 2 3 7 0AB x y x y⇒ + − + = ⇔ − − =
Gọi M là giao của AB và
∆
(suy ra M là trung điểm AB)
Tọa độ M là nghiệm của hệ
3 2 4 0
(2; 1)
2 3 7 0
x y
M
x y
+ − =

⇒ −

− − =

Từ đó ta tìm được tọa
độ điểm
(5;1)B
(4; 2)G −
là trọng tâm tam giác ABC nên dễ dàng ra được
(8;4)C
12
Bài 3: Cho
1 2
( ): 5 0;( ) : 2 7 0d x y d x y+ + = + − =
và


Suy ra
( 1;4)B −
và
(5;1)C
Bài 4: Cho
1 2
( ) : 1 0;( ) : 2 1 0x y x y∆ − + = ∆ + + =
và điểm
(2;1)M
. Viết phương
trình đường thẳng
( )d
đi qua điểm M và cắt
1 2
;∆ ∆
lần lượt tại A,B sao cho
M là trung điểm của AB
Giải: Có
1 1 1
( ) ( ; 1)A A t t∈ ∆ ⇒ +
, Điểm
2 2 2
( ) ( ; 2 1)B B t t∈ ∆ ⇒ − −
(2;1)M
là trung điểm AB nên
1
1 2
1 2
2

− −
   
⇒ =
 ÷  ÷
   
uuur
. Đường d đi qua M và nhận
AB
uuur

là véctơ chỉ phương nên có phương trình là
2 2
1 5
x t
y t
= +


= +

Bài 5: Cho 5 điểm
1
(0; 1); (2;3); ( ;0); (1;6); ( 3; 4)
2
A B C E F− − −
và đường thẳng
( ) : 2 1 0d x y− − =
Tìm
( )M d∈
sao cho

EM FM t t t⇒ + = − + = − + ≥ =
uuuur uuuur
Dấu “=” xảy ra 
3 3 1
( ; )
5 5 5
t M= ⇔
Vậy
3 1
( ; )
5 5
M
thì
8 5
min
5
EM FM+ =
uuuur uuuur
13
Bài 6: Cho điểm A di động trên
1
( ) 2d x =
và điểm B di động trên
2
( ) : 1d y =

sao cho
OAB∆
vuông tại O. Tìm tập hợp hình chiếu của O lên AB
Giải: Có

( ( 2) ;1 (2 1) )H AB H b b t b t∈ ⇒ + − + +
Có
2 2
. 0 (( 2) )( 2) ((2 1) 1)(2 1) 0
1 4 2 2 4
(5 5) ( 1) 0 ;
5 5 5 5 5
OH AB b t b b b t b
b b
t t b t H
= ⇔ − + − + + + + =
− −
 
⇔ + + + = ⇔ = ⇔ + +
 ÷
 
uuur uuur
Xét thấy
4 2
5 5
2 2
2 4
5 5
H
H H
H
b
x
x y
b

3
DB AB
DC AC
⇒ = =
. Vì
;DB DC
uuur uuur
ngược hướng nên
5
3
DB DC
−
=
uuur uuur
5
3
5
1
3
5
3
5
1
3
B C
D
B C
D
x x
x

(0;15)AD⇒
uuur
Gọi (d) là phân giác ngoài góc BAC suy ra
( )AD d⊥
suy ra (d) có phương
trình là
6y =
Phương trình đường BC là
2 5 0x y− − =
. I là giao của (d) và BC nên có tọa
độ là
(17;6)
14
Bài 8: Cho điểm
(1;2)M
. Viết phương trình đường thẳng
( )∆
qua M cắt
chiều dương các trục Ox,Oy tại A,B sao cho
min
ABC
S
V
Giải: Đường thẳng
∆
cắt Ox tại
( ;0)A a
, cắt Oy tại
(0; )B b


có
1 2 2 2 2 2
1
a b
ab ab
+ ≥ ⇔ ≥

1
2 2
ab⇔ ≥
1
4
8
OAB
ab S⇔ ≥ ⇔ ≥
Dấu “=” xảy ra
1 2
2
1 2
1
4
; 0
a b
a
b
a b
a b

=


Vì
( ) : 2 1 0C d x y∈ − − =
nên đặt
(2 1; )C c c+
Khoảng cách từ C đến AB là
4(2 1) 3 7 11 3
( ; )
5 5
c c c
d C AB
+ + − −
= =
Theo đề bài
( )
; 6d C AB =

11 3 30c⇒ − =
Trường hợp 1:
11 3 30 3 (7;3)c c C− = ⇔ = ⇒
Trường hợp 2:
27 43 27
11 3 30 ;
11 11 11
c c C
− − −
 
− = − ⇔ = ⇒
 ÷
 
15

3x - 4y +4 = 0
b) Tính bán kính đường tròn tâm O tiếp xúc đường thẳng d :
2x + y + 8 = 0
c) Tính khoảng cách từ điểm P (3;12) đến đường thẳng d : y + 3x – 11 = 0
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d : 5x + 3y – 5 = 0 và
d' : 5x + 3y + 8 = 0
Giải : a) d (A,d) = = = = 1

b) Bán kính đường tròn là khoảng cách từ O đến đường thẳng
d : R = d (O;d) = =
c) Ta viết phương trình dưới dạng tổng quát :
= (=) -3(x – 2) = y – 5
(=) 3x + y – 11 = 0
d(P,d) = = =
d) Chọn trên d : 5x + 3y – 5 = 0 điểm M (1;0), thế thì :
17
d (d,d') = d (M;d) = = =
18
Ví dụ 2 :
a) Tìm trên trục hoành điểm cách đường thẳng một khoảng là: 2 .
b) Tìm trên đường thẳng d : x + y + 3 = 0 điểm cách đường thẳng d' : 3x
– 4y + 4 = 0 một khoảng là 2.
c) Cho điểm M (m-2, 2m+5) di động và điểm A (2;1) cố định. Tìm giá
trị nhỏ nhất của khoảng cách AM khi m thay đổi.
Giải : a) Gọi M (x, 0) là điểm cần tìm, ta có :

d (M, d) = 2 (=) = 2 = |2x – 7| = 10
(=) 2x – 7 = 10 (=) x = hay x =
-) Vậy ta tìm được hai điểm M ( ; 0) và M ( ; 0)
b) Gọi x là hoành độ của điểm M cần tìm, tung độ của M là: y = - x – 5. Ta có

(=) 2x – 6y + 6 = 0
(=) x – 3y + 3 =0
b) Phương trình đường thẳng d song song với
d' có dạng : 3x + 2y +m = 0. Ta định m
để d (d, d') = .
- Chọn trên d điểm A (0, ), ta có :
d (d, d') = d (A, d') =
(=) =
(=) |1 + m| = 13
(=) m + 1 = 13 hay m +1 = -13
(=) m =12 hay m = -14
(=) d' : 3x + 2y + 12 = 0 hay d' : 3x + 2y -14 = 0
+) Xét d' : 3x + 2y + 12 = 0. Chọn điểm M' ( 0, -6) thuộc d'.
21
-)Thế tọa độ M' vào d : 0.3 + 2.(-6) – 1 = -13 0
-)Thế tọa độ O (0, 0) vào d : 0.3 + 0.2 – 1 = 1 0
-) Vậy O và M' cùng một phía với d tức d': 3x + 2y + 12 = 0 là đường thẳng cần
tìm.
Cách khác : Gọi M (x, y) là điểm bất kì, ta có :
M (x, y) d' (=) d (M, d) và O và M nằm cùng phía đối với d.
(=) (3x – 2y – 1).(3.0 – 2.0 – 1 ) 0 và =
(=) = -
(=) 3x – 2y + 12 = 0
c) Phương trình d là đường thẳng qua A (6, 4) có dạng :
a.(x - 6) + b.(y - 4) = 0 (Với + 0)
(=) ax + by – 6a – 4b = 0 (1)
Ta có: d (B, d) = 5 (=) = 5
(=) = 25.( + )
(=) 20ab - 21 = 0 (=) b = 0 hay a =
*) Với a = : (1) thành: .bx + bx – = 0

b) Viết phương trình đường thẳng qua gốc O và tạo với d, d' một tam giác
cân có cạnh đáy là .

Giải : a) Phân giác (t) của góc tạo bởi d, d' :
= 0
(=) 13(3x – 4y + 5) 5(5x + 12y – 1)
Hay 13(3x – 4y + 5) = - 5(5x + 12y – 1)
(=) ( ) : 14x – 112y + 70 = 0 hay
( ) : 64x + 8y + 60 = 0
-) Đó là hai đường phân giác cần tìm.
b) Nhận xét : trong tam giác cân, phân giác trong của góc tạo đỉnh thì vuông góc
với cạnh đáy. Ta được hai đường thẳng :
+ đi qua O và vuông góc có phương trình : 112x + 14 y = 0
+ đi qua O và vuông góc có phương trình : 8x – 64 = 0
Giải: Ta có
( 5; 10) 5 5
(3; 6)
3 5
AB AB
AC
AC


= − − =
 
⇒
 
= −
=


(2;1)I⇒
N thuộc phân giác ngoài góc A
cos( ; ) cos( ; )AB AN AC AN= −
uuur uuur uuur uuur
Ví dụ 5: Viết phương trình các đường phân giác trong và phân giác
ngoài tam giác ABC, biết . Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam
giác ABC
25