BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH, GIẢI TÍCH VÀ ỨNG DỤNG
PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Bài 1 Cho các ma trận:
A =


3 1
0 −3
5 2


B =


4 1
7 −2
−1 5


C =


3 0
6 −5
1 4


Tính:
a. A + B −C
b. 2A −5B + C
c. A + 2B −3C

2
,
(
AB
)
2
và cho nhận xét.
d. Tính (AB)
t
, B
t
A
t
và cho nhận xét.
Bài 3 Cho các ma trận:
A =

4 3
−
7
2 0 1

B =

2 −1 5
4 3 −3

Tìm ma trận X sao cho:
a. A −2X = B
b. 3B −X = A

d. (A − B)
2
= A
2
− 2AB + B
2
.
Bài 7 Tính lũy thừa A
n
bậc n ≥ 1 của các ma trận sau:
a. A =

1 1
0 1

b. A =

0 1
−1 0

Bài 8 Trong các ma trận sau ma trận nào là ma trận chéo, ma trận tam giác, ma trận đối xứng, phản
đối xứng?
a. A =


0 0 0
0 0 0
0 0 0



0 0 7


B =


−3 0 0
0 1 0
0 0 −2


Tính AB và BA và đưa ra nhận xét.
Bài 10 Cho hai ma trận A và B sau:
A =


−1 0 2
0 −5 −1
0 0 1


B =


3 1 0
0 1 0
0 0 −2


Tính AB và BA và đưa ra nhận xét.

0 0 0 −1


Bài 12 Tìm hạng của các ma trận sau
a. A =


2 −1 3 −2 4
4 −2 5 1 7
2 −1 1 8 2


b. B =




1 3 5 −1
2 −1 −3 4
5 1 −1 7
7 7 9 1




c. C =







.
Bài 14 Tính các định thức sau bằng định nghĩa:
1.








2 −3 1 4
0 3 −1 5
0 0 −4 10
0 0 0 −7








. 2.













, 4.








a 3 0 5
0 b 0 2
1 2 c 3
0 0 0 d








.


0 0 2 0
0 1 5 −1
2 3 7 3
1 0 4 −2








,
3.








3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3










1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3








, 6.








0 1 1 1
1 0 a b
1 a 0 c







3 6 0
−1 2 2
6 6 4






,
3.








1 1 1 1
2 3 4 5
4 9 16 25
8 27 64 125












1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
1 2 3 3 3
1 2 3 4 4
1 2 3 4 5










, 6.





1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
c
3






. Tính các định thức sau:
a.








a
1
b
2
c
1
a
2
b
2
c
2
a
3
b
3
c
3






.
2. Chứng minh rằng:








= 2






a b c
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2






1 2 4 8
1 3 9 27
1 4 16 64








= 0.
3.








x
2
+ 1 2 2 2
2 x
2
+ 1 2 2
2 2 x
2
+ 1 2




= 0.
Bài 19 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:
A =

3 2
4 3

B =


1 1 −1
2 −1 2
3 0 1


C =


1 −1 3
5 1 2
1 4 −1


Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 4
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
D =





1 3 −1
0 −2 1
0 0 4






2.






1 0 0
0 −2 0
0 0 4






Bài 21 Giải các phương trình ma trận sau:
a. X




2 1 0 0
1 2 1 0
0 1 2 1
0 0 1 2




Bài 22 Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n
1. Cho det(A) = 2, hãy tính det(A
3
) và det(A
5
).
2. Cho biết A khả nghịch và det(A) = 5, tính det(A
−1
).
3. Cho det(A) = 4 và B
3
= A, tính det(B).
4. Cho det(A) = 6, tính det(A
2
A
t
A).
Bài 23 Hệ phương trình nào sau đây có nghiệm:
a.

= 1
x
1
− x
2
+ 2x
3
− x
4
= 2
5x
1
− 5x
2
+ 8x
3
− 7x
4
= 3
c.

2x
1
+ 2x
2
− 3x
3
− 4x
4
= 1

+ x
3
− x
4
= 2
x
1
+ 3x
2
− x
3
+ 2x
4
= 1
4x
1
− 4x
2
− 3x
3
− 3x
4
= −7
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 5
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
e.





4
− 8x
5
= 2
4x
3
+ x
4
− x
5
= 3
Bài 24 Tìm điều kiện của các tham số a, b, c để hệ sau có nghiệm
a.





ax
1
+ x
2
+ x
3
= 1
x
1
+ ax
2
+ x

2
x
3
= b
3
x
1
+ cx
2
+ c
2
x
3
= c
3
Bài 25 Giải các hệ phương trình sau:
a.

3x
1
+ 2x
2
+ x
3
− x
4
− x
5
= 7
2x

+ 9x
2
− 4x
3
= 2
c.







3x
1
+ x
2
− 2x
3
+ x
4
− x
5
= 1
2x
1
− x
2
+ 7x
3






x
1
+ x
2
− x
3
+ x
4
= 0
2x
1
+ 2x
2
+ 5x
3
− 3x
4
= 0
7x
3
− 5x
4
= −1
3x
1

= 4
x
2
+ x
3
+ x
4
= −3
x
3
+ x
4
+ x
5
= 2
x
4
+ x
5
= −1
Bài 26 Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số a:
a.



3x
1
+ 2x
2
+ x

2
+ x
3
= 2
x
1
+ x
2
+ ax
3
= −3
c.







x − 2y + 3z + t = 2
2x − 2y + 7z + t = 3
x − 2y + (a + 3)z + 2t = 4
(a −3)x − (2a −6)y − 9z + (a
2
− 6)t = 3a −13
d.






3x + 2y + z = 5
2x + 3y + z = 1
2x + y + 3z = 11
Bài 31 Tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm không tầm thường:
a.



ax − 3y + z = 0
2x + y + z = 0
3x + 2y − 2z = 0
b.

(1 −a)x + 2y = 0
2x + (4 −a)y = 0
Bài 32 Hãy biểu diễn vectơ ε thành tổ hợp tuyến tính của α, β, γ.
a. ε = (1, 2, 0), α = (1, 2, −3), β = (2, 5, −1), γ = (0, 1, 2).
b. ε = (0, 0, 0), α = (2, 3, 3), β = (4, 9, 1), γ = (1, 3, −1).
Bài 33 Tìm số thực r để hệ các véctơ sau phụ thuộc tuyến tính trong R
3
:
α = (r,
−1
2
,
−1
2
), β = (
−1

2
= (−3, 2, 1), β
3
= (−2, 5, −3).
Bài 36 Với giá trị nào của x thì hệ vectơ α
1
= (x, 1, 0), α
2
= (1, x, 1), α
3
= (0, 1, x) lập thành cơ
sở của không gian vectơ R
3
.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 7
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
Bài 37 Cho hai hệ vectơ:
(1) α
1
= (0, 1, 0, 2), α
2
= (1, 1, 0, 1), α
3
= (1, 2, 0, 1), α
4
= (−1, 0, 2, 1),
(2) β
1
= (1, 0, 2, −1), β
2

= (−2, 8, 16, 24), α
4
= (1, 1, 2, 3).
c. α
1
= (0, 0, 0, 0), α
2
= (1, 0, −1, 3), α
3
= (
√
3
3
, 0, −
√
3
3
,
√
3).
d. α
1
= (0, −3, 12, 3), α
2
= (3
√
2, −
√
2
2

a. Chứng minh (1) và (2) là hai cơ sở của R
4
.
b. Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (1) sang cơ sở (2).
c. Tìm tọa độ của α = (2, 0, 4, 0) đối với cơ sở (2).
d. Tìm tọa độ của α đối với cơ sở (1).
Bài 40 Trong các ánh xạ sau đây ánh xạ nào là ánh xạ tuyến tính:
a. f : R
3
→ R
2
, f(x
1
, x
2
, x
3
) = (x
1
, −x
3
)
b. f : R
2
→ R
3
, f(x
1
, x
2

→ R
2
, f(x
1
, x
2
) = (x
1
x
2
, x
1
+ x
2
)
e. f : R → R
3
, f(x) = (x
2
, x, 0)
f. f : R
3
→ R
2
, f(x, y, z) = (2xy, 6x + y −z)
Bài 41 Tìm ma trận đối với các cơ sở chính tắc của các ánh xạ tuyến tính sau:
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 8
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
a. f : R
2

1
, x
2
− x
3
).
a. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính
b. Chứng minh rằng hệ véc tơ sau là cơ sở của R
3
: ε
1
= (1, 1, 1), ε
2
= (0, 1, 2), ε
3
= (0, 0, 1).
c. Chứng minh rằng α
1
= (1, 2), α
2
= (1, 1) là một cơ sở của R
2
.
d. Tìm ma trận của ánh xạ f đối với hai cơ sở (ε) của R
3
và (α) của R
2
.
Bài 43 Tìm các giá trị riêng của các ma trận sau đây:
a. A =


2 1 0
3 2 0
0 0 4


f. F =


4 2 2
2 4 2
2 2 4


Bài 44 Cho các dạng toàn phương sau:
a. q = 3x
2
− 4xy + 7y
2
b. q = x
2
+ 7xy − 3y
2
c. q = 8xy − x
2
− 31y
2
d. q = 3x
2
1

Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
PHẦN GIẢI TÍCH
Bài 45 Tìm giá cân bằng
¯
P và lượng cân bằng
¯
Q của các mô hình thị trường sau:
a.
Q
d
= 24 −2P
Q
s
= −5 + 7P
b.
Q
d
= 30 −2P
Q
s
= −6 + 5P
c.
Q
d
= 51 −3P
Q
s
= 6P − 10
Bài 46 Tìm giá cân bằng
¯

Q
d
1
= 18 − 3P
1
+ P
2
Q
s
1
= −2 + 4P
1
Q
d
2
= 12 + P
1
− 2P
2
Q
s
2
= −2 + 3P
2
Tìm các giá cân bằng
¯
P
i
và lượng cân bằng
¯

Y của mô hình và đưa những điều kiện ràng buộc cho các tham
số để tồn tại nghiệm.
Bài 50 Cho mô hình thị trường máy lạnh trong đó Q
d
là lượng cầu, Q
s
là lượng cung, P là giá, M
0
nhiệt độ trung bình trong ba tháng hè, T
0
thuế đánh vào linh kiện nhập khẩu.



Q
d
= 4 − P
2
+ M
0
Q
s
= −1 + P −
√
T
0
Q
d
= Q
s

d. f (u) =
3
4
u
4/3
e. f (u) = 6u
1/3
f. f(u) = 7u
−5/7
a. Tính đạo hàm của các hàm số trên.
b. Tính các giá trị f
′
(1) và f
′
(2) của các hàm số trên.
Bài 53 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. (9x
2
− 2)(3x + 1) b. (3x + 11)(6x
2
− 5x) c. x
2
(4x + 6)
d. (ax −b)(cx + d) e. x
3
(2 −3x)(1 + x) f. (x
2
− 7)(3x
3
− 5)

3
− 5)
9
c. y =
4

x
3
x
2
+ 3
c. y = ln(3x
4
− x
3
) d. y = e
x
2
+1
x
e. y = e
x
3
. log
2

x
2
x + 1


+ 2x + 1 xác định trên miền x > 0. Chỉ ra rằng f(x) có hàm ngược và tính
đạo hàm của hàm ngược đó.
b. Cho f(x) = x
2
− 2x + 1. Chứng tỏ rằng f(x) không có hàm ngược trên miền x > 0 nhưng có
hàm ngược trên một miền khác. Tìm hàm ngược của f(x) trong miền vừa tìm được và tính đạo
hàm trên miền tương ứng của các hàm ngược vừa tìm được.
Bài 62 Cho các hàm số sau:
a. f (x) = −x
6
+ 6 (x > 0) b. f (x) = 2x
5
+ 2x
3
+ x
a. Chứng minh rằng các hàm số trên tồn tại hàm ngược f
−1
trên mỗi miền cho tương ứng.
b. Tính giá trị của từng hàm ngược f
−1
(5) và đạo hàm từng hàm ngược (f
−1
)
′
(5).
Bài 63 Chứng minh rằng hàm chi phí C = Q
3
+ 2Q + 5 có hàm ngược với mọi Q > 0, gọi hàm
ngược đó z = z(C), tính z(8) và z
′

Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
a. Tìm hàm cầu ngược P = P (Q).
b. Tính hệ số co giãn ε
QP
và ε
P Q
. Hai hệ số co giãn này liên hệ với nhau như thế nào?
Bài 68 Cho hàm cầu của một loại hàng hóa có dạng Q = 56 − P − P
2
. Tính hệ số co dãn của hàm
cầu trên tại mức P = 5 và nêu ý nghĩa của nó. Với giá trị nào của P thì hàm cầu ít co dãn.
Bài 69 Tìm đạo hàm cấp hai và cấp ba của các hàm sau đây:
a. y = ax
2
+ bx + c b. y = 6x
4
− 3x −4
c. y =
2x
1 −x
(x ̸= 1) d. y =
1 + x
1 −x
(x ̸= 1)
Bài 70 Cho các hàm số sau:
a. y = −2x
2
+ 4x
b. y = x
3

tiểu của các hàm số đó
b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm trên miền xác định của nó.
Bài 71 Cho T = Φ(x) là hàm tổng (chẳng hạn là hàm tổng sản phẩm hay tổng chi phí)
a. Viết biểu thức của hàm cận biên M và hàm trung bình A.
b. Chứng minh rằng khi A đạt cực trị thì M và A nhận cùng giá trị.
c. Tính chất tổng quát nào của kết trên gợi ý cho ta khi vẽ đường cận biên và đường trung bình trên
cùng một hệ trục tọa độ.
d. Có thể kết luận gì về hệ số co giãn của hàm tổng T tại điểm mà A đạt cực trị.
Bài 72 Cho hàm số y = a −
b
c + x
(a > 0, b > 0, c > 0; x  0). Hãy xác định hình dáng tổng quát
của đồ thị hàm số bằng cách xét
a. Đạo hàm cấp một và cấp hai của hàm số.
b. Điểm cắt với trục tung, giới hạn của y khi x dần tới vô cùng.
c. Nếu hàm số trên là hàm tiêu dùng thì các hệ số phải thỏa mãn điều kiện gì để có tính hợp lý trong
kinh tế.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 13
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
Bài 73 Ông Dương muốn làm một bồn hoa hình chữ nhật có một cạnh dọc theo bờ tường của căn nhà
còn ba cạnh còn lại được căng bằng lưới sắt với tổng chiều dài bằng 4m. Hỏi ông Dương phải xác
định chiều dài L và chiều rộng W bằng bao nhiêu để bồn hoa có diện tích lớn nhất?
Bài 74 Nếu biểu thức C = C(Q) = aQ
3
+ bQ
2
+ cQ + d có hệ số b = 0 hoặc b > 0 thì đường chi
phí cận biên có hình dạng như thế nào?
Bài 75 Hãy chứng minh các khẳng định sau về hình dạng của các đường chi phí:
a. Trừ AF C và C, tất cả các đường chí còn lại đều có dạng chữ U (do bị chi phối bởi quy luật hiệu

sau:
a. Nếu không có hàng hóa nào được sản xuất thì lợi nhuận sẽ âm (bởi vì có chi phí cố định).
b. Hàm lợi nhuận là lõm.
c. Lợi nhuận tối đa đạt được tại mức sản lượng Q dương.
Hãy xét xem những hệ số của hàm lợi nhuận phải thỏa mãn điều kiện gì?
Bài 78 Giả sử rằng doanh nghiệp có hàm chi phí có dạng C(Q) = 5Q
4
+ 120. Tìm hàm chi phí cận
biên MC và hàm chi phí trung bình. Tìm mức sản lượng Q để chi phí trung bình là nhỏ nhất. Nếu
P = 160 thì mức sản lượng làm tối đa hóa lợi nhuận Q bằng bao nhiêu?
Bài 79 Một doanh nghiệp trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo chỉ có một biến đầu vào là lao động
L với mức lương trả cho mỗi lao động trên mỗi kỳ là W
0
. Tổng chi phí đầu vào cố định của doanh
nghiệp là F đô la trên mỗi kỳ. Giá của một sản phẩm là P
0
.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 14
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
a. Viết hàm sản xuất, hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận của doanh nghiệp.
b. Đưa điều kiện trong việc tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp.
Bài 80 Một doanh nghiệp trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo chỉ có một biến đầu vào là lao động
L với mức lương trả cho mỗi lao động trên mỗi kỳ là W
0
. Tổng chi phí đầu vào cố định của doanh
nghiệp là F đô la trên mỗi kỳ. Giá của một sản phẩm là P
0
và hàm sản xuất có dạng Q = f(L) = L
2/3
.

b. Tìm giá trị cực đại S
max
của S bằng cách sử dụng dấu hiệu đạo hàm cấp hai.
c. Từ giá trị của S
max
hãy suy ra rằng đường AR có độ dốc âm.
Bài 83 Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. log
10
1000 b. log
10
0.0001 d. log
5
3125 f. (e
ln 5
)!
e. ln
1
e
3
g. ln e
−4
h. ln e
x
− e
ln x
i. (log
4
e)(log
e

+1
d. y = t
2
e
2−t
2
e. y = 2
ax
2
+bx+c
f. y = 3
2
x
g. y = x2
√
x
h. y = x
2
2
x
Bài 87 Tìm đạo hàm của các hàm số sau
a. y = ln(8t
5
) b. y = ln(5(t + 1)
2
) c. y = ln[t(1 − t)
8
] d. y = ln
3t
1 + t

Q = f(L) = L
1
4
e
ln(L
10
)/80−ln(L
−
2
16
)−
1
2
ln(
1
4
)
,
ở đây Q là sản phẩm đầu ra và L là số lao động. Tính hàm sản phẩm cận biên theo lao động và chỉ ra
rằng hàm sản phẩm cận biên theo lao động giảm dần.
Bài 90 Viết các giá trị sau dưới dạng biểu thức mũ.
a. 10$, được tính kép liên tục với lãi suất 5% trong 3 năm.
b. 690$, được tính kép liên tục với lãi suất 4% trong 2 năm.
Bài 91 Tìm tỉ lệ lãi suất kép liên tục trên năm (r) tương đương với tỉ lệ lãi suất kép rời rạc (i) của:
a. 5 phần trăm trên năm, được tính kép hàng năm.
b. 5 phần trăm trên năm, được tính kép nửa năm.
c. 6 phần trăm trên năm, được tính kép nửa năm.
c. 6 phần trăm trên năm, được tính kép một phần tư năm.
Bài 92 Xác định tốc độ tăng của y trong các trường hợp sau:
a. y = Ae

v
b. r
u/v
= r
u
− r
v
d. r
u−v
=
u
u −v
r
u
−
v
u −v
r
v
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 16
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
Bài 94 Cho dân số thế giới tăng theo hàm H = H
0
2
αt
và tiêu dùng tăng theo hàm C = C
0
e
βt
.

3
1
− 11x
2
1
x
2
b. y = (2x
2
1
+ 3)(x
3
2
− 2x
1
) c. y = ln(x
4
1
+ x
2
1
x
3
2
)
d. y =
4x
1
+ 3
x

− 3y)(x −2)
c. f (x, y) =
2x −3y
x + y
d. f (x, y) =
x
2
− 1
xy
a. Tính các đạo hàm riêng f
′
x
và f
′
y
.
b. Tính các giá trị f
′
x
(1, 2) của các hàm số trên.
Bài 99 Cho hàm cầu của một hàng hóa có dạng
Q
d
= P
−3
P
2
1
P
−5

0,7
,
a. Tìm hàm sản phẩm cận biên theo vốn MP
K
=
∂Q
∂K
và hàm sản phẩm cận biên theo lao động
MP
L
=
∂Q
∂L
.
b. Hàm MP
K
, M P
L
chỉ phụ thuộc vào K hay phụ thuộc vào cả K và L. Tính M P
K
và MP
L
tại
mức K = 12, L = 20 và nêu ý nghĩa của nó.
c. Tính các hệ số co giãn riêng ε
QK
và ε
QL
.
d. Chứng minh rằng hàm sản xuất đã cho thỏa mãn tính chất sản phẩm cận biên theo lao động giảm

b. Tìm giá trị của hàm ích lợi cận biên và giá trị của hệ số co giãn nếu x
1
= 100, x
2
= 111 và nêu ý
nghĩa của những giá trị vừa tìm được.
Bài 102 Hàm cung của một hàng hóa được xác định bởi: Q = a + bP
2
+ R
1/2
, (a < 0, b > 0, R
là lượng mưa).
a. Hãy tìm các hệ số co giãn riêng ε
QP
và ε
QR
.
b. Hai hệ số co giãn ε
QP
và ε
QR
thay đổi thế nào khi P, R thay đổi và đó có phải là các hàm đơn điệu
không khi giả sử P, R là các số dương.
Bài 103 Việc xuất khẩu trong nước Y ra nước ngoài phụ thuộc vào hai yếu tố: thu nhập ở nước ngoài
X và mức giá trong nước P được cho bởi hàm Y = X
1/2
+ P
−2
. Hãy tìm hệ số co giãn ε
Y X

ánh sáng mặt trời S bởi mô hình:

Q
1
− Q
2
− 2R
2
+ S
2
= 0
2Q
1
+ Q
2
+ R
3
+ S
3
− 13R
2
− 13S
2
= 0
Ở đây, Q
1
, Q
2
là các biến nội sinh, R, S là các biến ngoại sinh. Hãy tính các đạo hàm so sánh tĩnh
trong mô hình trên và xét dấu các đạo hàm đó.

1
+ x
2
d. y =
2x
1
x
2
x
1
+ 2x
2
Bài 109 Cho y = 3x
1
(2x
2
− 1)(x
3
+ 5).
a. Tìm dy bằng cách sử dụng tính chất d(uvw) = vwdu + uwdv + uv dw.
b. Tìm vi phân của y nếu dx
2
= dx
3
= 0.
c. Từ kết quả trên hãy suy ra biểu thức của đạo hàm riêng
∂y
∂x
1
.

, với x = 3t và y = 1 −t
2
.
b. z = 3u
4
+ vt
2
, với u = 2t
2
và v =
√
t + 1.
c. z = f(x, y, t), với x = 1 + 4t
3
và y = 3 − 2t.
Bài 112 Giả sử rằng từ phương trình F (U, x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = 0 xác định cho ta hàm lợi ích U =
f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
).
a. Tính các biểu thức

dy
dx
bằng quy tắc đạo hàm hàm ẩn và tính giá trị của nó tại điểm đã cho.
Bài 114 Có tồn tại hay không hàm ẩn z = f(x, y) của phương trình
x
2
+ 3xy + 2yz + y
2
+ z
2
− 11 = 0
xác định tại lân cận điểm (z = 0, x = 1, y = 2). Nếu có, hãy tìm
∂z
∂x
,
∂z
∂y
và tính các giá trị của chúng
tại điểm đã cho.
Bài 115 Tính y
′
(x) và y
′′
(x) tại điểm x = 0, y = 1 biết rằng x
2
− xy + 2y
2
+ x − y −1 = 0.
Bài 116 Cho phương trình F (x, y, z) = 0 trong đó mỗi một trong ba biến x, y, z là hàm của hai biến
còn lại. Hãy tính giá trị của biểu thức

Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 20
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
Bài 118 Từ mô hình thu nhập quốc dân:



Y −C − I
0
− G
0
= 0
C − α − β(Y − T ) = 0
T − γ − δY = 0
Hãy tìm nhân tử thuế không đánh vào thu nhập và nhân tử tỉ lệ thuế thu nhập bằng quy tắc đạo hàm
hàm ẩn. Hãy so sánh với kết quả đã tìm được ở chương trước.
Bài 119 Cho hàm cung và hàm cầu của một hàng hóa có dạng:
Q
d
= D(P, Y
0
) (D
′
P
< 0; D
′
Y
0
> 0);
Q
s

c. Tìm
∂
¯
Q
∂Y
0
từ hàm cung và
∂
¯
Q
∂T
0
từ hàm cầu. Hãy giải thích tại sao ta không tìm
∂
¯
Q
∂Y
0
từ hàm cầu và
∂
¯
Q
∂T
0
từ hàm cung?
Bài 120 Hãy giải bài 119 bằng cách áp dụng định lí hàm ẩn cho hệ phương trình.
Bài 121 Cho hàm cung và hàm cầu của một hàng hóa có dạng
Q
d
= D(P, t

Tính giá và sản lượng cân bằng tại mức X = 4. Mức giá lượng cân bằng đó sẽ thay đổi như thế nào
khi X tăng.
Bài 123 Cho hàm cung và hàm cầu của một hàng hóa có dạng:
Q
d
= −P
3
+ 2Y
0
Q
s
= P − 5
trong đó Q
d
, Q
s
tương ứng là lượng cầu và lượng cung, P là giá của hàng hóa, Y
0
là thu nhập.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 21
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
a. Viết điều kiện cân bằng và chứng minh các điều kiện của định lí hàm ẩn được thỏa mãn.
b. Tính đạo hàm
d
¯
P
dY
0
, xét dấu và nêu ý nghĩa kinh tế.
Bài 124 Tìm giá trị cực trị của các hàm số sau và xét xem đó là giá trị cực đại hay cực tiểu.

2
+ 4x
2
x
3
+ 6x
2
3
2. z = 29 − (x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
)
3. z = x
1
x
3
+ x
2
1
− x
2
+ x
2
x

c. Giá trị cực tiểu (cực đại) nào có thể khẳng định là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của hàm số.
Bài 126 Nếu hàm chi phí của một doanh nghiệp sản xuất hai loại hàng hóa trong thị trường cạnh tranh
hoàn hảo có dạng C = 2Q
2
1
+ 2Q
2
2
. Hãy xét xem:
a. Việc sản xuất hai loại hàng hóa trên có liên quan đến nhau không?
b. Mức sản lượng tối ưu Q
1
và Q
2
bằng bao nhiêu?
c. Tính giá trị của Π
12
và nêu ý nghĩa kinh tế.
Bài 127 Một doanh nghiệp sản xuất hai loại hàng hóa có hàm cầu và hàm chi phí cho bởi:
Q
1
= 40 − 2P
1
− P
2
Q
2
= 40 − P
1
− P

,
và hàm tổng chi phí là C = 20 + 15Q, Q = Q
1
+ Q
2
+ Q
3
.
a. Tìm các mức giá riêng và lượng riêng trong mỗi thị trường để lợi nhuận doanh nghiệp là tối đa.
b. Hãy tính các hệ số co giãn riêng của cầu |ε
d
i
| (i = 1, 2, 3) tại mức giá và lượng tối ưu tìm được ở
câu a Thị trường nào có cầu co giãn lớn nhất, nhỏ nhất?
Bài 129 Nếu hàm chi phí bài tập 128 đổi thành C = 20 + 15Q + Q
2
. Tìm các mức giá riêng và lượng
riêng trong mỗi thị trường để lợi nhuận doanh nghiệp là tối đa.
Bài 130 Một công ty cạnh tranh hoàn hảo có hàm sản xuất Q = 5K
0,7
L
0,2
, trong đó Q là sản lượng,
K là vốn, L là lao động. Biết rằng giá bán sản phẩm là 80, giá thuê mỗi đơn vị vốn là 12, tiền lương
của mỗi lao động là 20.
a. Tìm hàm sản lượng cận biên theo lao động và tư bản. Chứng minh rằng các hàm này dương và
hàm sản lượng cận biên theo lao động và tư bản tương ứng là hàm giảm theo lao động và tư bản.
b. Nếu công ty cùng tăng quy mô sử dụng vốn và lao động lên 30% thì có hiệu quả hay không?
c. Tìm mức sử dụng vốn và lao động để lợi nhuận là lớn nhất và tính lợi nhuận đó.
Bài 131 Xét các hàm số sau với điều kiện ràng buộc tương ứng:

a. f(x, y, w) = x + 2y + 3w + xy −yw, ràng buộc bởi x + y + 2w = 0.
b. f(x, y, w) = x
3
+ y
3
+ z
3
, ràng buộc bởi x + y + w = 3.
c. f(x, y, w) = x
2
+ 2xy + yw
2
, ràng buộc bởi 2x + y + w
2
= 24 và x + w = 8.
i. Tìm các giá trị dừng của mỗi hàm số.
ii. Tìm các giá trị cực trị của mỗi hàm số.
iii. Tìm các giá trị giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số.
Bài 135 Ích lợi mà một cá nhân thu được về khi mua hàng hóa thứ nhất và thứ hai với số lượng lần
lượt là x, y cho bởi:
U =

(x + 2)(y + 1)
Cho biết giá mua của từng hàng hóa là P
x
= 4, P
y
= 6 và lượng tiền mà người này dùng để mua hai
hàng hóa là B = 130.
a. Hãy viết hàm Lagrange.

0,6
, trong đó K là vốn, L là lao động và
thỏa mãn điều kiện ràng buộc 2K + 5L = 60.
a. Viết hàm Lagrange.
b. Tìm K và L để tối đa hóa sản lượng và tìm mức sản lượng tối đa đó.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 24
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
Bài 138 Một doanh nghiệp sản xuất hai hàng hóa trong thị trường độc quyền. Giả sử nhu cầu thị
trường Q
1
, Q
2
về mỗi loại hàng này phụ thuộc theo giá tương ứng P
1
, P
2
của từng hàng hóa cho bởi:
Q
1
= 1200 − 2P
1
+ P
2
Q
2
= 1440 + P
1
− P
2
.

− 3xy − 5y
2
+ 540y + 1000.
Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng, trên truyền hình là 4 triệu đồng.
Ngân sách chi cho quảng cáo là 180 triệu đồng.
a. Hãy xác định thời gian quảng cáo x, y để doanh thu đạt cực đại.
b. Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng thêm một triệu đồng thì doanh thu cực đại sẽ bằng bao
nhiêu?
Bài 141 Một chiếc hồ bị ô nhiễm bởi hai nguồn chất thải. Sử dụng một biện pháp người ta có thể
đánh giá độ ô nhiễm của nước hồ do từng nguồn chất thải gây ra. Chính quyền đã ngăn chặn dòng
chất thải và sẽ tiếp tục làm sạch hồ bằng ngân sách của địa phương. Người ta tính được rằng với chi
phí C
1
, C
2
thì độ ô nhiễm của hồ do hai nguồn chất thải gây ra sau khi làm sạch là Z
1
, Z
2
xác định
như sau
Z
1
= 478 − 2C
0.5
1
, Z
2
= 600 − 3C
0.5


4x
x
2
+ 1
dx
7.

(3e
x
+
4
x
)dx
8.

4xe
x
2
+3
dx
9.

(x
5
− 3x)dx
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 25