NHĐ
HTTH
α
c
b
F
2
B
2
B
1
O

Chương

4 VẤN ĐỀ 1: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA ELIP

1. Đưa phương trình của (E) về dạng chính tắc:
x y
a b
2 2
2 2

x y
2 2
1
9 4
 
b)
x y
2 2
1
16 9
 
c)
x y
2 2
1
25 9
 
d)
x y
2 2
1
4 1
 

e)
x y
2 2
16 25 400
 
f)


HD:
a)
Tìm
tan

theo b và c, từ đó tính được
cos
e



b)
Pitago trong tam giác vuông OA
2
B
2
, tìm b
2
theo k, c. Kết quả :
2
2
4 1
e
k



b a c
2 2 2
 
+
c
e
a


+ Các tiêu điểm
F c F c
1 2
( ;0), ( ;0)


+ Các đỉnh:
A a A a B b B b
1 2 1 2
( ;0), ( ;0), (0; ), (0; )
 Baøi 3.
Lập phương trình chính tắc của (E), biết:
a) Độ dài trục lớn bằng 6, trục nhỏ bằng 4.
b) Độ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 6.
c) Độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng tiêu cự.
d) Tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm



 
.
g) Đi qua hai điểm
M N
3
(1;0), ;1
2
 
 
 
.
h) Đi qua hai điểm




M N
4; 3 , 2 2;3

.
Baøi 4.
Lập phương trình chính tắc của (E), biết:
a) Độ dài trục lớn bằng 10, tâm sai bằng
3
5
.
b) Một tiêu điểm là
F
1
( 8;0)

b) Tâm O, một đỉnh trên trục nhỏ là A(0,3) và mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới 1 góc vuông.
HD: a)
Gọi (E):
x y
a b
2 2
2 2
1
 

M thuộc (E) nên :
2 2
64 144
1 (1)
a b
 
. Gọi H là hình chiếu M xuống Ox. Ta luôn có MF
1
= 20 và tam
giác MHF
1
vuông ở H. Tính được HF
1
= 16 nên H nằm trong đoạn F
1
O.
Tính được c = HF
1
+8 (2)
Giải (1) và (2) tính được a

2
cắt (E) tại
hai điểm M, N.
i) Tìm toạ độ các điểm M, N. ii) Tính
MF MF MN
1 2
, ,
.
a)
x y
2 2
9 25 225
 
b)
x y
2 2
9 16 144
 
c)
x y
2 2
7 16 112
 

Baøi 7.
Cho elip (E). Tìm những điểm M  (E) sao cho:
i)
MF MF
1 2


9 25 225
 
b)
x y
2 2
9 16 144
 
c)
x y
2 2
7 16 112
 

HD :
tương giao của (E) với đường tròn tâm là trung điểm F
1
F
2
, bán kính là một nửa F
1
F
2

Baøi 9.
Cho elip (E). Tìm những điểm M  (E) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc
0
60
, với:
a)
x y

8 4
y x
 
, phương trình có nghiệm
2
8 4 0
x
  
. Do x là số nguyên nên x = 1.
b) Gọi M(x,y) là điểm thuộc (E). Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta có :
   
2
2 2
2
2 8 2 8 10
2 8
2 8
x x x y
x y
 
 
      
 
 
 
 
( do M thuộc (E))
10 10
x y    


E
a b
 
. Tìm các điểm trên (E) sao cho MF
1
nhỏ nhất
HD:
MF
1
= ex
M
+a và
M
a x a
  

NHĐ
HTTH
4

VẤN ĐỀ 4 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ĐƯỜNG THẲNG VÀ (E)

Baøi 12.
Xét vị trí tương đối đường thẳng d và (E) biết :
a) d: x – y – 3 = 0 và
 
2 2
: 1
4 1
x y

: 1
9 3
x y
E
 
. Xác định tọa độ B, C sao cho tam giác đều ABC nội tiếp (E) biết
A(3,0).
Baøi 15.
Cho
 
2 2
: 1
25 4
x y
E
 
và đường thẳng d: 2x +15y -10 =0. Chứng minh rằng (E) luôn cắt d tại
2 điểm phân biệt A, B. Tìm tọa C thuộc (E) sao cho tam giác ABC cân.

VẤN ĐỀ 6 : QUĨ TÍCH

Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong các dạng:
Dạng 1:
MF MF a
1 2
2
 
 Tập hợp là elip (E) có hai tiêu điểm F
1
, F

,R
2
), C
1
nằm trong C
2
và F
1
khác F
2
. Gọi M là tâm
đường tròn C thay đổi nhưng luôn tiếp xúc ngoài C
1
và tiếp xúc trong C
2
. Chứng tỏ M di động
trên (E).
Baøi 18.
trong mặt phẳng toạ độ cho điểm M(x,y) thỏa mãn x = 5cost, y = 4sint, trong đó t là tham
số. Chứng minh rằng M di động trên (E).
Baøi 19.
Cho đường tròn (C):
x y x
2 2
6 55 0
   
và điểm
F
1
( 3;0)

a)
F x e
1
(3;0), : 12 0,
2

  
b)
F x e
1
(2;0), : 8 0,
2

  

c)
F x e
4
( 4;0), : 4 25 0,
5

   
d)
F x e
3
(3;0), :3 25 0,
5

  


ab
OH
a b
2 2

