NHĐ
1Chương

4 1. VECTƠ PHÁP TUYẾN :
– Vectơ
n
0



là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu giá của nó vuông góc với d.
–
Nhận xét : –
Nếu
n

là một VTPT của d thì
kn





–


 
0 0
.1 : ;
.1 : ;
ñie åmthuoäcd M x y d
d xaùc ñònh
VTPT n a b








.
Nếu  đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTPT
n a b
( ; )


Vậy d: x + 3y -5 = 0.
Cách 2 :
( thay lần lượt
n

, M vào phương trình )
Phương trình tổng quát của d : 1.x + 3.y + c = 0 ( thay
n

)
PHƯƠNG TR
ÌNH
T
ỔNG QUÁT
ĐƯ
ỜNG THẲNG

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG
NHĐ
2
Do


2,1
M d
 
1.2 + 3.1 + c =0 (thay M tìm c)

5


Phương trình đường thẳng theo hệ số góc :
 đi qua điểm
M x y
0 0 0
( ; )
và có hệ số góc k:
 :
y y k x x
0 0
( )
  5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI HAI ĐƯỜNG THẲNG :

Cho hai đường thẳng 
1
:
a x b y c
1 1 1
0
  
và 

a b
a b
1 1
2 2

(
nếu
a b c
2 2 2
, , 0

)

 
1
// 
2
 hệ (1) vô nghiệm 
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
 
(
nếu
a b c
2 2 2
, , 0

)

 


đi qua gốc toạ độ O
a = 0
0
by c
 


// Ox hoặc



Ox
b = 0
0
ax c
 


// Oy hoặc



Oy

NHĐ
3


x y x y
2 3 1 0, 4 5 6 0
     
b)
x y x y
4 2 0, 8 2 1 0
      

c)
x x y
2, 2 4 0
   

Baøi 6.
Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các đường
cao của tam giác, với
AB x y BC x y CA x y
: 2 2 0, : 4 5 8 0, : 4 8 0
        
.
Baøi 7.
Cho tam giác ABC biết M(-1,1), N(1,9), P(9,1) lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. Viết
phương trình tổng quát đường trung trực của AB.
Baøi 8.
Cho phương trình đường thẳng
: 2 1 0
d x y
  
và điểm A(2,1). Tìm tọa độ điểm M trên d
sao cho AM = 2.

0 0
.1 : ;
.1 : ;
ñie åmthuoäcd M x y d
d xaùc ñònh
VTCP u a b







– Cho đường thẳng d đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTCP
( ; )
u a b


. Phương trình tham số của d:
2 2
0
0
: , 0

3
x t
d t R
y t

 


  


Ta có


1;1
u  

là vectơ chỉ phương của d và M(2; –3) thuộc d. Với mỗi giá trị cụ thể
của t ta có 1 điểm thuộc đường thẳng : M(2; -3) thuộc d ( t = 0); N(3; -4) thuộc d ( t = 1).

III. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG :
Cho đường thẳng  đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có vectơ chỉ phương
( ; )
u a b



;
u a b

thì ta có thể chọn


 
 
;
, " "
;
n b a
ñoåi v òtrí theâm vaø odaáu
n b a










– Nếu


;
n a b


k
n b a u a b k


 

 Baøi 9.
Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng d biết :
a) d đi qua M(–2; 3) và có vectơ chỉ phương
u
(5; 1)
 


b) d đi qua M(–1; 2) và N(3; –1)
c) d đi qua M(1; 2) và có vectơ pháp tuyến
n
(5; 1)
 


d) d đi qua M(–3; 1) và có hệ số góc
k
= –2
Baøi 10.
Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng d biết :
a) d qua M(2; 3) và song song với


  

b) M(2; –3),

:
x t
y t
1 2
3 4

 

 


c) M(–1; 2),


Ox

Baøi 12.
Cho tam giác ABC có A(2,1); B(3,0); C(1,-4). Viết phương trình tham số trung tuyến AM của
tam giác ABC.
Baøi 13.
Xét vị trí tương đối các đường thẳng sau và tìm tọa độ giao điểm ( nếu có ) của chúng :
a)
x t x t
y t y t
5 4 2

2 3
x y
x t
y t
 

 


  


Baøi 14.
Cho đường thẳng
 
2 2
: ; 3,1
1 2
x t
d M
y t

  

 

. Tìm A trên d sao cho AM = 2.
Baøi 15.
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d biết:
2

u a b


của d.
Phương trình tham số :
d:
0
0
x x a t
y y bt

 

 


Phương trình chính tắc :
d:
0 0
x x y y
a b
 

(
a  0, b  0
).
Trong trường hợp a = 0 hoặc b = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc
2. Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng d ta cần xác định một điểm
M x y
0 0 0

a)
AB x y BC x y CA x y
: 2 3 1 0, : 3 7 0, :5 2 1 0
        

b)
AB x y BC x y CA x y
: 2 2 0, : 4 5 8 0, :4 8 0
        

Baøi 20.
Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các
cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với:
a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b)
M N P
3 5 5 7
; , ; , (2; 4)
2 2 2 2
   
  
   
   

Baøi 21.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục tọa độ 2 đoạn bằng
nhau, với:
a) M(–4; 10) b) M(2; 1)
NHĐ
6
Baøi 22.

 

.
Baøi 26.
Cho hình bình hành có tọa độ một đỉnh là (4,-1). Biết phương trình đường thẳng chứa hai
cạnh là x – 3y =0 và 2x +5y + 6 =0. Tìm tọa độ 3 đỉnh còn lại của hình bình hành đó.

VẤN ĐỀ 2 :
TỌA ĐỘ HÌNH CHIẾU, ĐỐI XỨNG, PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐỐI XỨNG

1.Để tìm tọa độ hình chiếu H của M xuống đường thẳng d ta làm như sau :
–Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuông góc d.
– Xác định H = d   2.

Để tìm điểm M đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như sau :
Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuông góc với d.
– Xác định H = d   (I là hình chiếu của M trên d).
– Xác định M sao cho H là trung điểm của MM.
+ Chọn 2 điểm tùy ý : A thuộc , B thuộc d. Xác định tọa độ C sao cho A là trung
điểm của BC.
+ Viết phương trình đường thẳng d qua C và song song với d.
– Nếu d   = I:
+ Lấy A  d (A  I). Xác định A đối xứng với A qua .
+ Viết phương trình đường thẳng d qua A và I.

4.

Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, ta có thể thực
hiện như sau :
– Lấy A  d. Xác định A đối xứng với A qua I.
– Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với d. Baøi 27.
Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng
d
và điểm M đối xứng với M qua đường
thẳng
d
với:
a) M(2; 1),
d x y
:2 3 0
  
b) M(3; – 1),
1

b)
2
: , : 2 2 0
5 2
x t
d x y
y t


  
  

 


c)
1 3 3
: , :
1 2
x t x t
d
y t y t

 
   
 
    
 
d)
d x y x y

– Cho đường thẳng :
ax by c
0
  
và điểm
M x y
0 0 0
( ; )
, ( có vectơ pháp tuyến là


,
n a b

).

0 0
0
2 2
( , )
ax by c
d M
a b

 



M M N N
ax by c ax by c
( )( ) 0
    
. 3.Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng :
Cho hai đường thẳng 
1
:
a x b y c
1 1 1
0
  
và 
2
:
a x b y c
2 2 2
0
  
cắt nhau. Phương trình các
đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 
1
và 
2
là:

1 1 1 2 2 2


c)
M d x y
(3;5), : 1 0
  

Baøi 31.
Cho đường thẳng :
x y
2 3 0
  
. Tính bán kính đường tròn tâm I(–5; 3) và tiếp xúc với 
Baøi 32.
Viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng:
:3 4 12 0 :12 5 20 0
d x y vaø x y

     

Baøi 33.
Cho đường thẳng d: x – y + 2 =0 và điểm O(0,0) A(2,0). Chứng tỏ rằng hai điểm A và O nằm
cùng một phía đối với đường thẳng d.
3
KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
NHĐ
9

Ii. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG :
– Cho hai đường thẳng 
1

1 2 1 1 2 2
1 2
2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
.
cos( , )
.
.
n n a b a b
n n
a b a b
 

 
 
 
 

Góc giữa hai đường thẳng :

0 0
1 2
0 ( , ) 90

điểm của chúng, tính góc giữa chúng:
a)
: 2 3 1 0, : 4 5 6 0
d x y x y

     

b)
5 4 2
; , :
3 2 7 3
x t x t
d
y t y t

 
   
 
     
 

c)
5
: , : 5 0
1
x t
d x y
y



5 4 2
,
3 2 7 3
 
   
 
     
 

c)
x t
x y
y
5
, 5 0
1

 
  

 


NHĐ
10
Baøi 36.
Cho hai đường thẳng
d
và . Tìm
m

2
và:
a)
d x y d x y d qua A
1 2
:3 2 10 0, : 4 3 7 0, (2;1)
     

b)
d x y d x y d song song d x y
1 2 3
:3 5 2 0, : 5 2 4 0, :2 4 0
        

Baøi 39.
Hai cạnh của hình bình hành ABCD có phương trình
3 0 2 5 6 0
x y vaø x y
    
, đỉnh
C(4; –1). Viết phương trình hai cạnh còn lại.

VẤN ĐỀ 4 : KHOẢNG CÁCH

Chú ý : Để lập phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài của góc A trong tam giác ABC ta
có thể thực hiện như sau:
Cách 1:

– Tìm toạ độ chân đường phân giác trong hoặc ngoài (dựa vào tính chất đường phân
giác của góc trong tam giác).

+ Nếu B, C nằm khác phía đối với d
1
thì d
1
là đường phân giác trong.

+ Nếu B, C nằm cùng phía đối với d
1
thì d
1
là đường phân giác ngoài. Baøi 41.
Cho đường thẳng
2 2
:
3
x t
d
y t

(4; 5), :
2 3




 


Baøi 42.

a) Cho đường thẳng :
x y
2 3 0
  
. Tính bán kính đường tròn tâm I(–5; 3) và tiếp xúc với .
b) Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 2 cạnh là:
x y x y
2 3 5 0, 3 2 7 0
     
và đỉnh
A(2; –3). Tính diện tích hình chữ nhật đó.
Baøi 43.
Cho tam giác ABC. Tính diện tích tam giác ABC, với:
a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3) b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4)
Baøi 44.
Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng
d
, với:
a) A(–1; 2), B(3; 5),

b)
x y x y
2 5 0, 3 6 0
     

Baøi 47.
Tính số đo của các góc trong tam giác ABC, với:
a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1)
b)
AB x y BC x y CA x y
: 2 3 21 0, :2 3 9 0, :3 2 6 0
        

Baøi 48.
Cho hai đường thẳng
d
và . Tìm
m
để góc giữa hai đường thẳng đó bằng , với:
a)
d mx m y m m x m y m
0
:2 ( 3) 4 1 0, :( 1) ( 2) 2 0, 45
 
           
.
b)
d m x m y m m x m y m
0
:( 3) ( 1) 3 0, :( 2) ( 1) 1 0, 90

 
  VẤN ĐỀ 6: CÁC BÀI TOÁN DỰNG TAM GIÁC

Baøi 50.
Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường cao. Viết phương trình hai
cạnh và đường cao còn lại, với:
a)
AB x y BB x y CC x y
: 4 12 0, :5 4 15 0, : 2 2 9 0
 
        

b)
BC x y BB x y CC x y
: 5 3 2 0, : 4 3 1 0, : 7 2 22 0
 
        

Baøi 51.
Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường cao. Viết phương trình
các cạnh của tam giác đó, với:
a)
A BB x y CC x y
(3;0), : 2 2 9 0, :3 12 1 0
 
     


HD: a)
AC x y BC x y
:16 13 68 0, :17 11 106 0
     

Baøi 54.
Cho tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh và toạ độ trung điểm của cạnh thứ ba. Viết
phương trình của cạnh thứ ba, với:
a)
AB x y AC x y M
: 2 2 0, : 3 3 0, ( 1;1)
      

b)
AB x y AC x y M
: 2 2 0, : 3 0, (3;0)
     

Baøi 55.
Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh, phương trình một đường cao và một trung tuyến.
Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với:
a)
A BH x y BM x y
(4; 1), : 2 3 12 0, :2 3 0
     

b)
A BH x y CN x y
(2; 7), :3 11 0, : 2 7 0
      

Baøi 60.
Tìm trên trục hoành điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P tới điểm A và B là nhỏ nhất
trong các trường hợp :
a) A(1,1) và B(2,-4)
b) A(1,1) và B(3,3)
Baøi 60.
Cho điểm A(1,2) và B(0,-1) và đường thẳng
:
2 1
x t
d
y t



 

. Tìm M thuộc d sao cho :
a) MA + MB là nhỏ nhất
b)
MA MB

lớn nhất.


Cách 2:
- Phương trình có dạng :
2 2
2 2 0
x y ax by c
    

- Xét dấu biểu thức :
2 2
m a b c
  

- Nếu m > 0 thì đó là phương trình đường tròn có tâm I(–a; –b), bán kính R =
a b c
2 2
 
.

Baøi 61.
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn. Tìm tâm và
bán kính của đường tròn đó:
a)
x y x y
2 2
2 2 2 0
    
b)
x y x y
2 2
6 4 12 0

2 2
4 2 2 3 0
     

b)
x y m x my m
2 2 2
2( 1) 2 3 2 0
      VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Cách 1 :

- Tìm tọa độ tâm I(a; b) và bán kính R của đường tròn.
- Viết phương trình đường tròn theo dạng :
2 2 2
( ) ( )
x a y b R
   Cách 2 :

- Gọi phương trình đường tròn là :
2 2
2 2 0
x y ax by c

d I IA
( , )






.
– Bán kính R = IA.
Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B.
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và vuông góc với .
– Xác định tâm I là giao điểm của d và .
– Bán kính R = IA.
Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 
1
và 
2
.
– Tâm I của (C) thoả mãn:
d I d I
d I IA
1 2
1
( , ) ( , ) (1)
( , ) (2)
 



, 
2
và có tâm nằm trên đường thẳng d.
– Tâm I của (C) thoả mãn:
d I d I
I d
1 2
( , ) ( , )
 





.
– Bán kính R =
d I
1
( , )

.
Dạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác).
Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng:
x y ax by c
2 2
2 2 0
    
(*).
– Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình.
– Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c  phương trình của (C).

I x y
(3;4), : 4 3 15 0

  
b)
I x y
(2;3), :5 12 7 0

  

c)
I Ox
( 3;2),

 
d)
I Oy
( 3; 5),

  

Baøi 65.
Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với:
(dạng 3)

a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1) c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6)
Baøi 66.
Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng ,
với:
(dạng 4)

b)
A B x y
(6;3), (3;2), : 2 2 0

  

c)
A B x y
( 1; 2), (2;1), :2 2 0

    
d)
A B Oy
(2;0), (4;2),



Baøi 68.
Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B, với:
(dạng 6)

a)
A x y B
( 2;6), :3 4 15 0, (1; 3)

    
b)
A x y B
( 2;1), : 3 2 6 0, (4;3)


1 2
(1;3), : 2 2 0, : 2 9 0
 
     

c)
A O x y x y
1 2
(0;0), : 4 0, : 4 0
 
      

d)
A Ox Oy
1 2
(3; 6), ,
 
  

Baøi 70.
Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 
1
, 
2
và có tâm nằm trên
đường thẳng d, với:
(dạng 8)

a)
x y x y d x y

: 2 3 21 0, :3 2 6 0, : 2 3 9 0
        VẤN ĐỀ 3: TẬP HỢP ĐIỂM

1
. Tập hợp các tâm đường tròn :

Để tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C), ta có thể thực hiện như sau:
a) Tìm giá trị của m để tồn tại tâm I.
b) Tìm toạ độ tâm I. Giả sử: I
x f m
y g m
( )
( )





.
c) Khử m giữa x và y ta được phương trình F(x; y) = 0.
d) Giới hạn: Dựa vào điều kiện của m ở a) để giới hạn miền của x hoặc y.
e) Kết luận: Phương trình tập hợp điểm là F(x; y) = 0 cùng với phần giới hạn ở d).
2. Tập hợp điểm là đường tròn :
Thực hiện tương tự như trên.

Baøi 73.
Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C) có phương trình (

m
) luôn là phương trình đường tròn
b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C
m
)
c) Chứng minh (C
m
) luôn đi qua hai điểm cố định
d) Tìm những điểm mà họ đường tròn (C
m
) không đi qua.

VẤN ĐỀ 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d:
Ax By C
0
  
và đường tròn
(C):
2 2
2 2 0
x y ax by c
    
, ta có thể thực hiện như sau:.
Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R.
– Xác định tâm I và bán kính R của (C).
– Tính khoảng cách từ I đến d.
+


Baøi 75.
Biện luận theo
m
số giao điểm của đường thẳng
d
và đường tròn (C), với:
a)
d mx y m C x y x y
2 2
: 3 2 0, ( ): 4 2 0
       

b)
d x y m C x y x y
2 2
:2 0, ( ) : 6 2 5 0
       

Baøi 76.
Cho đường thẳng
d
và đường tròn (C):
i) Chứng tỏ
d
cắt (C). ii) Tìm toạ độ các giao điểm của
d
và (C).
a)
d

, (C
2
):
x y a x b y c
2 2
2 2 2
2 2 0
    
.
ta có thể thực hiện như sau:

Cách 1
: So sánh độ dài đoạn nối tâm I
1
I
2
với các bán kính R
1
, R
2
.
+
R R I I R R
1 2 1 2 1 2
   
 (C
1
) cắt (C
2
) tại 2 điểm.

+
I I R R
1 2 1 2
 
 (C
1
) và (C
2
) ở trong nhau. Cách 2:
Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (C
1
) và (C
2
) là nghiệm của hệ phương trình:

x y a x b y c
x y a x b y c
2 2
1 1 1
2 2
2 2 2
2 2 0
2 2 0

    



2 2 2 2
1 2
( ): 6 10 24 0, ( ): 6 4 12 0
         

b)
C x y x y C x y x y
2 2 2 2
1 2
( ): 4 6 4 0, ( ): 10 14 70 0
         

Baøi 78.
Biện luận số giao điểm của hai đường tròn (C
1
) và (C
2
), với:
a)
C x y x my m C x y mx m y m
2 2 2 2 2 2
1 2
( ): 6 2 4 0, ( ): 2 2( 1) 4 0
            

b)
C x y mx my m C x y m x my m
2 2 2 2
1 2
( ): 4 2 2 3 0, ( ): 4( 1) 2 6 1 0

d I R
( , )


, ta tìm được t. Từ đó suy ra phương trình của .
 Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm
A A
A x y
( ; )
ở ngoài đường tròn (C).
– Viết phương trình của  đi qua A (chứa 2 tham số).
– Dựa vào điều kiện:
d I R
( , )


, ta tìm được các tham số.Từ đó suy ra phương trình của .

Baøi 79.
Cho đường tròn (C) và đường thẳng
d
.
i) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ độ.
ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với
d
.
iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với
d
.
a)

C x y x y A d x y
2 2
( ): 4 8 10 0, (2;2), : 2 6 0
       

NHĐ
18
Baøi 81.
Cho hai điểm A(1; 2), B(3; 4) và đường thẳng
d y x
: 3 3
  
.
a) Viết phương trình các đường tròn (C
1
) và (C
2
) qua A, B và tiếp xúc với
d
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (khác
d
) của hai đường tròn đó.
Baøi 82.
Cho đường tròn (C):
x y x my m
2 2 2
6 2 4 0
     
.

1 2 1 2
( ;0), ( ;0), (0; ), (0; )
 
.
– Tâm sai
c
e
a

.

Baøi 83.
Cho elip (E). Xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, tâm
sai, phương trình các đường chuẩn của (E), với (E) có phương trình:
a)
x y
2 2
1
9 4
 
b)
x y
2 2
1
16 9
 
c)
x y
2 2
1


VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP Để lập phương trình chính tắc của (E) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (E).
Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (E):
+
b a c
2 2 2
 
+
c
e
a


+ Các tiêu điểm
F c F c
1 2
( ;0), ( ;0)


+ Các đỉnh:
A a A a B b B b
1 2 1 2
( ;0), ( ;0), (0; ), (0; )
 Baøi 84.


F
1
3;0

và đi qua điểm
M
3
1;
2
 
 
 
.
g) Đi qua hai điểm
M N
3
(1;0), ;1
2
 
 
 
.
h) Đi qua hai điểm




M N
4; 3 , 2 2;3

3
 

 
 
và có tâm sai bằng
2
3
.

VẤN ĐỀ 3: TÌM ĐIỂM TRÊN ELIP THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Chú ý các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (E):
c c
MF a x MF a x
a a
1 2
,   Baøi 86.
Cho elip (E) và đường thẳng
d
vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm bên phải
F
2
cắt (E) tại
hai điểm M, N.
i) Tìm toạ độ các điểm M, N. ii) Tính

iii)
MF M F
1 2
4

a)
x y
2 2
9 25 225
 
b)
x y
2 2
9 16 144
 
c)
x y
2 2
7 16 112
 

Baøi 88.
Cho elip (E). Tìm những điểm M  (E) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông, với:
a)
x y
2 2
9 25 225
 
b)
x y


VẤN ĐỀ 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

Baøi 90.
Tìm tâm sai của (E) trong các trường hợp sau:
a) Mỗi đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
b) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc vuông.
c) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc
0
60
.
d) Độ dài trục lớn bằng
k
lần độ dài trục nhỏ (
k
> 1).
e) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục nhỏ bằng tiêu cự.
Baøi 91.
Cho elip (E):
x y
a b
2 2
2 2
1
 
. Một góc vuông đỉnh O quay quanh O, có 2 cạnh cắt (E) lần lượt
NHĐ
20
tại A và B.
a) Chứng minh rằng