NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38
2012Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện của bản thân ! Page 0 Chuyên đề
BẤT ĐẲNG THỨC
H
ÀNH TRÌNH CỦA MƠ ƯỚC
NGÔ HOÀNG TOÀN
LỚP YD-K38
ĐẠI HỌC Y DƯC CẦN THƠ
NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38
2012Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện của bản thân ! Page 1 BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC
2012
Phần 1.MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
I. Bất đẳng thức AM-GM:
, 0
a b
.Khi đó ta có: 2
a b ab
.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
a b
Bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng khác tương đương là:
2
2
2
2 2 2 2
, 4 , 2 ,
2 2
a b
a b
ab a b ab a b ab a b
2. Cho
, , 0
2
3
a b c ab bc ca
iv.
2 2 2 2 2 2
a b b c c a abc a b c
v.
2
3
ab bc ca abc a b c
NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38
2012Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 2
II. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
Với hai bộ số thực tùy ý
1 2
, , ,
là các số thực dương .
Khi đó ta luôn có :
2
22 2
1 2
1 2
1 2 1 2
n
n
n
a a a
a
a a
b b b b b b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2
1 2
n
n
a
a a
9
a b c
a b c
III. Bất đẳng thức Minkowski
Cho
1 2
1 2
, , ,
, , ,
n
n
a a a
b b b
và 1 p
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c m n p a m b n c p
iii.
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
n n n n
a b a b a b a a a b b b
NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38
2012Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện của bản thân ! Page 3
Phần 2.TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
QUA CÁC KÌ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC GIAI ĐOẠN 2007-2012
Bài 1.Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn
1
xyz
2
2
y z x y y
2
2
z x y z z
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2
2 2
2 2 2
y y
x x z z
P
y y z z z z x x x x y y
Đặt 2 ; 2 ; 2
a x x y y b y y z z c z z x x
Suy ra:
4 2 4 2 4 2
; ;
9 9 9
c a b a b c b c a
x x y y z z
x y z
NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38
2012Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 4 Bài 2.Cho
, ,
x y z
là các số thực thay đổi .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
Đề thi đại học khối B-2007
Lời giải
f t
t
với
0
t
.Lập bảng biến thiên của
f t
ta suy ra:
3
, 0
2
f t t
Suy ra:Giá trị nhỏ nhất của
P
là
9
2
.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
x y z
.
Bài 3.Cho
Xét hàm số
1 4
x
f x
x
với
0
x
.Ta có:
2
4 ln4 1 4 ln 1 4
' 0
1 4
x x x x
x
f x
x
a b
nên
f a f b
.Điều phải chứng
minh.
Bài 4.Cho
,
x y
là hai số thực thay đổi thỏa mãn
2 2
1
x y
.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
2
2
2 6
1 2 2
x xy
P
xy y
.Suy ra
2
P
Nếu
0
y
Đặt
x ty
,khi đó:
2
2
2
2 12
2 2 6 3 0 1
2 3
t t
P P t P t P
t t
Với
2
P
;
10 10
x y
hoặc
3 1
;
10 10
x y
6
P
khi
3 2
;
13 13
x y
hoặc
3 2
;
13 13
x y
NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38
2012
1 1
1 1 1
4 4 4
1 1
1
x y xy x y xy
P P
x y
x y xy
Khi đó
0, 1
x y
thì
1
4
P
.
Khi
1, 0
x y
thì
1
2 2
2 3 2 2 3
P x y x xy y xy x y xy xy
Đặt
t x y
.Do
2 2
2
x y
nên
2
2
2
t
xy
.Suy ra:
2 2
3 2
2 2 3
2 2 3 6 3
2 2 2
t t
P t t t t
NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38
2012Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 7
Ta có bảng biến thiên từ đó suy ra giá trị lớn nhất của
13
2
P
giá trị nhỏ nhất của
7
P
.
Bài 7.Chứng minh rằng với mọi số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn
3
x x y z yz
,ta có:
3 3 3
3 5
x y x z x y y z z x y z
3 3 3 2 2 3 2 3 2
3 5 3 5 3 5 3 5
a b abc c a b a b ab abc c a b c abc c a b c ab c
Mà
2
a b c
nên
2
2
a b c c
và
2
2
3 3. . 3
2
a b
abc c c
3
4 2
x y xy
và
2
4
x y xy
.Suy ra:
3 2
2 1
x y x y x y
2
4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2
3 3
3 2 1 2 1
2 2
A x y x y x y x y x y x y
NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38
2012
A t t
Xét hàm số
2
9
2 1
4
f t t t
;
9
' 2 0
2
f t t
với mọi
1
2
t
.Suy ra giá trị nhỏ nhất của A
là
9
16
khi
1
2
2
ln
, 0;1
1
t
f t t
t
.Ta có:
2
2
2
1
1 2 ln
' 0, 0;1
1
t t t
t
f t t
t
Do đó
2 2
4 3 4 3 25
S x y y x xy
Đề thi đại học khối D-2009
Lời giải
NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38
2012Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 9
Do
1
x y
,nên
3
2 2 3 3 2 2 2 2
16 12 9 25 16 12 3 34 16 2 12
S x y x y xy xy x y x y xy x y xy x y xy
hoặc
2 3 2 3
; ;
4 4
x y
Giá trị lớn nhất của
25
2
S
khi
1 1
; ;
2 2
x y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
1
4
x y
.
Bài 12.Cho các sô thực không âm
, ,
a b c
thỏa mãn
1
a b c
.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức :
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 2
M a b b c c a ab bc ca a b c
Đề thi đại học khối B-2010
Lời giải
Ta có:
f t t t t
trên
1
0;
2
,ta có :
2
' 2 3
1 2
f t t
t
3
2
'' 2 0
1 2
f t
t
; ; 1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1
a b c
Bài 13.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 2
4 21 3 10
y x x x x
Đề thi đại học khối D-2010
Lời giải
Điều kiện
2 5
x
Ta có
2 2
4 21 3 10 11 0
1;4
và
;
x y x z
.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 3
x y z
P
x y y z z x
Đề thi đại học khối A-2011
Lời giải
NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38
2012Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 11
Trước hết ta chứng minh:
1 1 2
1 1
1
a b
.
Trở lại bài toán áp dụng bổ đề trên với mọi
,
x y
thuộc đoạn
1;4
và
x y
,ta có:
1 1 1 2
3
2 3
1 1 2
1
x
P
z x y
x y
x
y z x
y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
2
2
, 1;2
2 3 1
t
f t t
t t
;
3
2
2
2
2 4 3 3 2 9
' 0
2 3 1
t t t t
f t
t t
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 2 2
3 3 2 2
4 9
a b a b
P
b c b a
Đề thi đại học khối B-2011
Lời giải
Với
,
a b
dương ,ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 1 2
a b
a b ab a b ab a b ab a b ab a b a b
b a a b
b a
.
Đặt
5
,
2
a b
t t
b a
.Suy ra :
3 2 3 2
4 3 9 2 4 9 12 18
P t t t t t t
Xét hàm số
3 2
5
4 9 12 18,
2
f t t t t t
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2 2 2
3 3 3 6 6 6
x y y z z x
P x y z
Đề thi đại học khối A-2012
Lời giải
Ta chứng minh:
3 1, 0
t
t t
Xét hàm số
3 1
t
f t t
,ta có
' 3 ln3 1 0, 0
t
f t t
2
2 2 2
2 2 2
2
x y y z z x
x y y z z x x y y z z x y z z x x y z x x y y z
x y y z z x
Do đó
2
2 2 2
2 2 2
2 6 6 6 2 .
x y y z z x x y y z z x x y z x y z
,
Mà
0
x y z
P x y z
.
Đề thi đại học khối B-2012
Lời giải
Với
0
x y z
và
2 2 2
1
x y z
ta có:
2
2 2 2 2
0 2 2 1 2 2
x y z x y z x y z yz x yz
nên
2
1
2
yz x
Mặt khác ,
2 2 2
1
5 2 2 2 2
2
5 2 2 2 2 3
1
1
2
1 1 5
1 1 2
2 2 4
P x y z y z y z y z
x x y z y z yz y z x x
x x x x x x x x x x
NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38
2012
Do đó
6
9
f x Suy ra
5 6
36
P khi
6 6
;
3 6
x y z thì đẳng thức xảy ra.
Bài 18.Cho các số thực
,
x y
thỏa mãn
2 2
4 4 2 32
x y xy
.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức :
0;8
Ta có;
2
1 5
' 3 3 3, ' 0
2
f t t t f t t
hoặc
1 5
2
t
(loại)
Ta có:
1 5 17 5 5
0 6, , 8 398
2 4
f f f
, , 1
x y z
thỏa mãn
1
xyz
.Chứng minh rằng:
2
2 2
1
1 1 1
x y z
x y z
Đề thi thử trường THPT Chun đại học KHTN Hà Nội lần 2
Lời giải
Cách 1:
Đặt
, ,
1 1 1
2
1 0
a b c
(hiển nhiên đúng)
Cách 2:
Do
, , 1
x y z
và
1
xyz
nên ta có thể đặt
2 2 2
, ,
bc ca ab
x y z
a b c
Khi đó bất đảng thức tương đương với:
4 4 4
2 2 2
2 2 2
1
a b c
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
0
a b c a bc b ca c ab ab bc ca
Vậy thì ta có được điều phải chứng minh.
Bài 2.Cho các số thực
, , 0,1 .
a b c
Chứng minh rằng:
2
1 1
1
4
1
ab a b
ab
ab a b
ab ab
ab ab
ab
do
, , 0,1
a b c
Bài 3.Cho
, , 0
x y z
thỏa mãn
1.
xyz
Tìm giá trị nhỏ nhất của
2012 2012 2012
1 1 1
1 1 1x y z
1 1 1 1 1
(1 ) (1 ) 1 1
(1 )(1 ) (1 )(1 )
z
x y
x y xy z
xy xy
y x
Từ đó suy ra :
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3 ( 1) 3
(1 ) (1 ) (1 ) 1 ( 1) ( 1) 4 4( 1) 4
z z z z
x y z z z z z
Quay trở lại bài toán ta đặt :
2 2 2
1 1 1
; ;
(1 ) (1 ) (1 )
a b c
x y z
a b c a b c
Đẳng thức xảy ra khi:
1
4
a b c
và
1
x y z
Bài 4.Cho ba số thực
, ,
a b c
thỏa mãn
2 2 2
0
3
a b c
a b c
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
5 4
A a abc
NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38
2012Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 18
Khi đó :
2
20
5
3
M a a f a
Khảo sát hàm số trên ta được
25
27
f a
Trường hợp 2:
1
1
3
a
Bài 5.Cho hai số dương
,
x y
thỏa mãn
2 2
12 5 5.
x y
Chứng minh rằng:
1 7
2
x y
xy
Đề thi thử trường THPT Uông Bí
Lời giải
Theo AM-GM ta có :
2 2 2 2 2 3 6 4 3 2
6
1
4 4 4 1 6 4
8
x x x y y x y x y
3 2
1
x z
P y
z y
NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38
2012Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 19
Đề thi thử trường THPT chuyên LươngVăn Chánh
Lời giải
Ta có:
3
3 3 1
x z
P y y
y y
đến đây ta khảo sát là xong.
Bài 7.Cho
, à , 1.
x y v x y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bất đẳng trên tương đương với :
2
2 2
4 4 4 4 2 0
x x x x x
Áp dụng:
2 2 2 2
2 2
4 4
8
1 1
a b a b
b a b a
Đẳng thức xảy ra khi
2
a b
Bài 8.Cho ba số
, ,
x y z
dương thỏa mãn
1.
x y z
NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38
2012Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 20
Hay
2
2
2 3 2
1
1 1
( ) 1 1 2
2 2 2
x
A f x x x x x x
Ta có :
2
1
Chứng minh rằng :
3
2
x y z xyz
Đề thi thử trường THPT Trần Quốc Tuấn lần 3
Lời giải
Ta có :
3
2 2
27
x y z
x y z xyz
Vậy
2
6 3 0 6
x y z x y z x y z
Bình phương hai vế của bất đẳng thức ta được:
3
NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38
2012Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 21
Từ
1 , 2
suy ra điều phải chứng minh.
Bài 10.Cho các số thực dương
, ,
a b c
thỏa mãn
1
a b c
i) Chứng minh rằng:
Tìm giá trị nhỏ nhất ii.
Áp dụng bổ đề i.Ta có:
3
2
3
1 1 1 1ab bc ca abc
Theo AM-GM ta được :
3
1
3
27
a b c abc abc
Vậy ta được :
3
2
3
1
1 1 1
1 1 1
abc
ab bc ca
3
2
3
1
1
,
3
t
f t t
t
từ đó suy ra giá trị
nhỏ nhất của
1 1 1
a b c
b c a
Bài 11. Xét các số thực không âm
, ,
a b c
thỏa mãn điều kiện
1.
a b c
Tìm giá trị lớn nhất
2
b c
P a bc a b c a a b c
Thay
3 2
1
1 ( ) 2 1
4
b c a P f a a a
Khảo sát trên
1 1 7
0; ( )
3 3 27
f a f
Trường hợp 2:
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 23
Bài 12.Cho các số dương
, , , , ,
a b c m n p
thỏa mãn
a m b n c p k
Chứng minh rằng :
2
an bp cm k
Đề thi thử trường đại học sư phạm lần 3
Lời giải
Ta cần chứng minh:
2
an bp cm k
Hay
3
ank bpk cmk k
2 6 9 2 6 9
P
a a b b
Đề thi thử lần 4 trường chuyên KHTN- ĐHQG- Hà Nội
Lời giải
Sử dụng bổ đề :
2 2
1 1 2
1 1 1
x y xy
2 2 2 2 2 2 4 3 2
2 2
1 1 2 2
3 3 9 2 9 36 42 12 14
3 1 1 3 1 1
P
a b a b b b b b
a b
Xét hàm số
Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 24
Bài 14.Xét các số thực dương
,
x y
thỏa mãn điều kiện
1.
x y
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
1 1
x y
P
x y
Đề thi thử đại học THPT chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
2
x y
P y x x y x y x y x y
y x
Suy ra
2
P
Vậy
min
1
2
2
P x y
Bài 15.Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn
4 3 .
x y z xyz
Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức :
1 1 1
2 2 2
P
x yz y zx z xy
Copyright: Tài liệu đại học ©